序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的離散數(shù)學(xué)論文樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。

第1篇

1正弦定理的概述

正弦定理指的是在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，用公式表示如下：（R為恒量，是該三角形外接圓的半徑），正弦定理適用于任何三角形。上述公式還可以變形如下：；；。正弦定理指出了任意三角形的邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是任意三角形的邊角關(guān)系。

在實(shí)際應(yīng)用正弦定理解三角形時(shí)主要適用于如下兩種情況：一是已知三角形兩角與一邊，解三角形；二是已知三角形兩邊及其中一邊對(duì)應(yīng)的角，解三角形。正弦定理除了適用于以上兩種情況外，利用正弦定理我們可以在次數(shù)相等的基礎(chǔ)上將三角形所有的邊轉(zhuǎn)化為其對(duì)角的正弦值或者將對(duì)角正弦值轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)的三角形的邊；可以得出新的三角形面積公式：；可以在已知三角形兩邊及其中一邊對(duì)角的時(shí)候，判斷滿(mǎn)足上述條件的三角形個(gè)數(shù)。舉例說(shuō)明，已知三角形的兩條邊a、b和角A，1）若A為銳角：①a=bsinA，一個(gè)；②a<bsinA，沒(méi)有；③bsinA<a<b，兩個(gè)；④a≥b，一個(gè)。2）若A為直角或者鈍角：①a≤b，沒(méi)有；②a>b，一個(gè)。

2正弦定理的引入

在教學(xué)過(guò)程中引入正弦定理是一項(xiàng)重要的工作，這個(gè)過(guò)程的成功與否直接與學(xué)生后期的學(xué)習(xí)效果相關(guān)。具體在引入正弦定理時(shí)我們可以采用如下步驟進(jìn)行：情景設(shè)計(jì)——數(shù)學(xué)建?！孪霘w納得出正弦定理。

授課之初可以設(shè)定如下的情景：①某日我潛艇A發(fā)現(xiàn)其正東有一敵艇B正以35海里/小時(shí)的速度向正北方向航行?，F(xiàn)已知魚(yú)雷速度為70海里/小時(shí)，問(wèn)A潛艇應(yīng)以怎樣的角度發(fā)射才能擊中敵艇？②如果其他條件不變，B敵艇的行駛方向變?yōu)槌逼?5°航行，此時(shí)我方發(fā)射的角度又是多少？情景①學(xué)生可以利用初中所學(xué)的在直角三角形中30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半輕易解決；情景②則需要進(jìn)一步研究解決。

設(shè)定情景引發(fā)起學(xué)生的興趣和猜想之后就要引導(dǎo)學(xué)生向數(shù)學(xué)知識(shí)上靠攏，此時(shí)要啟發(fā)學(xué)生將要解決的問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模的形式化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題。于是通過(guò)數(shù)學(xué)建模很輕易的知道這個(gè)問(wèn)題就是解三角形的問(wèn)題。隨即引導(dǎo)學(xué)生思考能否借助特殊的直角三角形解決一般三角形問(wèn)題。

引導(dǎo)學(xué)生有特例到一般猜想歸納出正弦定理。在直角三角形中我們可以知道任意一條邊與其對(duì)角正弦值的比是常數(shù)，由此可以猜想是否在非直角三角形中也有如此規(guī)律。通過(guò)在任意銳角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行證明，驗(yàn)證正弦定理的普遍適用性。

3正弦定理的應(yīng)用

在解三角形時(shí)，如果能夠按照題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，提高解題的速度，具體的解題類(lèi)型如下所示：

（1）解三角形問(wèn)題

課本P4例題1：在三角形ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

【分析】在解答這道題時(shí)首要要明確解三角形的含義，解三角形就是根據(jù)已知的三角形各要素求剩余要素的過(guò)程。在本題中已知三角形的兩個(gè)角A、B以及邊a這三個(gè)要素，因此在本題求解的未知要素為角C以及邊b、c。

具體求解過(guò)程如下：

根據(jù)正弦定理；

根據(jù)正弦定理.

在本題解答過(guò)程中用到了三角形內(nèi)角和定理和正弦定理。一般來(lái)說(shuō)，解三角形的習(xí)題中，三角形內(nèi)角和定理是普遍應(yīng)用到的。需要提示的是在解三角形時(shí)若最終結(jié)果出現(xiàn)兩個(gè)答案需要對(duì)其進(jìn)一步檢驗(yàn)，驗(yàn)證所得的兩個(gè)答案是否都滿(mǎn)足題意，這也是在考試過(guò)程中經(jīng)常出錯(cuò)的地方，學(xué)習(xí)過(guò)程中要提高捕獲題干隱含條件的能力。假設(shè)最終結(jié)果出現(xiàn)兩個(gè)c，此時(shí)要借助三角形固有的三條邊之間的關(guān)系，以及邊角關(guān)系，對(duì)兩個(gè)答案分別予以驗(yàn)證，如果都符合則全部留下，否則要放棄不合隱含條件的答案。

（2）實(shí)際應(yīng)用

利用正弦定理解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，本質(zhì)上是通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，然后借助相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。目前正弦定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題主要解決距離、高度以及航行的問(wèn)題。本文以測(cè)量距離為例予以闡述。

課本P12例題1：如圖1.2-1，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，∠BAC=51°∠ACB=75°求AB長(zhǎng)。

【分析】本題是關(guān)于實(shí)際生活中測(cè)量河兩岸點(diǎn)的距離的問(wèn)題，如果實(shí)際解決的話(huà)很難找到合適的解決辦法，但是在與A同側(cè)設(shè)定點(diǎn)C，并借助相關(guān)工具測(cè)量得知∠BAC、∠ACB度數(shù)之后，就將實(shí)際距離問(wèn)題轉(zhuǎn)變成了數(shù)學(xué)中的解三角問(wèn)題。在本題中已知兩角一邊求另外一邊的長(zhǎng)度，借助正弦定理很容易解決該問(wèn)題。

具體求解過(guò)程如下：

由正弦定理得，

答：A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。

由上面的實(shí)際應(yīng)用正弦定理解三角形例子我們可以知道，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，然后在計(jì)算過(guò)程中要善于挖掘隱含條件，利用已知求未知，多角度，多方面思考問(wèn)題。當(dāng)在一個(gè)三角形中不能達(dá)到解決目的時(shí)要善于擴(kuò)大研究范圍，根據(jù)不同三角形之間的邊角關(guān)系最終解決問(wèn)題。

4結(jié)論及建議

高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用正弦定理解三角形是高考的重點(diǎn)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，關(guān)于如何更為有效的教與學(xué)，還需要更多的教育工作者共同努力。通過(guò)本文對(duì)高中數(shù)學(xué)解三角形相關(guān)解法的研究針對(duì)教學(xué)過(guò)程提出如下幾點(diǎn)建議：

（1）巧妙設(shè)定教學(xué)情境數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在眾多學(xué)生的心中一直是枯燥乏味的代表，教師在教授過(guò)程中應(yīng)當(dāng)巧妙設(shè)定教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的興趣，改變以往數(shù)學(xué)教與學(xué)過(guò)程的乏味與被動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

第2篇

關(guān)鍵詞：高三；二輪復(fù)習(xí)；數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師精心設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一門(mén)創(chuàng)造性的藝術(shù)． “問(wèn)題”是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、全面發(fā)展的主要源泉． 課堂教學(xué)就是“問(wèn)題”的教學(xué)，在高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些在解題思想或者解題方法上非常典型的問(wèn)題，其實(shí)對(duì)于這些問(wèn)題的教學(xué)，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為“年年歲歲花相似”，復(fù)習(xí)時(shí)老是炒冷飯，還要看到“歲歲年年人不同”，必須不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有所改進(jìn)和創(chuàng)新． 這樣在二輪復(fù)習(xí)中才能讓學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)更加堅(jiān)實(shí)，綜合能力得到進(jìn)一步的提高．

異題同解實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)

異題同解簡(jiǎn)單地講，就是在教學(xué)中將在解法上相同或者相近的一系列問(wèn)題歸納在一起，對(duì)照分析后達(dá)到鞏固和提高的目的． 從歷年高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的實(shí)際教學(xué)的效果來(lái)看，這種方法尤其對(duì)于基礎(chǔ)不太好的學(xué)生，甚至是基礎(chǔ)中等的學(xué)生而言，都有著可以較好地夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題的能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的功能．

例1 將函數(shù)f（x）=－的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式；

2． 作出函數(shù)f（x）=的圖象；

3． 求函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間；

4． 求函數(shù)f（x）=log2的單調(diào)遞增區(qū)間；

5． 討論函數(shù)f（x）=a≠在（－2，+∞）上的單調(diào)性．

解：1． 將函數(shù)f（x）=－中的x換成x+1，y換成y-1得

f（x）－1=－?圯f（x）=1－?圯f（x）=．

2． 函數(shù)f（x）==1－，它是由函數(shù)f（x）=－的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的． 圖象為：

圖1

3． 由圖象知函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間為：（－∞，－1），（－1，+∞）．

4． 由>0?圯x>1或x

5． f（x）==a+a≠，由f（x）的圖象知，當(dāng)a>時(shí)在（－2，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a

從上面的幾道題的問(wèn)題設(shè)計(jì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)“問(wèn)題”雖然不同，但基本方法一致，它們?cè)从陔p基，通過(guò)解決問(wèn)題又強(qiáng)化了雙基，讓學(xué)生在不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的流程中扎實(shí)雙基，并認(rèn)識(shí)夯實(shí)雙基的重要性． 從而在高三二輪復(fù)習(xí)中我們?cè)谡n堂教學(xué)中要清醒地認(rèn)識(shí)到“問(wèn)題”設(shè)計(jì)的導(dǎo)向性就是要強(qiáng)化“雙基”，突出重點(diǎn)． 強(qiáng)化“雙基”，夯實(shí)基礎(chǔ)是教學(xué)工作的基本原則． 只有這樣，才能達(dá)到課堂的有效性．

同題多解促進(jìn)思維的滲透

在一些公開(kāi)課中，我們常?？吹介_(kāi)課教師在課堂上對(duì)典型例題進(jìn)行“同題多解”，動(dòng)輒就是五六種方法，甚至還會(huì)更多，成為教師的“表演秀”，但學(xué)生究竟掌握了多少，是要打問(wèn)號(hào)的． “同題多解”在教學(xué)中是否必要存在有很大的爭(zhēng)論，畢竟在測(cè)試中，學(xué)生只要用最短的時(shí)間得到題目的答案就可以了，但考慮到“同題多解”是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種有效的方法，同時(shí)從不同角度看問(wèn)題，也可以發(fā)現(xiàn)某些常見(jiàn)錯(cuò)誤，提供了一種常見(jiàn)的檢驗(yàn)的方法． “最基本的才是最重要的”． 筆者在教學(xué)中對(duì)于這樣一類(lèi)問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，通常要求幾種方法在技巧性上的要求不能太高，力求能夠還原到基本概念，或者根據(jù)學(xué)生的思路，因勢(shì)利導(dǎo)，絕不為了“同題多解”而“同題多解”．

例2 設(shè)二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x－2）=f（－x－2），且函數(shù)圖象y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，求f（x）的解析式．

解法一：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

由f（x－2）=f（－x－2）得4a－b=0．

又x1-x2==2，所以b2－4ac=8a2．

由題意可知c=1． 解之得f（x）=x2+2x+1．

解法二：f（x－2）=f（－x－2），

故函數(shù)y=f（x）的圖象有對(duì)稱(chēng)軸x= －2，可設(shè)y=a（x+2）2+k．

因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸上的截距為1，則4a+k=1．

又被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，則x1-x2==2，

整理得2a+k=0，

解之得a=，k=－1，f（x）=x2+2x+1．

解法三：f（x－2）=f（－x－2）

故函數(shù)y=f（x）的圖象有對(duì)稱(chēng)軸x= －2，又x1-x2=2，

所以y=f（x）與x軸的交點(diǎn)為：（－2－，0），（－2+，0），

所以故可設(shè)y=a（x+2+）（x+2－），

所以f（0）=1，a=，

所以f（x）=x2+2x+1．

從總體來(lái)講，三種方法在技巧性上要求不高，學(xué)生容易掌握，第一種體現(xiàn)了待定系數(shù)化歸的常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想；第二種方法將對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題，是一種通法；第三種方法起點(diǎn)低，但思維量比較大，采用交點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式來(lái)解決問(wèn)題． 在求二次函數(shù)的解析式時(shí)三種方法都是常用方法，可以融會(huì)貫通，促進(jìn)思維的滲透．

用好錯(cuò)題增加學(xué)生反思力