發(fā)布時(shí)間：2023-03-08 15:25:27
序言：寫作是分享個(gè)人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的線性規(guī)劃樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
1 線性規(guī)劃與函數(shù)交匯
例1 （2014年山東理）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤0，
2x-y-3≥0，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時(shí)，a2+b2的最小值為（ ）.
A.5 B.4 C.5 D.2
答案 B.
解析 畫出可行域（如圖1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by經(jīng)過直線2x-y-3=0與直線x-y-1=0的交點(diǎn)A（2，1）時(shí)，z取最小值25.將A（2，1）代入目標(biāo)函數(shù)，得2a+b=25，以下用兩種方法求a2+b2的最小值：
圖1
方法1 （轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），當(dāng)a=455時(shí)，a2+b2的最小值是4.
方法2 （利用幾何意義）轉(zhuǎn)化為求直線2a+b=25上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最小值，即原點(diǎn)到直線2a+b=25的距離的平方，利用點(diǎn)到直線的距離公式即得.
考點(diǎn) 將簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃與非線性目標(biāo)函數(shù)的最值相結(jié)合，考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離的幾何意義.對(duì)于解決非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的關(guān)鍵在于深挖目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求出最值.
拓展探究 若實(shí)數(shù)x，y 滿足不等式組
y≤x-1，
x≤3，x+5y≥4，則x2y 的最小值是（ ）.
2 線性規(guī)劃與全稱、存在量詞結(jié)合
例2 （2014年全國(guó)課標(biāo)1）不等式組
x+y≥1，
x-2y≤4的解集記為D.有下面四個(gè)命題：
p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，
p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，
p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，
p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.
其中真命題是（ ）.
A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3
答案 C.
圖2
解析 畫出可行域（如圖2），將四個(gè)命題依次代入檢驗(yàn)，對(duì)于命題p1，可行域內(nèi)的點(diǎn)恒在直線x+2y=-2的上方，即對(duì)所有可行域內(nèi)的點(diǎn)都滿足不等式x+2y≥-2（圖3）;
圖3 圖4
同理對(duì)命題p2，可行域內(nèi)存在點(diǎn)在直線x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（圖4）.
其他兩個(gè)命題經(jīng)檢驗(yàn)不合適.
考點(diǎn) 考查不等式（組）表示的平面區(qū)域，全稱、存在量詞的含義.
3 線性規(guī)劃與“不等式恒成立”問題融合
例3 （2014年浙江）當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足
x+2y-4≤0，
x-y-1≤0，
x≥1，時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
答案 1，32.
解析 畫出可行域，欲使不等式組1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域內(nèi)的點(diǎn)恒在兩條平行線之間，兩條平行線斜率為-a，分別恒過（0，1），（0，4）點(diǎn)，如圖5、圖6可得a的取值范圍.
圖5
圖6
考點(diǎn) 本題將線性規(guī)劃與不等式恒成立問題相結(jié)合，本質(zhì)是動(dòng)態(tài)可行域問題，所謂動(dòng)態(tài)的可行域，即在約束條件中含有使可行域發(fā)生變化的參數(shù).對(duì)于動(dòng)態(tài)的可行域問題，要注意切入的角度、方向，抓住一些不變的量，變動(dòng)為靜，向熟悉的、已有的知識(shí)轉(zhuǎn)化，從而化解問題.本題兩條平行線斜率含有參變量a，不變的量是兩條平行線所過的定點(diǎn)，切入點(diǎn)是直線所過的定點(diǎn).
拓展探究 （2014年湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，
x+y≤4，
y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k= .
4 線性規(guī)劃與概率融匯
例4 （2014年湖北）由不等式
x≤0，
y≥0，
y-x-2≤0，確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式x+y≤1，
x+y≥-2，確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為（ ）.
A.18 B.14 C.34 D.78
答案 D.
圖7
解析 依題意，不等式組表示的平面區(qū)域（如圖7），
由幾何公式知，該點(diǎn)落在Ω2內(nèi)的概率為P=
12×2×2-12×1×1212×2×2=78，選D.
考點(diǎn) 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，屬于中檔題.
拓展探究 （2014年重慶）某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30―7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.（用數(shù)字答）
利用可行域的公共部分求參數(shù)
例1 若直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]與不等式組[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍是（ ）
A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] B. [（-137，1）?（9，+∞）]
C. [（1，9）] D. [（-∞，-137）]
解析 畫出可行域，求得可行域的三個(gè)頂點(diǎn)[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].
而直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒過定點(diǎn)[P（0，-6），]且斜率為[3λ+1λ-1]，
因?yàn)閇kPA=72，kPB=85，kPC=103]，
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].
答案 A
點(diǎn)撥 畫出可行域，求得可行域的三個(gè)頂點(diǎn)，確定直線過定點(diǎn)[P]（0，-6），求得直線[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，則由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范圍.
利用最值的倍數(shù)關(guān)系求參數(shù)
例2 已知[x]，[y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，則[a]的值是（ ）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 畫出[x，y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下圖.
由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].
當(dāng)直線[z=2x+y]過點(diǎn)[A1，1]時(shí)，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最大值，最大值為3.
當(dāng)直線[z=2x+y]過點(diǎn)[Ba，a]時(shí)，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最小值，最小值為[3a].
由條件得，[3=4×3a，]所以[a=14].
答案 B
點(diǎn)撥 由題意可先作出不等式表示的平面區(qū)域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，則[z]表示直線[y=-2x+z]在[y]軸上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值與最小值.
利用充分條件關(guān)系求可行域的面積最小值
例3 已知[Ω]為[xOy]平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域.[p]：點(diǎn)[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：點(diǎn)[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是 .
解析 命題[p]對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分.
則由題意可知，[C（0，2），B（0，6）].
由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]
即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面積為[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是2.
答案 2
點(diǎn)撥 先利用線性規(guī)劃作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分條件，確定平面區(qū)域[BCD]與[Ω]之間的面積關(guān)系.
利用可行域求向量射影的取值范圍
例4 已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足約束條件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，設(shè)[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的數(shù)量，則[z]的取值范圍是（ ）
A.[-32，6] B.[-1，6]
C.[-3210，610] D.[-110，610]
解析 畫出約束條件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]時(shí)，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最大，此時(shí)[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[610];當(dāng)[a=12，3]時(shí)，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最小，此時(shí)[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[-3210].所以[z]的取值范圍是[[-3210，610]].
答案 C
點(diǎn)撥 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計(jì)算[z]的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
可行域中的最值問題與基本不等式結(jié)合
例5 若目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]滿足約束條件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值為40，則[5a+1b]的最小值為（ ）
A. [256] B. 4 C. [94] D. 1
解析 不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，
當(dāng)直線[z=ax+by（a>0，b>0）]過直線[x-y+2=0]與直線[2x-y-6=0]的交點(diǎn)（8，10）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，
而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].
作者：吳可杰姜近勇單位：南京大學(xué)經(jīng)濟(jì)系
線性規(guī)劃理論廣泛應(yīng)用于軍事、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門，除了這種方法能解決各個(gè)部門提出的生產(chǎn)力布局、作業(yè)計(jì)劃、原料配制、產(chǎn)品搭配等實(shí)際問題外，還因?yàn)榫€性規(guī)劃模型本身，以及它們的解題方法和應(yīng)用分析，能夠比較容易地為一般沒有較深數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的經(jīng)營(yíng)管理人員所理解和掌握，特別是借助于電子計(jì)算機(jī)的專用程序，不僅能加快運(yùn)算速度，而且能解決上百.上千個(gè)變量的復(fù)雜模型;線性規(guī)劃不僅能求得問題的最優(yōu)解，而且還可以提供經(jīng)濟(jì)分析的數(shù)據(jù)資料。在線性規(guī)劃的應(yīng)用分析中所涉及到的一個(gè)重要概念是影子價(jià)格，它是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論與經(jīng)濟(jì)分析相結(jié)合的產(chǎn)物。影子價(jià)格通常反映資源最佳利用狀況，是對(duì)資源的邊際收益或衣品的邊際成本的一種估價(jià)。利用線性規(guī)劃和影子價(jià)格可以為區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃提供有用的數(shù)量信息。本文試圖用數(shù)學(xué)語言來說明線性規(guī)劃和影子價(jià)格，并討論它們的經(jīng)濟(jì)意義以及在區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃中的應(yīng)用。
一、線性規(guī)劃模型的一般形式是:在約束為:（式略）這是一對(duì)具有特殊性的配對(duì)的規(guī)劃模型，我們可以把一個(gè)問題稱為“原問題”，另一個(gè)問題稱為“對(duì)偶問題”。下表總結(jié)出了從一個(gè)已知的原問題轉(zhuǎn)換為對(duì)偶問題的規(guī)律，這些規(guī)律是假設(shè)已經(jīng)有了一般模型的方程式，然后根據(jù)這些規(guī)律建立它的對(duì)偶模型(見表)。對(duì)偶問題與原問題是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，對(duì)偶問題可以從不同角度提供觀察問題的另一種方法，有時(shí)還可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。在利用單純形法解原問題時(shí)，同時(shí)就可以得到其對(duì)偶問題的解。反之，求得對(duì)偶問題的解，同時(shí)也就可得到原問題的解。它們之間的一個(gè)重要關(guān)系即是:若原問題與對(duì)偶問題均屬可解，且原問題最優(yōu)解為（式略）即:劉.偶問題與原問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。所謂影子價(jià)格，就是指由于線性規(guī)劃模型中約束條件右端項(xiàng)B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一個(gè)單位而引起的目條件下，’原問題與對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是相等的，即:（式略）如果bi增加一單位，則目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值就會(huì)相應(yīng)增加y，’單位，而yj件即為對(duì)偶問題最優(yōu)解Y’的第i個(gè)分量。由此可見，第i項(xiàng)約束條件的影子價(jià)格就是其對(duì)偶問題最優(yōu)解的第宜個(gè)分量。而且從上式還可以看出，只要對(duì)偶問題的最優(yōu)解不變，其影子價(jià)格也就保持常數(shù)值不變。影子價(jià)格與商品價(jià)值沒有任何聯(lián)系，它純粹是一種計(jì)算價(jià)格。根據(jù)國(guó)民經(jīng)濟(jì)既定的計(jì)劃目標(biāo)及一定時(shí)期資源的可供給量和消費(fèi)需求，可以建立一系列線性規(guī)劃模型，計(jì)算出各種資源的影子價(jià)格，然后在影子價(jià)格的基礎(chǔ)上形成計(jì)劃價(jià)格作為經(jīng)濟(jì)調(diào)節(jié)的工具，以保證資源的利用最大限度地符合計(jì)劃目標(biāo)。這樣制定的價(jià)格在蘇聯(lián)稱為“最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格”，這種價(jià)格理論突出資源的有限性，從而強(qiáng)調(diào)資源的節(jié)約和合理配置。蘇聯(lián)最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格理論的主要代表人物有康托洛維奇、諾沃日洛夫、贊多連柯等，他們對(duì)最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格理論進(jìn)行了逐步深入的研究?！?966年11月，蘇聯(lián)科學(xué)院經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)費(fèi)多連柯在其所作的報(bào)告中對(duì)最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格的形成過程進(jìn)行了詳細(xì)的說明。他假定國(guó)民經(jīng)濟(jì)分為企業(yè)、部門、中央三個(gè)層次，具體的價(jià)格形成過程為:1.企業(yè)將其生產(chǎn)能力與投入系數(shù)以實(shí)物形式報(bào)到部一級(jí)，進(jìn)行匯總，形成綜合指標(biāo)。2.部門將綜合指標(biāo)報(bào)送中央，經(jīng)再一次匯總，得到部門間的生產(chǎn)和消費(fèi)的約束條件，根據(jù)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)妥在中央一級(jí)求解線性規(guī)劃，決定各部門的資源消耗與產(chǎn)品產(chǎn)量，并根據(jù)資源的影子價(jià)格確定相應(yīng)的資源與產(chǎn)品價(jià)格。3.資源與產(chǎn)品的價(jià)格下達(dá)到部門、企業(yè)，部門與企業(yè)在利潤(rùn)最大化的目標(biāo)下決定自己的生產(chǎn)計(jì)劃，再次報(bào)送上去，到達(dá)中央層次匯總。4.中央將自己的原始計(jì)劃與部門報(bào)來的計(jì)劃進(jìn)行對(duì)比調(diào)整，供過于求的資源價(jià)格要降低，反之則提高。然后再次下達(dá)價(jià)格。如此經(jīng)過多次調(diào)整后，一定能找到一組資源影子價(jià)格及據(jù)此確定的資源和產(chǎn)品價(jià)格卜使資源得到最優(yōu)利用，社會(huì)需要得到最大?！恪ＹM(fèi)多連柯認(rèn)為，借助電子計(jì)算機(jī)，能使這種多次反復(fù)的計(jì)算在較短時(shí)間內(nèi)完成。
二、區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃是社會(huì)主義建設(shè)中;一個(gè)長(zhǎng)期的、具有戰(zhàn)略意義的工作。合理.的區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃是高速度發(fā)展我國(guó)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)、加速實(shí)現(xiàn)四化的需要。它有利于充分利用各地區(qū)的自然資源、勞動(dòng)力資源等生產(chǎn)要素，促進(jìn)其經(jīng)濟(jì)的發(fā)展;有利于加強(qiáng)各地區(qū)之間的協(xié)作，建立其不同水平各具特點(diǎn)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)休系;有利于促進(jìn)工農(nóng)、城鄉(xiāng)聯(lián)系，逐步消除工農(nóng)之間、城鄉(xiāng)之間的本質(zhì)差別;此外，對(duì)于提進(jìn)少數(shù)民族地區(qū)、山區(qū)和邊遠(yuǎn)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、對(duì)于鞏固和加強(qiáng)國(guó)防建設(shè)也具有重要意義。進(jìn)行區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃，要從國(guó)家關(guān)斗“長(zhǎng)遠(yuǎn)規(guī)劃的總體設(shè)想這一全局出發(fā)，根據(jù)各地區(qū)的自然資源和經(jīng)濟(jì)條件，確定其工業(yè)發(fā)展的方向，結(jié)構(gòu)、資源的綜合利用、工業(yè)的合理布局以及其它各項(xiàng)設(shè)施的合理配置。因地制宜、發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢(shì)是區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃首先要解決的問題。地區(qū)之間，由于自然和社會(huì)因素的差別，經(jīng)濟(jì)發(fā)展不平衡是一種正?，F(xiàn)象。在我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)中，曾一度片面追求平衡、追求“大而全”“小而全”的經(jīng)擠體系，造成地區(qū)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不合理，社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益非常差。例如，為了扭轉(zhuǎn)北煤南運(yùn)的局面，曾在江南貧煤區(qū)發(fā)展煤炭工業(yè)，其結(jié)果不僅耗費(fèi)大量投資，而且問題也沒得到解決。如果各地區(qū)都能發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，擇優(yōu)發(fā)展，宜糧則糧，宜牧則牧，宜鋼則鋼，宜紡則紡，我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力就會(huì)有很大提高，生產(chǎn)力布局就會(huì)得到很大改善。利用線性規(guī)劃.可以幫助我們確定不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向。假設(shè)甲乙兩地分別擁有資金j0千元，甲地每千元投資生產(chǎn)某種原材料，年產(chǎn)量可達(dá)300噸，而投資加工這種原材料，則年加工成品量為100件;乙地每千元投資用于生產(chǎn)這種原材料，年產(chǎn)量只有10。噸，而投資用于加工這種原材料，則年加工成品量可達(dá)300件。甲地每百噸原材料的凈產(chǎn)值為3萬元，乙地為2萬元;甲地每百件加工成品的凈產(chǎn)值為2萬元，乙地為4萬元。怎樣確定兩地的經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向才合理呢?對(duì)兩個(gè)不同經(jīng)濟(jì)區(qū)，分別建立兩個(gè)獨(dú)立的線性規(guī)劃模型‘以文，、x:分別代表甲地原材料和加工成品的計(jì)劃產(chǎn)量，（式略）分別代表乙地原材料和加工成品的計(jì)劃產(chǎn)量。用Z、Z”分別攀表甲乙兩地的凈產(chǎn)值。甲地的規(guī)劃模型為:在約束為:（式略）求解可得出甲地規(guī)劃模型的最優(yōu)解為二二30百噸，x:=。百件，最大凈產(chǎn)值為Z二9。萬元?！业匾?guī)劃模型的最優(yōu)解為（式略）“加百件，最大凈產(chǎn)值為Z’二120萬元、這就是說，甲地專門生產(chǎn)原材料，乙地專門加工原材料，、兩地的凈產(chǎn)值都達(dá)到最大值。又由于甲地資金的影子價(jià)格為W=9，乙地資金的影子價(jià)格為W’二12，如果要追加投資的話，應(yīng)優(yōu)先考慮向乙地投資，即向?qū)ｉT加工原材料的地區(qū)投資。當(dāng)然，擴(kuò)大加工工業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模，必須要保證原材料的供應(yīng)。•但是，在上面的線性規(guī)劃模型中，目標(biāo)函數(shù)中的凈產(chǎn)值系數(shù)是根據(jù)資源和產(chǎn)品的現(xiàn)行價(jià)格確定的。而我國(guó)現(xiàn)行的價(jià)格體系，由于過去長(zhǎng)期忽視價(jià)值規(guī)律的作用以及其它歷史原因，存在著相當(dāng)紊亂的現(xiàn)象，不少商品的價(jià)格既不反映價(jià)值，也不反映供求關(guān)系，其中，特別是礦產(chǎn)品、原材料和能源價(jià)格偏低。按現(xiàn)行價(jià)格計(jì)算，生產(chǎn)原材料和能源收益不大，甚至虧損，而生產(chǎn)加工業(yè)品則利潤(rùn)很大。例如，開采鐵礦的資金盈利率只有5%，煤礦則更低，煉鋼、煉鐵也很低，而軋鋼的資金盈利率有的品種達(dá)20%~30%，有的甚至高達(dá)如%~70%。由于原材料和能源價(jià)格偏低，一方面難以調(diào)動(dòng)原材料和能源開發(fā)區(qū)努力增產(chǎn)的.積極性，原材料和能源開發(fā)區(qū)缺少活力。另一方面造成原材料和能源消耗高的加工部門相對(duì)膨脹，這些部門利用廉價(jià)的資源獲得高額的利潤(rùn)，而.且由于原材料和能源太便宜，加工部門不重視原材料和能源消耗管理，浪費(fèi)嚴(yán)重。這種情況勢(shì)必造成原材料和能源供求不平衡、嚴(yán)重短缺，影響整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)。就能源來說，由于燃料動(dòng)力供應(yīng)不足，全國(guó)有l(wèi)/4的企業(yè)開工不足，有20%~30%的設(shè)備能力不能充分發(fā)揮作用，一年大約要損失工業(yè)產(chǎn)值750億元。因此，不改革現(xiàn)行不合理的價(jià)格體系，就不能正確評(píng)價(jià)各地區(qū)的經(jīng)濟(jì)效益，促進(jìn)地區(qū)經(jīng)濟(jì)合理發(fā)展。即使借助于某種科學(xué)的方法做出地區(qū)經(jīng)濟(jì)規(guī)劃，也還是不切實(shí)際的。在上面‘的例子中，由于原材料價(jià)格偏低，造成甲地(資源開發(fā)區(qū))比乙地(加工工業(yè)區(qū))的資金影子價(jià)格低，同樣的投資在甲地不如乙地的收益大，勢(shì)必造成投資向乙地轉(zhuǎn)移。如果將原材料價(jià)格提高，使其凈產(chǎn)值達(dá)到每百噸4萬元，則甲地與乙地的資金影子價(jià)格相等，都為12，這時(shí)如果追加投資，兩地的機(jī)會(huì)就是相同的。又假設(shè)乙地只使用甲地生產(chǎn)的原材料，其供應(yīng)量為10(百噸)，且原材料消耗系數(shù)為0.5，則乙地線性規(guī)劃模型的約束條件變?yōu)?（式略）解新的規(guī)劃模型，可以得到原材料的影子價(jià)格為6粵，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于甲地百噸原材料的凈產(chǎn)值。這就說明，整個(gè)社會(huì)增加一單位原材料對(duì)加工部門凈產(chǎn)值的貢獻(xiàn)要比對(duì)原材料生產(chǎn)部獷1凈產(chǎn)值的貢獻(xiàn)大。這樣必然會(huì)刺激原材料的消耗，壓抑原材料的生產(chǎn)，造成原材料短缺。如果提高原材料的價(jià)格，使乙地加工成品的凈產(chǎn)值降為每百件:喜萬元，這時(shí)原材料的影于價(jià)格為3萬元，與甲地百噸原「材料的凈產(chǎn)值相等。這樣就有利于促進(jìn)原材料生產(chǎn)和消費(fèi)的平衡。因此，我國(guó)現(xiàn)行不合理的價(jià)格體系啞待改革，原材料、能源、礦產(chǎn)品等資源的價(jià)格巫待提高。對(duì)于資源定價(jià)間題，由于影子價(jià)格既能反映資源的效能，又能反映資源的稀缺程度，因此要達(dá)到合理地利用有限資源，更好地反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益，利用影子價(jià)格作為我國(guó)資源定價(jià)的主要依據(jù)是可行的。而且從整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)來看，資源的影子價(jià)格體系確實(shí)客觀存在，找到這樣的價(jià)格體系應(yīng)該是價(jià)格改革的追求目標(biāo)。還有人將影子價(jià)格推廣到用各種方法計(jì)算出來的非自然形成價(jià)格以及由國(guó)際市場(chǎng)引進(jìn)的價(jià)格都可以稱為影子價(jià)格。我國(guó)實(shí)行對(duì)外開放政策以來，進(jìn)出口貿(mào)易大幅度增長(zhǎng)，以國(guó)際市場(chǎng)價(jià)格作為可外貿(mào)貨物這一類資源的影子價(jià)格，也可以幫助我們制定合理的資源價(jià)格。線性規(guī)劃應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃的另一個(gè)重要方面是合理分配有限的資源，即是使有限的資源發(fā)揮最大經(jīng)濟(jì)效益。假定某一地區(qū)有m個(gè)生產(chǎn)部門，利用‘n種有限資源生產(chǎn)，知道各部門單位產(chǎn)品的凈產(chǎn)值和投入產(chǎn)出系數(shù)，得出一個(gè)線性規(guī)劃問題。求解這個(gè)線性規(guī)劃，不僅能知道現(xiàn)有條件一F各種資源的最優(yōu)分配，而且可以確定各種資源的影子價(jià)格，為計(jì)劃投資提供信息。影子價(jià)格可以反映規(guī)劃中各種資源的相對(duì)稀缺性，影子價(jià)格越高，說明這種資源越短缺，增加其投入能帶來更多的社會(huì)總產(chǎn)品。影子價(jià)格為零的資源為過剩資源，追加這種資源只會(huì)造成浪費(fèi)。假設(shè)某一地區(qū)輕紡工業(yè)部門生產(chǎn)甲產(chǎn)品(單位為千米)的最大生產(chǎn)能力為]。0，冶金工業(yè)部門生產(chǎn)乙產(chǎn)品(單位為噸)的最大生產(chǎn)能力為40。，兩種產(chǎn)品都要消耗資源A，其消耗系數(shù)分別為0.01和0.03，而資源A的可供量為10。又設(shè)在合理的價(jià)格體系下甲產(chǎn)品每千米的凈產(chǎn)值為5(百元)，乙產(chǎn)品每噸的凈產(chǎn)值為2(百元)。為了求資源A的最優(yōu)分配方案和確定投資的輕重緩急，可以把上述問題化為求凈產(chǎn)值最大的線性規(guī)劃模型。設(shè)x，、xZ為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，在約束為:（式略）用單純形法求得最優(yōu)解為:（式略）并得到甲產(chǎn)品、乙產(chǎn)品和資源A的影子價(jià)格分別為:（式略）以上結(jié)果給出了甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)量，給出了資源A分配的最優(yōu)比例:10單位資源A供應(yīng)輕紡工業(yè)部門1單位(100x0.01)，供應(yīng)冶金工業(yè)部門9單位(300X0.03)。同樣，根據(jù)影子價(jià)格，資源A的影子價(jià)格最大，說明增加資源A的投入可以較大地提高凈產(chǎn)值，其次是產(chǎn)品甲，產(chǎn)品乙的影子價(jià)格為零，說明增加產(chǎn)品乙的產(chǎn)量，并不會(huì)提高凈產(chǎn)值，而只會(huì)造成浪費(fèi)。因此，本地區(qū)應(yīng)優(yōu)先考慮向生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門投資，一其次向輕紡工業(yè)部門投資，暫停向冶金工業(yè)部門投資。進(jìn)一步還可以通過比較資源的影子價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格來判斷資源投入是否有利。在生產(chǎn)已達(dá)最優(yōu)結(jié)構(gòu)時(shí)，如果某一資源的影子價(jià)格高于其市場(chǎng)價(jià)格，繼續(xù)投入這種資源就可以增加收益。假定上例中資源A的影子價(jià)格高于其市場(chǎng)價(jià)格，則應(yīng)再購進(jìn)資源A擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模。相反，如果影子價(jià)格低于其市場(chǎng)價(jià)格，將資源A投入生產(chǎn)就意味著虧損，這時(shí)應(yīng)賣出一部分資源，其收益要比將資源A用來生產(chǎn)大?！畣栴}是在某地區(qū)某資源的影子價(jià)格低于其市場(chǎng)價(jià)格，而在另一地區(qū)完全有可能高于其市場(chǎng)價(jià)格。這樣，通過物資的調(diào)配后，整個(gè)社會(huì)從宏觀上講就會(huì)有更好的效益?？梢?，應(yīng)用線性規(guī)劃和影子價(jià)格，可以使資源達(dá)到最合理的分配，純收益達(dá)到最大。
三、在我們前面所分析的例子中，出現(xiàn)了這樣的問題:在生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門、輕紡工業(yè)部門以及冶金工業(yè)部門中，優(yōu)先向生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門投資，其次向輕紡工業(yè)部門投資，那么投資數(shù)額為多少最合理?又如果資源A的影子價(jià)格高于市場(chǎng)價(jià)格，則購進(jìn)多少資源A擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模為最優(yōu)?反之，如果資源A的影子價(jià)格低于市場(chǎng)價(jià)格，則應(yīng)賣出多少資源A才能保證有最大收益?要解決這些問題，可用靈敏度分析加以精確計(jì)算。靈敏度分析就是當(dāng)線性規(guī)劃模型的參數(shù)變動(dòng)時(shí)，分析其對(duì)最優(yōu)解結(jié)果的敏感程度和范圍。因?yàn)樵趯?shí)際工作中經(jīng)常存在著許多不確定性因素，模型中某些參數(shù)會(huì)隨著情況變動(dòng)而產(chǎn)生波動(dòng)，因此就必須對(duì)這些參數(shù)變化所引起的結(jié)果有比較精確的估計(jì)。靈敏度分析包括三個(gè)方面:一是涉及到約束條件方程中hi值變化的分析;二是涉及到目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)C;值變化的分析;三是涉及到約束條件中技術(shù)性系數(shù)aij變化的分析。在我們前面有關(guān)影子價(jià)格問題的討論中，所涉及到的都是約束條件方程中bi值變化的問題。以資源A的影子價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的比較為例。假設(shè)資源A的影子價(jià)格高于其市場(chǎng)價(jià)格，我們要確定資源A的最優(yōu)購進(jìn)數(shù)量。首先，利用靈敏度分析計(jì)算出在資源A的影子價(jià)格(也即對(duì)偶問題的最優(yōu)解)不變的情況下，資源A約束右端項(xiàng)的變動(dòng)界限。即資源A的約束在這一界限內(nèi)，其影子價(jià)格不變。然后，讓資源A的約束右端項(xiàng)突破這一界限的上限，在新的約束下，求資源A的影子價(jià)格。如果這一影子價(jià)格低于市場(chǎng)價(jià)格，則原約束右端項(xiàng)的變動(dòng)上限與現(xiàn)有資源A的數(shù)量之差，就是應(yīng)購進(jìn)的資源A數(shù)量。如果資源A的影子價(jià)格仍然高于市場(chǎng)價(jià)格，則重復(fù)以上步驟。直至求出資源A的最優(yōu)購進(jìn)數(shù)量為止。
一、求可行域的面積
這一類問題通常是先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)區(qū)域的形狀來求可行域的面積.若可行域是三角形，可用三角形面積公式求解，若可行域是四邊形或更復(fù)雜的圖形，可用分割法求面積.
二、求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域
已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域問題，在高考中是最基本的考查題型，一般分為四類：第一類問題是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或值域；第二類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離或距離的平方；第三類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)與一定點(diǎn)連線的斜率；第四類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)到一條定直線的距離.解決這類問題的關(guān)鍵是先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)的特征來求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域.
三、求參數(shù)的值或取值范圍
與線性規(guī)劃問題相關(guān)的求參數(shù)的值或取值范圍問題，在近幾年的高考試題中成為考查線性規(guī)劃問題的熱點(diǎn)，在所考查的試題中，參數(shù)的位置有的在線性約束條件中，也有的在目標(biāo)函數(shù)中，解決這類問題的關(guān)鍵是看是動(dòng)區(qū)域還是動(dòng)直線，要在變化中尋求解決問題的途徑.
四、與線性規(guī)劃有關(guān)的綜合問題
將線性規(guī)劃問題與其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行交匯命題，在近幾年的高考試題中，也成為一種時(shí)尚，線性規(guī)劃問題可以與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)綜合，重點(diǎn)考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分析問題、解決問題和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.
五、線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用問題
【關(guān)鍵詞】工商管理；經(jīng)濟(jì)發(fā)展；線性規(guī)劃
隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)快速發(fā)展，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)不斷得到完善。由于市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)生是建立在剩余產(chǎn)品交易行為的基礎(chǔ)之上，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展而誕生的工商管理也有著與眾不同的基本特性。工商管理產(chǎn)生的直接原因是維護(hù)政權(quán)利益，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，經(jīng)過不斷地發(fā)展，工商管理對(duì)于我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)范起著越來越重要的作用。
一、工商管理的概念
工商管理的產(chǎn)生是國(guó)家出于對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)秩序的構(gòu)建與其健康發(fā)展的目的，主要是通過對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)經(jīng)營(yíng)行為的監(jiān)督管理以及相關(guān)執(zhí)法。通過將強(qiáng)制懲戒與行政教育相結(jié)合的方法，達(dá)到規(guī)范市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的目的，為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展?fàn)I造良好的環(huán)境。
二、工商管理的職能
（1）對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的監(jiān)管力度。工商管理部門是由政府依法組織，針對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的自由性，對(duì)企業(yè)和盈利機(jī)構(gòu)進(jìn)行監(jiān)督管理的工作執(zhí)法部門。工商管理在政府工作中的首要職能就是市場(chǎng)監(jiān)管，即對(duì)社會(huì)中的工商企業(yè)、外資企業(yè)等盈利性機(jī)構(gòu)進(jìn)行依法監(jiān)督管理，維護(hù)市場(chǎng)的經(jīng)營(yíng)秩序，對(duì)于企業(yè)的違規(guī)違紀(jì)行為進(jìn)行依法懲處，調(diào)節(jié)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)各部分的和諧共處。（2）對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的服務(wù)。工商管理的對(duì)象是經(jīng)濟(jì)環(huán)境中的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，服務(wù)于社會(huì)主義的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)建設(shè)，通過提高服務(wù)性維護(hù)和促進(jìn)商品經(jīng)濟(jì)的良性發(fā)展。工商管理可以通過對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的調(diào)節(jié)，維護(hù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的有序運(yùn)行，服務(wù)廣大消費(fèi)者。
三、線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用
線性規(guī)劃，是指在現(xiàn)有的人力、物力、財(cái)力等資源條件限制下，通過合理的調(diào)配和有效使用，以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)方法。企業(yè)的效益依賴于資源配置的優(yōu)化，即依賴于線性規(guī)劃模型的優(yōu)化，優(yōu)化的范圍越大，其優(yōu)化效果也就越好。首先，線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計(jì)劃確定后的優(yōu)化，主要內(nèi)容包括：（1）合理利用材料問題：在保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的條件下，以最少的材料達(dá)到最大的使用效果。（2）配料問題：在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下，如何搭配才能獲得最大收益。（3）投資問題：從投資項(xiàng)目中選取最佳組合，使有限的投資得到最大的回報(bào)。（4）產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃：合理利用人力、物力、財(cái)力等，使獲利最大。（5）勞動(dòng)力安排：用最少的勞動(dòng)力滿足工作的需要。（6）運(yùn)輸問題：對(duì)產(chǎn)品的調(diào)運(yùn)方案進(jìn)行細(xì)致制定，減少運(yùn)費(fèi)。其次，線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)，分析未來的消費(fèi)趨勢(shì)，并預(yù)測(cè)同行的產(chǎn)銷動(dòng)向，根據(jù)分析結(jié)果，確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價(jià)格和促銷策略，然后將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行線性規(guī)劃，得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。
工商企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，因此可以運(yùn)用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計(jì)劃方案的優(yōu)化問題。但是，應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃問題進(jìn)行分析，首先必須滿足幾點(diǎn)要求：（1）明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計(jì)劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法，以企業(yè)利潤(rùn)作為評(píng)價(jià)目標(biāo)值，其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃決策，因此，企業(yè)利潤(rùn)最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。（2）明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力，原材料，設(shè)備使用，市場(chǎng)需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計(jì)劃分析是密切相關(guān)的，這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對(duì)于企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃分析的影響很大，不同約束條件下，決策分析的結(jié)論也會(huì)有很大區(qū)別。比如，就企業(yè)在市場(chǎng)活動(dòng)中所處的狀態(tài)可以分為三種：第一，能力不足狀態(tài)，企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場(chǎng)需求；第二，能力過剩狀態(tài)，即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場(chǎng)需求，產(chǎn)品出現(xiàn)剩余；第三，中間狀態(tài)，即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的，在三種狀態(tài)之間不斷變換。（3）明確產(chǎn)品的單間利潤(rùn)。單間利潤(rùn)不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入，還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項(xiàng)成本和費(fèi)用。綜上所述，生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的基本方法是以利潤(rùn)最大化為目標(biāo)，明確未知變量，確定約束條件，然后建立線性規(guī)劃模型，最終實(shí)現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計(jì)劃。
四、應(yīng)注意的問題
（1）設(shè)定約束條件和變量的個(gè)數(shù)。約束條件在線性規(guī)劃中是必不可少的，需要特別注意的是最優(yōu)解中非零變量的數(shù)目不能超過模型約束條件的數(shù)目，如果忽視這一點(diǎn)而將由模型得出的最優(yōu)解付諸實(shí)施，就會(huì)帶來不良的后果。（2）線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性。運(yùn)用線性規(guī)劃的理論和方法進(jìn)行工商管理時(shí)，其模型具有靜態(tài)性，但也只是近似，嚴(yán)格來說，模型中涉及到的價(jià)格并不是常數(shù)。這說明線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性是近似的，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到問題誤差的大小，對(duì)問題的界限進(jìn)行劃分是十分必要的。
參 考 文 獻(xiàn)
線性規(guī)劃，是指在現(xiàn)有的人力、物力、財(cái)力等資源條件限制下，通過合理的調(diào)配和有效使用，以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)方法。企業(yè)的效益依賴于資源配置的優(yōu)化，即依賴于線性規(guī)劃模型的優(yōu)化，優(yōu)化的范圍越大，其優(yōu)化效果也就越好。首先，線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計(jì)劃確定后的優(yōu)化，主要內(nèi)容包括：
（1）合理利用材料問題：在保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的條件下，以最少的材料達(dá)到最大的使用效果。
（2）配料問題：在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下，如何搭配才能獲得最大收益。
（3）投資問題：從投資項(xiàng)目中選取最佳組合，使有限的投資得到最大的回報(bào)。
（4）產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃：合理利用人力、物力、財(cái)力等，使獲利最大。
（5）勞動(dòng)力安排：用最少的勞動(dòng)力滿足工作的需要。
（6）運(yùn)輸問題：對(duì)產(chǎn)品的調(diào)運(yùn)方案進(jìn)行細(xì)致制定，減少運(yùn)費(fèi)。其次，線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)，分析未來的消費(fèi)趨勢(shì)，并預(yù)測(cè)同行的產(chǎn)銷動(dòng)向，根據(jù)分析結(jié)果，確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價(jià)格和促銷策略，然后將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行線性規(guī)劃，得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。
工商企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，因此可以運(yùn)用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計(jì)劃方案的優(yōu)化問題。但是，應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃問題進(jìn)行分析，首先必須滿足幾點(diǎn)要求：
（1）明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計(jì)劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法，以企業(yè)利潤(rùn)作為評(píng)價(jià)目標(biāo)值，其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃決策，因此，企業(yè)利潤(rùn)最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。
（2）明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力，原材料，設(shè)備使用，市場(chǎng)需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計(jì)劃分析是密切相關(guān)的，這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對(duì)于企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃分析的影響很大，不同約束條件下，決策分析的結(jié)論也會(huì)有很大區(qū)別。比如，就企業(yè)在市場(chǎng)活動(dòng)中所處的狀態(tài)可以分為三種：第一，能力不足狀態(tài)，企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場(chǎng)需求；第二，能力過剩狀態(tài)，即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場(chǎng)需求，產(chǎn)品出現(xiàn)剩余；第三，中間狀態(tài)，即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的，在三種狀態(tài)之間不斷變換。
（3）明確產(chǎn)品的單間利潤(rùn)。單間利潤(rùn)不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入，還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項(xiàng)成本和費(fèi)用。綜上所述，生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的基本方法是以利潤(rùn)最大化為目標(biāo)，明確未知變量，確定約束條件，然后建立線性規(guī)劃模型，最終實(shí)現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計(jì)劃。
二、應(yīng)注意的問題
（1）設(shè)定約束條件和變量的個(gè)數(shù)。約束條件在線性規(guī)劃中是必不可少的，需要特別注意的是最優(yōu)解中非零變量的數(shù)目不能超過模型約束條件的數(shù)目，如果忽視這一點(diǎn)而將由模型得出的最優(yōu)解付諸實(shí)施，就會(huì)帶來不良的后果。
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃；模型；Mathematica；最優(yōu)決策
1.引言
在生產(chǎn)管理和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，會(huì)經(jīng)常遇到兩類問題：一類是（資源有限）如何合理的使用現(xiàn)有的勞動(dòng)力、設(shè)備、資金等資源，以得到最大的效益；另一類是（目標(biāo)一定）為了達(dá)到一定的目標(biāo)，應(yīng)如何組織生產(chǎn)，或合理安排工藝流程，或調(diào)整產(chǎn)品的成分等，以使所消耗的資源（人力、設(shè)備臺(tái)時(shí)、資金、原材料等）為最少。這既是最優(yōu)決策問題。
如何解決上述問題，線性規(guī)劃（Linear Programming）給了我們一些方法，線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，它研究的是在線性約束條件下求解線性函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最優(yōu)解問題。線性規(guī)劃應(yīng)用越來越廣泛，《財(cái)富》雜志（Fortune）的一項(xiàng)調(diào)查，美國(guó)名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾應(yīng)用線性規(guī)劃的方法來協(xié)助公司的營(yíng)運(yùn)，由此可見線性規(guī)劃應(yīng)用面的寬廣與普及。
2.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型及求解方法[1]
2.1 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型
其中為目標(biāo)函數(shù)，s.t.的右端項(xiàng)為約束條件，表示決策變量的非負(fù)約束。
2.2 模型的求解方法
能夠求解線性規(guī)劃模型的軟件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下問題應(yīng)用Mathematica求解[2]。
Mathematica是由Wolfram（美國(guó)）公司研制開發(fā)的，應(yīng)用比較廣泛的，功能比較強(qiáng)大的一款軟件，軟件中有求解線性規(guī)劃的函數(shù)，在平臺(tái)中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目標(biāo)函數(shù)，{約束條件}，{變量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目標(biāo)函數(shù)為min的線性規(guī)劃問題，ConstrainedMax求目標(biāo)函數(shù)為max的線性規(guī)劃問題。
3.建立線性規(guī)劃模型應(yīng)用舉例
例1：（人員的合理安排問題）醫(yī)院護(hù)士的值班班次、工作時(shí)間及各班所需護(hù)士數(shù)如表1所示，護(hù)士上班以后，需連續(xù)工作8小時(shí)，則醫(yī)院最少需護(hù)士多少名，以滿足輪班需要；
分析：因護(hù)士上班后需要連續(xù)工作8小時(shí)，即第1班次開始上班的護(hù)士，需工作到14：00，第2班次開始上班的護(hù)士需工作到18：00，以此類推，第6班次開始上班的護(hù)士工作到10：00，滿足這些約束條件后，目標(biāo)函數(shù)是最少需要的護(hù)士數(shù)，就很容易列出線性規(guī)劃模型。
解：設(shè)表示第i班開始上班的護(hù)士人數(shù)，，則建立模型為：
應(yīng)用mathematica求解如下：
In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]
運(yùn)行后得：
Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}
結(jié)果：第1-6班開始上班的護(hù)士分別為60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要護(hù)士150名。
例2：（投資決策問題）某人有一筆30萬元的資金，在今后三年內(nèi)有以下投資項(xiàng)目：
（1）三年內(nèi)的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可一起用于下一年投資；
（2）只允許第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合計(jì)為投資額的150%，但此類投資限額不超過15萬元；
（3）于三年內(nèi)第二年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計(jì)為投資額的160%，這類投資限額20萬元；
（4）于三年內(nèi)的第三年初允許投資，一年收回，可獲利40%，投資限額為10萬元。
試為該人確定一個(gè)使第三年末本利和為最大的投資計(jì)劃。
分析：本題為最大化最優(yōu)決策問題，有4個(gè)可投資項(xiàng)目，即題中（1）至（4），關(guān)鍵問題在于決策變量的設(shè)置，我們用來表示第年初投資到第個(gè)項(xiàng)目的資金數(shù)，這樣問題就迎刃而解了。
解：設(shè)表示第年初投資到第個(gè)項(xiàng)目的資金數(shù)，建立線性規(guī)劃模型為：
應(yīng)用mathematica求解如下：
In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12
Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}
結(jié)果：
第一年年初投資到（1）和（2）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為166667元和133333元；
第二年年初投資到（1）和（3）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為0元和200000元；
第三年年初投資到（1）和（4）兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為100000元和100000元；
第三年末本利和最大為58萬元。
例3：（學(xué)區(qū)學(xué)生入學(xué)的劃分）某學(xué)區(qū)由五個(gè)居民區(qū)和三所學(xué)校組成，學(xué)校設(shè)專門校車接送學(xué)生。各學(xué)校的容量如表2所示，各居民區(qū)的學(xué)生人數(shù)如表3所示；各居民區(qū)的學(xué)生到相應(yīng)學(xué)校的校車費(fèi)用如表4所示。試問應(yīng)怎樣給各個(gè)學(xué)校分配兒童，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)區(qū)管理者實(shí)現(xiàn)使校車接送所花費(fèi)用最低的目的？[3]
分析：該問題為最低費(fèi)用的最優(yōu)決策問題，在滿足人數(shù)要求的條件下，費(fèi)用最低，三所學(xué)校的容量總和為2500人，而五個(gè)居民區(qū)共2350人，這就使得某些學(xué)校分配的兒童不足，對(duì)于約束條件將出現(xiàn)不等式，建立線性規(guī)劃模型時(shí)要注意。
解：設(shè)表示校車從第居民區(qū)送往第學(xué)校的人數(shù)，建立模型如下：
4.小結(jié)
由以上分析，我們可以看出，線性規(guī)劃在最優(yōu)決策中為人們提供了解決問題的一種方法。決策者通過建立便捷的線性規(guī)劃模型解決了最優(yōu)化問題，無論是對(duì)于企業(yè)還是對(duì)于個(gè)人提升都具有重要的價(jià)值。
參考文獻(xiàn)
[1]胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程（第三版）[M].清華大學(xué)出版社，2007，4.
[2]丁大正.科學(xué)計(jì)算強(qiáng)檔Mathematica4教程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2002.3.
[關(guān)鍵詞]運(yùn)籌學(xué)；線性規(guī)劃；物流管理
[DOI]10.13939/ki.zgsc.2015.07.024
1 物流系統(tǒng)與線性規(guī)劃
物流系統(tǒng)是由運(yùn)輸、倉儲(chǔ)、包裝、裝卸搬運(yùn)、配送、流通加工，物流信息等各環(huán)節(jié)要素所組成的，要素之間存在有機(jī)聯(lián)系并具有使物流總體合理化功能的綜合體。物流系統(tǒng)作為社會(huì)經(jīng)濟(jì)大系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng)具有輸入、轉(zhuǎn)換及輸出三大功能，物流系統(tǒng)運(yùn)行的主要目標(biāo)包括服務(wù)目標(biāo)、快速及時(shí)目標(biāo)、節(jié)約目標(biāo)、規(guī)模優(yōu)化目標(biāo)以及庫存調(diào)節(jié)目標(biāo)。
線性規(guī)劃法作為運(yùn)籌學(xué)中理論最完善、方法最成熟、應(yīng)用最廣泛的一個(gè)分支，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和工具，對(duì)所研究的問題求出最優(yōu)解，尋求最佳的行動(dòng)方案，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)籌規(guī)劃和各項(xiàng)資源的組織、籌劃和調(diào)度，所以它也可看成是一門優(yōu)化技術(shù)，提供的是解決各類問題的優(yōu)化方法。線性規(guī)劃所研究的問題主要有兩類：一類是已給定一定數(shù)量的人力和物力資源，如何用這些資源完成最大量的任務(wù)；另一類是已給定一項(xiàng)任務(wù)，如何統(tǒng)籌安排，才能以最小量的資源去完成這項(xiàng)任務(wù)。即有關(guān)“多、快、好、省”的最優(yōu)化問題。而物流系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)行以及克服系統(tǒng)中各要素的制約關(guān)系等問題都需要運(yùn)用到線性規(guī)劃方法來解決，因此二者相輔相成，互相促進(jìn)。
為了有效地降低物流配送的成本，在時(shí)間、運(yùn)輸路線、倉儲(chǔ)量等多目標(biāo)下的物流儲(chǔ)運(yùn)成本的控制就成了關(guān)鍵的問題。運(yùn)用線性規(guī)劃的統(tǒng)籌學(xué)原理，將物流配送基于時(shí)間、路線的成本管理問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的求解，使得物流配送的利益最大化有解；然而，構(gòu)建不同的線性模型，所采用的算法的不一，也會(huì)對(duì)物流配送的最佳解產(chǎn)生直接的影響，因此，有必要對(duì)物流配送問題進(jìn)行算法的比較研究，以期能夠獲得最接近于實(shí)際情況的模型，所求得的解具有一定的通用性。
2 線性規(guī)劃法在物流管理中的應(yīng)用
2.1 庫存管理和控制問題
主要應(yīng)用于解決多種物資庫存量的管理，確定某些設(shè)備的能力或容量，如某倉庫庫存能力的大小，某港口碼頭的轉(zhuǎn)運(yùn)能力，車載量的大小等，這類問題的實(shí)質(zhì)是通過目標(biāo)函數(shù)的建立實(shí)現(xiàn)倉儲(chǔ)資源的充分利用。
例如：某市新建一物流倉儲(chǔ)中心，其平面圖如圖1所示，現(xiàn)有一批貨物準(zhǔn)備存入該物流倉儲(chǔ)中心，具體有三種物品A、B、C，其量分別是7、4、9。已知各倉庫存儲(chǔ)能力及存儲(chǔ)成本如表1所示，考慮到不同倉庫存儲(chǔ)能力、管理費(fèi)用、入庫成本，在總存儲(chǔ)成本最小的前提下，分配三種物品。
解：
根據(jù)線性規(guī)劃理論與方法，將倉庫視為銷地，貨物視為產(chǎn)地，貨物總量20，倉儲(chǔ)總量20，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)產(chǎn)銷平衡的線性規(guī)劃問題，建立模型解得A物品存儲(chǔ)5個(gè)單位在3號(hào)庫，2單位在1號(hào)庫；B物品存儲(chǔ)3各單位在4號(hào)庫，1個(gè)單位在1號(hào)庫；C物品存儲(chǔ)6個(gè)單位在2號(hào)庫，3個(gè)單位在4號(hào)庫。此時(shí)，得到最優(yōu)的倉庫分配方案，其存儲(chǔ)費(fèi)用為：3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85。
2.2 運(yùn)輸問題
這一問題歷來是物流管理研究問題的重中之重，它包括了空運(yùn)、水運(yùn)、公路運(yùn)輸、鐵路運(yùn)輸、管道運(yùn)輸以及內(nèi)部物流、第三方物流的運(yùn)輸問題等?？者\(yùn)問題涉及飛行航班和飛行機(jī)組人員服務(wù)時(shí)間安排等，水運(yùn)有船舶航運(yùn)計(jì)劃、港口裝卸設(shè)備的配置和船到碼頭后的作業(yè)安排，公路運(yùn)輸除了汽車調(diào)度計(jì)劃外，還有公路網(wǎng)的設(shè)計(jì)和分析、最優(yōu)路徑的選擇、司機(jī)的調(diào)度安排、行車時(shí)刻表的安排、運(yùn)輸費(fèi)用的合理定價(jià)、車場(chǎng)的設(shè)立等一系列問題，都可以借助線性規(guī)劃法予以解決。
例如：某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地段每天至少運(yùn)輸180噸的支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6噸的A型卡車和4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員。A型卡車每天可往返4次，B型卡車每天可往返3次，每輛A型卡車每天往返成本為320元，B型為504元，問如何調(diào)配車輛，使公司成本最低？
2.3 配送問題
隨著現(xiàn)代物流的發(fā)展，配送逐步成為物流中的一個(gè)重要組成部分，同時(shí)由于配送并不單單只是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的物流功能，它從一產(chǎn)生起就表現(xiàn)出了相當(dāng)強(qiáng)的綜合性。從某種意義看，一個(gè)大型的物流配送中心幾乎就是一個(gè)微縮的全過程物流，因此配送過程中涉及的運(yùn)籌學(xué)問題也更多更復(fù)雜。比如貨物分揀搭配、貨配車、車配貨、人員調(diào)度安排、庫存空間分配等。
現(xiàn)代物流配送網(wǎng)絡(luò)大多分為兩級(jí)，各個(gè)大區(qū)再根據(jù)情況可劃分為若干個(gè)小區(qū)，為降低運(yùn)輸成本和倉儲(chǔ)成本，明確層次和關(guān)系以方便管理，對(duì)于物流配送網(wǎng)絡(luò)來講，一般有如下要求：
（1）為了方便網(wǎng)絡(luò)中貨物配送的運(yùn)輸和管理，所有貨物必須從本層次的貨物始發(fā)點(diǎn)發(fā)出，其他節(jié)點(diǎn)相互問不存在貨物調(diào)配運(yùn)輸，這樣，簡(jiǎn)化了物流配送網(wǎng)絡(luò)，又避免了運(yùn)輸能力的浪費(fèi)。
（2）貨物即使在運(yùn)輸途中經(jīng)過其他節(jié)點(diǎn)，也不調(diào)用途經(jīng)節(jié)點(diǎn)的庫存，故可以認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中同一層次的任何節(jié)點(diǎn)都是直接與本層次的貨物始發(fā)節(jié)點(diǎn)相連通的。
（3）為了降低倉儲(chǔ)成本，提高倉儲(chǔ)效率，即各節(jié)點(diǎn)盡量降低倉儲(chǔ)量，存儲(chǔ)的貨物只滿足當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)的需求，在情況允許的時(shí)候，甚至可以出現(xiàn)短時(shí)間少量缺貨。
（4）貨物從發(fā)貨點(diǎn)到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)輸方式和運(yùn)輸線路有多種方案可供選擇，但對(duì)于特定物流網(wǎng)絡(luò)中的某一貨物來說，根據(jù)運(yùn)輸要求和市場(chǎng)需求的不同（如要求最短時(shí)間或最小費(fèi)用），運(yùn)輸?shù)南鄬?duì)最優(yōu)方案是存在的，而且一段時(shí)間內(nèi)比較穩(wěn)定，物流配送網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸能力是有限的，所以，發(fā)送物品量應(yīng)當(dāng)不大于物流配送網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)輸能力。
例如：某配送中心要配送兩種貨物，第一種貨物單位價(jià)值3萬元，單位體積2立方米，單位重量1噸；第二種貨物單位價(jià)值4萬元，單位體積3立方米，單位重量1噸，車輛的額定載重量為5噸，額定載重容積為8立方米，兩種貨物批量都為3噸，試用線性規(guī)劃方法進(jìn)行車輛配載，使車輛裝載價(jià)值最大。
2.4 物流節(jié)點(diǎn)選址決策問題
這類問題主要解決優(yōu)化物流中心以及其他物流節(jié)點(diǎn)的布局安排，增強(qiáng)物流節(jié)點(diǎn)布局的合理性，以最少的物流節(jié)點(diǎn)輻射盡可能大的物流活動(dòng)區(qū)域，增大物流節(jié)點(diǎn)建設(shè)實(shí)施的可行性。
例如：某配送中心有三個(gè)備選地，供應(yīng)商2個(gè)，客戶3個(gè)，相關(guān)參數(shù)如表2所示，用線性規(guī)劃方法進(jìn)行選址決策。
目前，以計(jì)算機(jī)為手段，應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法和系統(tǒng)理論，已成為支撐現(xiàn)代物流管理的有效工具，相信在物流管理系統(tǒng)中，運(yùn)籌學(xué)與信息技術(shù)的有效結(jié)合，將使物流管理上升到一個(gè)更高的水平。
參考文獻(xiàn)：
[1]任志霞.物流配送系統(tǒng)中的運(yùn)籌學(xué)問題及其方法研究[J].物流科技，2007（3）.
[2]李創(chuàng)，王麗萍.物流管理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.
