發(fā)布時(shí)間：2023-03-15 15:04:19
序言：寫作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的解方程應(yīng)用題樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
關(guān)鍵詞：直譯法；小學(xué)數(shù)學(xué)；方程應(yīng)用題
中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2013）36-0095-02
列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。
審題：審題就是要弄清楚題目中事物的已知量和未知量間的基本數(shù)量關(guān)系。
設(shè)元：合理選擇未知數(shù)是解題的關(guān)鍵步驟之一。一般設(shè)直接未知數(shù)，即把題目所求量設(shè)為x。特殊情況下也可設(shè)間接未知數(shù)，即把與所求量相關(guān)的某個(gè)量設(shè)作x.
列方程：把題目中用語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)。格局題目所設(shè)的條件，利用等量關(guān)系布列含有未知數(shù)的等式——方程。
解方程：求出未知數(shù)x。
檢驗(yàn)：檢查驗(yàn)證方程得解是否合乎題意和實(shí)際。
答：寫出正確的答語(yǔ)。
解決這類問(wèn)題的方法很多，現(xiàn)結(jié)合實(shí)例介紹一下“直譯法”以供參考?！爸弊g法”即將題目中的關(guān)鍵性信息或數(shù)量及各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系翻譯成數(shù)學(xué)式子，然后根據(jù)代數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系找出數(shù)量關(guān)系。
【例1】2009年12月聯(lián)合國(guó)氣候會(huì)議在哥本哈根召開(kāi)，從某地到哥本哈根，若乘飛機(jī)需要3小時(shí)，若乘汽車需要9小時(shí)。這兩種交通工具平均每小時(shí)二氧化碳的排放量之和為70千克，飛機(jī)全程二氧化碳的排放總量比汽車的多54千克，分別求飛機(jī)和汽車平均每小時(shí)二氧化碳的排放量。
【分析】題目中設(shè)計(jì)到兩種交通工具平均每小時(shí)二氧化碳的排放量，我們用“飛機(jī)”代替飛機(jī)平均每小時(shí)二氧化碳的排放量，用“汽車”代替平均每小時(shí)二氧化碳的排放量。根據(jù)題目中數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我們可以直譯得到兩個(gè)等量關(guān)系：①飛機(jī)+汽車=70，②3飛機(jī)-9汽車=54。然后利用①來(lái)設(shè)未知數(shù)，用②列方程即可。
【解】設(shè)飛機(jī)平均每小時(shí)二氧化碳的排放量為x千克，則汽車平均每小時(shí)二氧化碳的排放量為（70-x）千克，根據(jù)題意，得
3x-9（70-x）=54
3x-630+9x=54
？搖？搖12x=684
？搖？搖X=57
70-x=70-57=13（千克）
【答】飛機(jī)和汽車平均每小時(shí)二氧化碳的排放量分別為57千克和13千克。
【例2】一位婦女在河邊洗碗，鄰居問(wèn)：“家里來(lái)了多少客人，要用這么多碗？”她回答說(shuō)：“客人每人用一個(gè)飯碗，每?jī)晌缓嫌靡粋€(gè)菜碗，每三位合用一個(gè)湯碗，共用了66個(gè)碗?！彼揖烤箒?lái)了多少位客人？（我國(guó)古代的數(shù)學(xué)問(wèn)題）
【分析】題目中有很多的日常用語(yǔ)，根據(jù)這些語(yǔ)言的敘述我們知道這位婦女家所來(lái)的客人的人數(shù)是1，2，3的倍數(shù)，而1，2，3的最小公倍數(shù)是6，所以我們可以設(shè)她家來(lái)了6x位客人。然后把題目中日常用語(yǔ)翻譯乘代數(shù)式。
從表格中很容易得到方程。
【解】設(shè)她家來(lái)了6x位客人，根據(jù)題意，得
？搖？搖6x+3x+2x=66
？搖？搖？搖？搖11x=66
？搖？搖？搖？搖？搖x=6
？搖？搖6x=6×6=36（位）
【答】她家來(lái)了36位客人。
【例3】某校六年級(jí)近期實(shí)行小班教學(xué)，如果每間教室安排20名學(xué)生，那么缺少3間教室；如果每間教室安排24名學(xué)生，那么空出一間教室。問(wèn)共有教室多少間？六年級(jí)有多少人？
【分析】本題中有2個(gè)未知量：人數(shù)和教室間數(shù)。我們可以設(shè)原來(lái)每人搬x塊磚，用“人”字代表原來(lái)人數(shù)，用“教”代表教室間數(shù)。由“如果每間教室安排20名學(xué)生，那么缺少3間教室”得到代數(shù)式：人=20（教+3）；由“如果每間教室安排24名學(xué)生，那么空出一間教室”得到代數(shù)式：人=24（教-1）.根據(jù)如此分析很容易看出我們可以用人數(shù)相等來(lái)列方程。
【解】設(shè)某校共有x間教室，根據(jù)題意，得
？搖？搖20（x+3）=24（x-1）
？搖？搖20x+60=24x-24
？搖？搖？搖？搖84=4x
？搖？搖？搖？搖x=21
？搖？搖？搖？搖20（x+3）=20×24=480（人）
【答】共有教室21間，六年級(jí)有480人。
【例4】甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲、乙從A地、丙從B地同時(shí)相向出發(fā)，丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲。求A、B兩地的距離。
【分析】由于路程=速度×?xí)r間，現(xiàn)已知速度求距離，故可以直接設(shè)距離為x，也可設(shè)時(shí)間為x，現(xiàn)用兩種方法解之。
【解法1】設(shè)乙、丙相遇時(shí)已用了x分鐘，則甲、丙相遇時(shí)用了（x+2）分鐘，故A、B兩地的距離等于乙、丙相遇時(shí)乙、丙所行路程的和，也等于甲、丙相遇時(shí)甲、丙所行路程的和。
乙、丙相遇時(shí)乙、丙所行路程的和=（60+70）x=130x
甲、丙相遇時(shí)甲、丙所行路程的和=（50+70）×（x+2）
？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖=120x+240
所以有方程130x=120x+240
解這個(gè)方程得x=24，即乙、丙24分鐘相遇。
所以A、B兩地的距離=130×24=3120（米）。
【解法2】設(shè)A、B兩地的距離為x米。則乙、丙相遇所需時(shí)間為x÷（60+70）分鐘，甲、丙相遇所需時(shí)間為x÷（50+70）分鐘，由此得方程
x÷120-x÷130=2
解這個(gè)方程，在原方程左右兩邊同時(shí)乘以（120×130）得
130x-120x=2×120×130
？搖？搖10x=31200
？搖？搖X=3120
教學(xué)目的
1．通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，采用列方程的方法解答應(yīng)用題．
2．通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確的找出題目中的等量關(guān)系．
3．培養(yǎng)學(xué)生的分析以及綜合能力．能夠從不同角度解決同一個(gè)問(wèn)題．
教學(xué)重點(diǎn)
通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確的找出題目中的等量關(guān)系．
教學(xué)難點(diǎn)
通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確的找出題目中的等量關(guān)系．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備．
1．求未知數(shù)．
×＝－＝÷＝1
－＝÷＝1－＝
解方程求方程的解的格式是什么？
2．找出下列應(yīng)用題的等量關(guān)系．
①男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍．
②梨樹(shù)比蘋果樹(shù)的3倍少15棵．
③做8件大人衣服和10件兒童衣服共用布31.2米．
④把兩根同樣的鐵絲分別圍成長(zhǎng)方形和正方形．
我們今天就復(fù)習(xí)運(yùn)用題目中的等量關(guān)系解題．（板書：列方程解應(yīng)用題）
二、復(fù)習(xí)探討．
（一）教學(xué)例3．
一列火車以每小時(shí)90千米的速度從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一列貨車以每小時(shí)75千米的速度從乙站開(kāi)往甲站，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇，甲乙兩站的鐵路長(zhǎng)多少千米？
1．讀題，學(xué)生試做．
2．學(xué)生匯報(bào)（可能情況）
（1）（90＋75）×4
提問(wèn)：90＋75求得是什么問(wèn)題？再乘4求的是什么？
（2）90×4＋75×4
提問(wèn)：90×4與75×4分別求的是什么問(wèn)題？
（3）÷4＝90＋75
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
（4）÷4－75＝90
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
（5）÷4－90＝75
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
3．討論思考．
（1）用方程解這道應(yīng)用題，為什么你們認(rèn)為這三種方法都正確？
（等號(hào)的左右表示含義相同）
（2）列方程解應(yīng)用題的特點(diǎn)是什么？
兩點(diǎn)：
變未知條件為已知條件，同時(shí)參加運(yùn)算；
列出的式子為含有未知數(shù)的等式，并且左右表示的數(shù)量關(guān)系一致
（3）怎樣判定用方程解一道應(yīng)用題是否正確？（方程的左右是否為等量關(guān)系）
4．小結(jié)．
（1）小組討論：用方程解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，有什么不同點(diǎn)？
（2）小組匯報(bào)：
①算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，未知數(shù)為特殊地位，不參加運(yùn)算；用方程解應(yīng)用題時(shí)，未知數(shù)與已知數(shù)處于平等地位，可以參加列式．
②算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，需要根據(jù)題意分析數(shù)量關(guān)系，列出用已知條件表示求未知數(shù)的量；用方程解應(yīng)用題時(shí)，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出的是含有未知數(shù)的等式．
（二）變式反饋：根據(jù)題意把方程補(bǔ)充完整．
1．甲乙兩站之間的鐵路長(zhǎng)660千米．一列客車以每小時(shí)90千米的速度從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一輛貨車以每小時(shí)75千米的速度從乙站開(kāi)往甲站．經(jīng)過(guò)多少小時(shí)兩車相遇？
2．甲乙兩站之間的鐵路長(zhǎng)660千米．一列客車從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一輛貨車從乙站開(kāi)往甲站．經(jīng)過(guò)4小時(shí)兩車相遇，客車每小時(shí)行90千米，貨車每小時(shí)行多少千米？
教師提問(wèn)：這兩道題有什么聯(lián)系？有什么區(qū)別？
三、鞏固反饋．
1．根據(jù)題意把方程補(bǔ)充完整．
（1）張華借來(lái)一本116頁(yè)的科幻小說(shuō)，他每天看頁(yè)，看了7天后，還剩53頁(yè)沒(méi)有看．
_____________＝53
_____________＝116
（2）媽媽買來(lái)3米花布，每米9.6元，又買來(lái)元毛線，每千克73.80元．一共用去139.5元．
_____________＝139.5
_____________＝9.6×3
（3）電工班架設(shè)一條全長(zhǎng)米長(zhǎng)的輸電線路，上午3小時(shí)架設(shè)了全長(zhǎng)的21%，下午用同樣的工效工作1小時(shí)，架設(shè)了280米．
_____________＝280×3
2．解應(yīng)用題．
東鄉(xiāng)農(nóng)業(yè)機(jī)械廠有39噸煤，已經(jīng)燒了16天，平均每天燒煤1.2噸．剩下的煤如果每天燒1.1噸，還可以燒多少天？
小結(jié)：根據(jù)同學(xué)們的不同方法，我們需要具體問(wèn)題具體分析，用哪種方法簡(jiǎn)便就用哪種方法．
3．思考題．
甲乙兩個(gè)港相距480千米，上午10時(shí)一艘貨船從甲港開(kāi)往乙港，下午2時(shí)一艘客船從乙港開(kāi)往甲港．客船開(kāi)出12小時(shí)后與貨船相遇．如果貨船每小時(shí)行15千米．客船每小時(shí)行多少千米？
四、課堂總結(jié)．
通過(guò)今天的復(fù)習(xí)，你有什么收獲？
五、課后作業(yè)．
1．師傅加工零件80個(gè)，比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的2倍少10個(gè)．徒弟加工零件多少個(gè)？
2．徒弟加工零件45，比師傅加工零件個(gè)數(shù)的多5個(gè)．師傅加工零件多少個(gè)？
六、板書設(shè)計(jì)
列方程解應(yīng)用題
列方程解應(yīng)用題的竅門枚不勝舉，其中找準(zhǔn)等量關(guān)系處于核心地位，類似解決價(jià)格問(wèn)題、銀行利率問(wèn)題、溶液濃度問(wèn)題和工程問(wèn)題等必須通過(guò)找準(zhǔn)等量關(guān)系才能解決問(wèn)題.它包括列表分析法、譯式分析法、線示分析法、逆推法和圖示分析法等.在初中數(shù)學(xué)中涉及的列方程求解應(yīng)用題的題型中，前四種方法的使用比較普遍.
其一，列表分析法.所謂列表分析法就是將題目中的已知量和未知量表示到表格中，綜合利用表格分析出各種量之間的關(guān)系，最后列出相應(yīng)方程的方法.此法操作比較簡(jiǎn)單，大部分學(xué)生容易理解和掌握.
其二，譯式分析法.顧名思義，譯式分析法就是將題目中關(guān)鍵性的詞語(yǔ)“翻譯”成代數(shù)式，把相應(yīng)的文字“翻譯”成代數(shù)語(yǔ)言，從而順利分析出它們之間的內(nèi)在關(guān)系.一般按照三大步驟進(jìn)行：
首先，教師要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出未知量，也就是“翻譯”未知量.
其次，讓學(xué)生明白題目中的主要屬性，即：“翻譯”屬性量，用已知與和未知兩個(gè)要素組合成的代數(shù)式，從而為列式作好準(zhǔn)備.
第三，我們要積極鼓勵(lì)學(xué)生成功“翻譯”等量，即：同時(shí)表示一個(gè)屬性量的兩個(gè)代數(shù)值一定相等.學(xué)生只有在分析的基礎(chǔ)上正確理解題意，逐項(xiàng)進(jìn)行“翻譯，”才能在完成“翻譯”時(shí)初步列出方程.
例1某縣有42萬(wàn)人口，計(jì)劃一年后農(nóng)村人口增加1.1%，城鎮(zhèn)人口增加0.8%，這樣全縣人口將增加1%，求這個(gè)縣現(xiàn)在的農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口各多少.
分析該題有兩個(gè)未知數(shù)，農(nóng)村人口與城市人口.
屬性量和關(guān)系：①農(nóng)村人口=總?cè)丝?城鎮(zhèn)人口，②農(nóng)村人口×1.1%=總?cè)丝凇?%-城鎮(zhèn)人口×0.8%.
變換過(guò)程：①設(shè)目前該縣城鎮(zhèn)人口是x萬(wàn)，農(nóng)村人口則為(42-x)萬(wàn)；②一年后該縣的城鎮(zhèn)人口增加(0.8%x)萬(wàn)，農(nóng)村人口增加1.1%(42-x)萬(wàn)，總?cè)丝谠黾?2×1%萬(wàn). ③由上述題意得方程：1.1%(42-x)=1%×42-0.8%x，解方程得x=14，則42-x=28.所以，農(nóng)村人口是28萬(wàn)，城鎮(zhèn)人口是14萬(wàn).
其三，線示分析法.這個(gè)方法比較適合相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題，一般用線示分析法通俗易懂，能促使學(xué)生快捷地找到題目中相應(yīng)的等量關(guān)系.
其四，逆推法.所謂逆推法，俗稱還原法，也就是把問(wèn)題發(fā)生的順序倒過(guò)來(lái)，采用逆向思維推算的方法逐步還原來(lái)解答一些問(wèn)題.在平時(shí)，不少學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)習(xí)慣用直接解法，但有些較難的比較適宜使用逆推法，從而達(dá)柳暗花明又一村的美妙境界.
二、采用總分法是列方程解應(yīng)用題航燈
采用總分法列方程解應(yīng)用題能使學(xué)生方向明確，從而幫助學(xué)生按照總量等于各分量之和正確列出方程，但在操作過(guò)程中學(xué)生千萬(wàn)不能遺漏各分量.
例2這里曾經(jīng)埋葬著丟番圖，請(qǐng)你計(jì)算一下他一生經(jīng)過(guò)了多少歲月歷程，他一生的六分之一是快樂(lè)的童年，十二分之一是童趣的少年，再度過(guò)七分之一的時(shí)光，他建立了美滿幸福的小家庭.五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù)的一半.晚年喪子的老人真可憐，悲痛之中度過(guò)了風(fēng)燭殘年.試測(cè)算一下，丟番圖的壽命(總年齡)到底多少？
分析這是著名的丟番圖的“墓志銘”，題目巧妙地把他活的總壽命分割成若干時(shí)段，而他各時(shí)段的分年齡之和就是他的壽命.
解：設(shè)丟番圖的一生活了x年，據(jù)題意得：x=x6+x12+x7+5+x2+4，解之得x＝84，所以，丟番圖的壽命是84歲.同時(shí)，我們?cè)谟纱祟}的解答中，還可知道古希臘的這位大數(shù)學(xué)家丟番圖33歲結(jié)婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子只活42歲.
三、駕馭多媒體技術(shù)是列方程解應(yīng)用題的添加劑
初中數(shù)學(xué)知識(shí)是比較抽象的，不少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)感到力不從心.假如合理駕馭多媒體技術(shù)可以扭轉(zhuǎn)枯燥乏味的被動(dòng)局面，不僅彌補(bǔ)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)不足，而且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
例3已知5臺(tái)A型機(jī)器一天生產(chǎn)的合格成品裝滿8箱后還剩4個(gè)，7臺(tái)B型機(jī)器一天生產(chǎn)的合格成品裝滿11箱后還剩1個(gè)，每臺(tái)A型機(jī)器比B型機(jī)器一天多生產(chǎn)1個(gè)成品，試求每箱有多少個(gè)成品.
由于學(xué)生不僅不熟悉車間的生產(chǎn)勞動(dòng)的情況，而且對(duì)這個(gè)車間A、B兩種型號(hào)的機(jī)器模糊不清，因此，難于找到問(wèn)題中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，給解答問(wèn)題造成了障礙.針對(duì)類似情況，我們不妨利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)，播放一些社會(huì)、生產(chǎn)片斷，讓學(xué)生在視覺(jué)上直觀機(jī)器生產(chǎn)成品的情況，從而有利于把抽象的應(yīng)用題形象化，有利于激發(fā)學(xué)生興趣，教學(xué)效果顯著.
四、巧用相似思維是列方程解應(yīng)用題的后盾
【關(guān)鍵詞】：函數(shù)思想；方程思想；應(yīng)用
[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.
[keyword]: function; equation; application
中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-2104（2013）
函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容。函數(shù)與方程思想更是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要基本思想之一，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，是歷年來(lái)高考考查的重點(diǎn)。
函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。函數(shù)思想的精髓就是構(gòu)造函數(shù)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方程的思想，是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。
方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，函數(shù)與方程的思想方法，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的運(yùn)用。對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程，也可以把函數(shù)式看做二元方程，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系十分重要。
函數(shù)與表達(dá)式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式，借助與函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等式的有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開(kāi)解不等式。
數(shù)列的通項(xiàng)或前項(xiàng)和時(shí)自變量為自然數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題也是十分重要。
函數(shù)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，利用這個(gè)函數(shù)，用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題。
解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。
立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。建立空間向量后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系就更加密切。
函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題;二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。
高考中的方程和不等式問(wèn)題包括方程、不等式的求解及方程、不等式觀點(diǎn)的應(yīng)用，可以分成逐漸提高的四個(gè)層次。
第一層次：解方程或不等式，主要是指解代數(shù)（一次、二次等）方程或不等式，指數(shù)、對(duì)數(shù)方程或不等式，三角方程或不等式，復(fù)數(shù)方程等；
第二層次：對(duì)帶參數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及二次方程的判別式、韋達(dá)定理、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立的不等式等問(wèn)題；
第三層次：轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系（包括點(diǎn)與曲線及直線與曲線的位置關(guān)系）、函數(shù)的性質(zhì)、集合的關(guān)系等；
第四層次：構(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題。
其中第三、四層次（特別是第四層次）已經(jīng)進(jìn)入到方程、不等式觀點(diǎn)應(yīng)用的境界，即把方程、不等式作為基本數(shù)學(xué)工具去解決各個(gè)學(xué)科中的問(wèn)題。
縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱，“綱舉目張”，抓住了函數(shù)這個(gè)“綱”就帶動(dòng)起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目”。即使對(duì)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的研究，也完全是以函數(shù)為對(duì)象、為中心的。熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ)。善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。
函數(shù)思想
所謂函數(shù)思想，不僅僅是使用函數(shù)的方法來(lái)研究和解決函數(shù)的問(wèn)題，它的精髓是運(yùn)用函數(shù)分析問(wèn)題、、解決問(wèn)題的觀點(diǎn)、方法，是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使用函數(shù)方法來(lái)解決問(wèn)題的思想。
構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)
例1.（1）已知關(guān)于的方程有唯一解，求的值；
（2）解不等式。
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的零點(diǎn)唯一時(shí)的。
（2）由觀察可構(gòu)造函數(shù)再利用函數(shù)的性質(zhì)，解決問(wèn)題。
解析：（1）令，
的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，而題設(shè)方程由唯一解，從而此解必為（否則必有另一解），。
（2）設(shè)，易證在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)不等式、方程及最值之類的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)，?？墒箚?wèn)題簡(jiǎn)單得解。
2.選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系
例2．對(duì)于的一切值，使不等式恒成立的的取值范圍是
分析：從一個(gè)含有多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題里，選定合適的主變?cè)瑥亩沂酒渲兄饕暮瘮?shù)關(guān)系。
解析; 且，，即。①
當(dāng)時(shí)，不定式①不成立。
當(dāng)時(shí)，設(shè)。
當(dāng)，
即又當(dāng)，
即故的取值范圍時(shí)。
點(diǎn)評(píng)：本解的巧妙之處是“反客為主”，求x反而以a為主變?cè)獙?duì)x進(jìn)行討論，這才是真正切中要害。若以x為主元對(duì)a進(jìn)行討論，則問(wèn)題的解決就繁就難多了。
3．選取變?cè)?，確定函數(shù)關(guān)系
例3．函數(shù)的值域是。
分析：一般思路是：平方，移項(xiàng)，孤立根式，再平方，可以化無(wú)理式為有理式。面對(duì)這樣一個(gè)低于四次的含雙變量的方程，其難度真不敢想象。然而，可考慮轉(zhuǎn)換選取新變?cè)?/p>
解析：由，設(shè)，
那么，
當(dāng)
點(diǎn)評(píng)：雖然經(jīng)選取變?cè)蟮暮瘮?shù)簡(jiǎn)潔明快，可以使人拍案叫絕，但須特別注意到：轉(zhuǎn)化后的函數(shù)上沒(méi)有單調(diào)性，故最大值不能在其右端點(diǎn)取得。
4.利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù)
例4：求證：。
分析：構(gòu)造函數(shù)，比較兩個(gè)展開(kāi)式中的系數(shù)。
解析：令，展開(kāi)式中的系數(shù)，又
其中的系數(shù)為，故=。
點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)，用賦值法或“二項(xiàng)”展開(kāi)來(lái)比較系數(shù)可以解決許多二項(xiàng)式定理有關(guān)的問(wèn)題。
5.用函數(shù)的思想方法解數(shù)列題
例5.已知不定式對(duì)一切大于1的自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：無(wú)法求和，常規(guī)數(shù)列的方法就不起作用了，故必須用函數(shù)的思想，用研究函數(shù)單調(diào)性的方法研究這個(gè)數(shù)列，求出最小值。
解析：令
，
所以為增函數(shù)，且
由題意得。
點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（本例為單調(diào)性）求出的最小值。用函數(shù)方法解決問(wèn)題，正是函數(shù)思想的核心。
6.建立函數(shù)關(guān)系解應(yīng)用題
例6.用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，要求底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積。
分析：這里有四個(gè)變量：底面的長(zhǎng)、寬、長(zhǎng)方體的體積和高。設(shè)長(zhǎng)、高可用x表示，容積y是x的函數(shù)。運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式，建立目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，再求函數(shù)的最大值。
解析：設(shè)容器底面寬為x(m),則長(zhǎng)為x+0.5(m),高為
由，設(shè)容器的容積為y(m),則有
整理得，求導(dǎo)，得
，令即
解得。從而，在定義域內(nèi)只有在。因此，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，這時(shí)，高為。
答：當(dāng)容器的高為1.2m時(shí)，容積最大，最大容積是1.8(m)。
點(diǎn)評(píng)：此題容易忽視的時(shí)自變量x的取值范圍，缺少它，很難判斷求出的最大值是否符合題意。另外，適當(dāng)設(shè)出自變量，建立函數(shù)關(guān)系是解此類題的關(guān)鍵。本題在求函數(shù)最大值時(shí)，是用求導(dǎo)的方法求出極值點(diǎn)，再根據(jù)實(shí)際情況判斷是最大值還是最小值。
7.函數(shù)思想在幾何中的應(yīng)用
例7 如圖,是圓的直徑,垂直于圓所在平面,是圓周上任意一點(diǎn),設(shè),.求異面直線和的距離.
分析：因?yàn)楫惷嬷本€間的距離是連結(jié)異面直線上任意兩點(diǎn)的線段中的最短者, 因此本題可用求函數(shù)最小值的方法來(lái)解, 這里建立函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵
解析： 在上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)作于,連結(jié),設(shè),由題設(shè)易證
因?yàn)槭堑妊苯侨切?所以
在中,
因?yàn)?
所以,當(dāng)時(shí),
點(diǎn)評(píng)：本題主要是根據(jù)幾何關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式,通過(guò)解決函數(shù)問(wèn)題來(lái)求出對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題.
方程的思想
方程與函數(shù)密切相關(guān)，在解題中，方程的思想占有重要的地位，也是近年來(lái)高考所重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。
解方程或分析方程的解
例8.已知實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且求。
分析：利用數(shù)列的有關(guān)公式，列出方程組求解。
解析：由題意得由1、2兩式，解得，將帶入3式，整理得
故。經(jīng)驗(yàn)算，上述兩組數(shù)符合題意。
點(diǎn)評(píng)：本題的列方程組和求解的過(guò)程，體現(xiàn)的就是方程的思想。
2通過(guò)換元構(gòu)成新的方程
例9.關(guān)于的方程恒有解，求的取值范圍。
分析：通過(guò)換元將方程變?yōu)槎畏匠毯阌姓?，同時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系。
解析：（法一）設(shè)原方程有解即方程有正根，
即，
解得
（方法二）設(shè)
①當(dāng)
；
②.
綜上可得，。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于多元方程（含參數(shù)）通常有兩類辦法：一是換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系或判別式，或者利用三角函數(shù)的有界性加以解決；二是分離變量構(gòu)造函數(shù)，把方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)解決。
3.構(gòu)造方程求解
例10.設(shè)函數(shù)，且存在使得成立。
⑴若
⑵若直線的圖像交與M,N兩點(diǎn)，且M,N兩點(diǎn)的連線被直線平分，求出的最大值。
分析：對(duì)于⑴小題，由題設(shè)條件易得，由方程根的意義可構(gòu)造一個(gè)根為的一元二次方程，再借助韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)與對(duì)稱軸的關(guān)系。最后運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；第⑵小題可先建立的函數(shù)關(guān)系式，再運(yùn)用均值不等式可求得的最大值。
解析：⑴由題意
的圖像的對(duì)稱軸為，
⑵
。由，代入直線方程，得
當(dāng)且僅當(dāng)。
點(diǎn)評(píng)：若沒(méi)有方程的思想意識(shí)，則不能從中觀察出m,n是某一個(gè)一元二次方程的兩根，從而也就無(wú)法得出這樣有用的關(guān)系式，使解答陷入困境。因此，由根的意義或韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程是最常見(jiàn)的思路，不可忽視。
函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想
解題時(shí)，不能局限于函數(shù)思想或方程思想，而應(yīng)該根據(jù)兩者之間的相互關(guān)系，使其能相互轉(zhuǎn)化，以達(dá)到快速解題之目的。
例11.已知拋物線
⑴當(dāng)為何值時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)？
⑵若關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和不大于2，求的取值范圍；
⑶如果拋物線與軸相交于A,B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且的面積等于2，試確定的值。
分析：⑴令函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為求方程有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)的值；⑵利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成解不等式；⑶建立面積的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)值為2時(shí)方程的解。
解析：⑴令據(jù)題意，須，
即。
⑵在得
所以m的取值范圍是
⑶由。
點(diǎn)評(píng)：型的拋物線，二次方程以及二次不等式之間相互關(guān)聯(lián)，應(yīng)特別關(guān)注它們相互轉(zhuǎn)化時(shí)的等價(jià)性和互補(bǔ)性。
列方程解應(yīng)用題是在用算術(shù)方法解應(yīng)用題的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。它以四則運(yùn)算的基本應(yīng)用和常見(jiàn)的數(shù)量關(guān) 系為依據(jù)，綜合運(yùn)用了用字母表示數(shù)、解方程等知識(shí)，有特殊的解題思路和方法，有完整的解題步驟和程序。
教材中“列方程解應(yīng)用題”這一小節(jié)中的例1、例2，安排的是用方程解比較簡(jiǎn)單的兩步計(jì)算應(yīng)用題，且為 用算術(shù)解法時(shí)需要逆思考的題目。通過(guò)教學(xué)可以使學(xué)生清楚地看出列方程解應(yīng)用題的基本方法和特點(diǎn)，了解兩 種解題方法的不同，較好地掌握用方程解題的思路，總結(jié)出解題的步驟。從而為后面學(xué)習(xí)用方程解一般的兩、 三步計(jì)算的應(yīng)用題打下基礎(chǔ)。
列方程解應(yīng)用題的思路比較簡(jiǎn)單、順暢，思維難度小，且解法劃一，可以使一些應(yīng)用題化難為易（特別是 逆向思考的還原應(yīng)用題和兩步計(jì)算的和倍、差倍及分?jǐn)?shù)應(yīng)用題等），有明顯的優(yōu)越性，這對(duì)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)知識(shí)，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力，有積極作用。
制定一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，通?？梢詮膽?yīng)掌握哪些基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能；培養(yǎng)哪些能力；使學(xué)生受到哪些思 想品德教育及培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面考慮。
本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是：
1.初步學(xué)會(huì)列方程解應(yīng)用題，初步掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟和方法；
2.初步體會(huì)代數(shù)解法的優(yōu)越性，能正確地用方程解較簡(jiǎn)單的、逆思考的兩步應(yīng)用題；
3.培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、概括的能力和認(rèn)真思考、仔細(xì)檢驗(yàn)的良好習(xí)慣。
本課時(shí)的重點(diǎn)是分析數(shù)量關(guān)系和根據(jù)等量關(guān)系正確地布列方程。
本課時(shí)的難點(diǎn)是確立與列算術(shù)式不同的表示等量關(guān)系的思路和等量關(guān)系的尋求。
本課時(shí)的關(guān)鍵是教會(huì)學(xué)生寫出顯示相等關(guān)系的數(shù)量關(guān)系式。
二
新知識(shí)教學(xué)前的準(zhǔn)備
1.（1）出示比較簡(jiǎn)單的、數(shù)據(jù)較小的方程， 讓學(xué)生用口算的方法解方程。
（2）出示比較簡(jiǎn)單的、與例題相關(guān)的文字?jǐn)⑹鲱}， 讓學(xué)生列出方程，并解方程。為尋求等量關(guān)系列方程 解應(yīng)用題作好鋪墊。
2.出示課本中例1前的復(fù)習(xí)題，指名學(xué)生板演兩種解法， 其他學(xué)生座練，教師巡視注意輔導(dǎo)后進(jìn)生。然后 師生共同評(píng)講，簡(jiǎn)要指出：解法一需要逆向思考；解法二設(shè)原來(lái)有x千克后， 只需按題目敘述順序列出方程， 通過(guò)比較使學(xué)生初步體會(huì)方程解法的優(yōu)越性。進(jìn)而教師再指出：解法二我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，實(shí)際就是列方程解應(yīng)用 題，今天我們要學(xué)習(xí)用方程解答一些步數(shù)較多的應(yīng)用題，這樣很自然地導(dǎo)入新課。
新知識(shí)教學(xué)中的要點(diǎn)
1.關(guān)于例1的教學(xué)，從算術(shù)方法解應(yīng)用題到列方程解應(yīng)用題， 是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。學(xué)生初學(xué)列方程 解應(yīng)用題時(shí)，容易受長(zhǎng)期使用的算術(shù)解法的干擾。故要幫助學(xué)生做好從算術(shù)解法到代數(shù)解法的過(guò)渡工作。一方 面由例1前的復(fù)習(xí)題引伸為例1，使學(xué)生切實(shí)掌握常見(jiàn)的基本數(shù)量關(guān)系，找到新、舊知識(shí)的銜接點(diǎn)；另一方面由 已出現(xiàn)過(guò)的定向地把方程寫完全的題型，過(guò)渡到列方程解應(yīng)用題，使學(xué)生初步確立方程解法的思路，并按照這 種思路去尋找題中的等量關(guān)系，這是至關(guān)重要的一步。
教學(xué)例1時(shí)，要具體說(shuō)明解題步驟， 為后面概括解題步驟打好基礎(chǔ)。同時(shí)，要注意點(diǎn)撥和糾正各個(gè)步驟中 容易出現(xiàn)的問(wèn)題。如：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，設(shè)句要完整明白，并注上單位名稱；方程的解是數(shù)，不是數(shù)量，不要加 上單位名稱；答句和設(shè)句要一致等。
2.關(guān)于例2的教學(xué)，教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生弄清題意， 明確哪些是已知的，哪些是未知的，要著重分析數(shù)量關(guān) 系，寫出體現(xiàn)相等關(guān)系的表達(dá)式，再列出方程。解方程及答讓學(xué)生自己完成。課本中的想一想：“這道題還可 以怎樣想？列出方程來(lái)?！苯處熞艚o學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎伎臻g，讓學(xué)生尋找不同的等量關(guān)系列出方程。
3.總結(jié)列方程解應(yīng)用題的步驟的教學(xué)。通過(guò)比較兩例的教學(xué)過(guò)程，師生共同結(jié)合列方程解應(yīng)用題的特點(diǎn)， 總結(jié)列方程解應(yīng)用題的一般步驟。教師概括操作程序，即審題—選元—尋找等量關(guān)系—列方程—解方程—檢驗(yàn) —寫答。
新知識(shí)教學(xué)后的練習(xí)
1.練習(xí)要緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，如第1 題要求先找數(shù)量間的相等關(guān)系，再把每個(gè)方程補(bǔ)充完整；第2 題 結(jié)合解題過(guò)程說(shuō)出列方程解應(yīng)用題的步驟；第3題要求列出不同方程解題。這些都是為復(fù)習(xí)鞏固新知，實(shí)現(xiàn)教學(xué) 目標(biāo)而服務(wù)的。
2.練習(xí)要注意循序漸進(jìn)、由易到難，按上面三道練習(xí)題的順序排列，使學(xué)生在練習(xí)中對(duì)所學(xué)新知得到逐步 鞏固和提高。另外，還要注意對(duì)不同層次的學(xué)生提出不同的要求。如第1 題對(duì)優(yōu)等生可以要求找出其他相等關(guān) 系列方程；第3題對(duì)差生只要求能求得解答。
三
教學(xué)的基本思路和方法
1.處理好教與學(xué)的關(guān)系。教師既要做到點(diǎn)撥引導(dǎo)，又要敢于放手引導(dǎo)學(xué)生參與嘗試和討論，展開(kāi)思維活動(dòng) 。如列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵之處，教師要著重指導(dǎo)學(xué)生思考、探索挖掘等量關(guān)系的方法；解題步驟的總結(jié)要啟 發(fā)學(xué)生結(jié)合實(shí)例分步予以概括等。
2.抓住本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容新舊知識(shí)聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，直接從新舊知識(shí)的連接點(diǎn)展開(kāi)，既有利于突出重點(diǎn)，突 破難點(diǎn)，又能節(jié)省教學(xué)時(shí)間，以便集中力量加強(qiáng)練習(xí)，提高教學(xué)效果。如例1 由復(fù)習(xí)題增添一個(gè)條件引伸而來(lái) ，以復(fù)習(xí)題為基礎(chǔ)教學(xué)例1 有助學(xué)生明確新知新在何處及較順利地尋求等量關(guān)系列出方程。教學(xué)例1后，例2只 需著重指導(dǎo)解題的前兩步，后兩步則可放手讓學(xué)生自己去完成。
學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)
例1 某同學(xué)采用如圖1所示的裝置來(lái)研究光電效應(yīng)現(xiàn)象。當(dāng)用某單色光照射光電管的陰極K時(shí)，會(huì)發(fā)生光電效應(yīng)現(xiàn)象。閉合開(kāi)關(guān)S，在陽(yáng)極A和陰極K之間加上反向電壓，通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的滑片逐漸增大電壓，直至電流計(jì)中電流恰為零，此電壓表電壓值U稱為反向截止電壓，根據(jù)反向截止電壓，可以計(jì)算到光電子的最大初動(dòng)能Ekm，現(xiàn)分別用頻率為v1和v2的單色光照射陰極，測(cè)量到反向截止電壓分別為U1和U2設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，則下列關(guān)系式中不正確的是（ ）。
A.頻率為ν1的光照射時(shí)，光電子的最大初速度vmax=■
B.陰極K金屬的逸出功W=hv1-eU1
C.陰極K金屬的極限頻率v0=
■
D.普朗克常數(shù)h=■
解析：由能量守恒可知A、B兩選項(xiàng)關(guān)系式正確，由光電效應(yīng)方程h■-W=Ekm和Uq=Ekm，得逸出功W=hv1-eU1=hv2-eU2 =hv0可得普朗克常數(shù)h=■，將其代入后得v0=■，只有C選項(xiàng)的關(guān)系式不正確。
二、與磁場(chǎng)結(jié)合
例2 如圖2所示，真空中金屬板M、N相距為d，當(dāng)N板用波長(zhǎng)為λ的光照射時(shí)，電路中的電流恒為I。設(shè)電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，真空中光速為c。當(dāng)垂直于紙面再加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)，電路中的電流恰好為零，求從N板逸出光電子的最大初動(dòng)能和N板的逸出功？
解析：根據(jù)光電效應(yīng)的原理，從N板逸出的光電子的動(dòng)能和速度方向各不相同，加上磁場(chǎng)后，只要平行于N板且動(dòng)能最大的電子不能到達(dá)M板，則其他方向，動(dòng)能無(wú)論多大的電子均不能到達(dá)M板，此時(shí)，電路中電流恰好為零。設(shè)具有最大初動(dòng)能的電子速率為v，由牛頓第二定律，有evB=m·■
得：v=■
故，電子的最大初動(dòng)能Ekm=■mv2=■
根據(jù)愛(ài)因斯坦光電效應(yīng)方程，設(shè)N板的逸出功為W，有 h■=W+Ekm
解得：W=h■-Ekm=h■-■
三、與平行板電容器結(jié)合
例3 如圖3，真空中有一平行板電容器，兩極板分別由鉑和鋅（其極限波長(zhǎng)分別為λ1和λ2）制成，板面積為S，間距為d?，F(xiàn)用波長(zhǎng)為λ（λ1
A.■（■） B.■（■）
C.■（■） D.■（■）
解析：λ1
四、光電方程中的逸出功不能為零
例4 分別用波長(zhǎng)為λ的單色光照射兩塊不同的金屬板，發(fā)出的光電子的最大初動(dòng)能分別為4eV和2eV，當(dāng)改用波長(zhǎng)為的單色光照射時(shí)，其中一塊金屬板發(fā)出的光電子的最大初動(dòng)能為8eV，則另一塊金屬板發(fā)出的光電子的最大初動(dòng)能為 （ ）。
A.4eV B.6eV C.10eV D.16eV
解析：由光電效應(yīng)方程h■-W=Ekm可知，用波長(zhǎng)為λ的單色光照射金屬板Ⅰ時(shí)，h■-W1=4，照射金屬板Ⅱ時(shí)，h■-W2=2；用波長(zhǎng)為■的單色光照射金屬板Ⅰ時(shí)，h■-W1=8，照射金屬板Ⅱ時(shí)，h■-W2=EKm2，解得：EKm2=6eV，但是將h■-W1=4和h■-W1=8，聯(lián)立解得W1=0，所以B錯(cuò)誤；用波長(zhǎng)為■的單色光照射金屬板Ⅱ時(shí)，h■-W2=8，照射金屬板Ⅰ時(shí)，h■-W1=EKm1，EKm1=10eV，W1、W2均不為零。所以C正確。
五、與圖線結(jié)合
例5 如圖4所示是用光照射某種金屬時(shí)逸出的光電子的最大初動(dòng)能隨入射光頻率的變化圖線，（直線與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)4.27，與縱軸交點(diǎn)坐標(biāo)0.5）。由圖可知（ ）。
■
A.該金屬的極限頻率為4.27×1014 Hz
B.該金屬的極限頻率為5.5×1014 Hz
C.該圖線的斜率表示普朗克常量
一、使學(xué)生順利審題列方程
列方程解應(yīng)用題的一般步驟為：
(1)弄清題意，找出已知條件和所述問(wèn)題；
(2)根據(jù)題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)x；
(3)根據(jù)等量關(guān)系列出方程；
(4)檢驗(yàn)。寫出答案。
其中找“等量關(guān)系”是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。我在教學(xué)中對(duì)每道例題都堅(jiān)持讓學(xué)生正確敘述其中的“等量關(guān)系”。這樣做，我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)好處：①有利于學(xué)生理解題意，找出“等量關(guān)系”。學(xué)生列方程有時(shí)感到困難，原因之一就在于對(duì)題意的理解還不透徹，忙于列方程，結(jié)果常常出錯(cuò)。②有助于學(xué)生考慮問(wèn)題的思路規(guī)范化。通過(guò)教學(xué)要使學(xué)生明確：解題之前，首先要在理解題意的基礎(chǔ)上，找出其中的“等量關(guān)系”，然后列方程。這樣就不會(huì)處于一種審題怕方程列不出來(lái)，而茫然不知所措的狀態(tài)。③有助于顯現(xiàn)未知數(shù)的設(shè)法?！暗攘筷P(guān)系”就是用語(yǔ)言或文字列出方程。因此，在所列的“等量關(guān)系”中，哪些量是已知的，哪些量需要設(shè)成未知數(shù)，便明顯可見(jiàn)。④有助于減少學(xué)生列方程的困難。從審題到列方程，對(duì)于理解能力較弱或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一步的距離是比較長(zhǎng)的，而“等量關(guān)系”是從應(yīng)用題的事實(shí)到把內(nèi)部聯(lián)系以方程為橋梁，用這樣的―個(gè)橋梁來(lái)過(guò)渡，再把“等量關(guān)系”翻譯”成方程。
例如：甲、乙騎自行車同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，2小時(shí)相遇。甲比乙每小時(shí)多騎2.5千米，求甲乙的時(shí)速各是多少?
分析：本題中的等量關(guān)系有：甲的時(shí)速=乙的時(shí)速+2.5千米肘，甲走的路程+乙走的路程=65千米。
未知：甲乙的時(shí)速。
通過(guò)分析我們可以設(shè)乙的時(shí)速為x千米，時(shí)，則甲的時(shí)速為(x+2.5)千米，日寸，其中的等量關(guān)系為“甲走的路程+乙走的路程=65千米”。
由分析可列方程為2(x+2.5)+2x=65，解x求出甲乙的時(shí)速。
二、明確正確列方程的三條標(biāo)準(zhǔn)
為了使學(xué)生能夠正確列出方程，并具有檢驗(yàn)自己所列方程是否正確的能力，我結(jié)合例題講解了正確列方程的三條標(biāo)準(zhǔn)：①兩邊的意義相同。②兩邊的單位一致。③兩邊的數(shù)量相等。也就是說(shuō)，左邊的代數(shù)式的意義若表示路程，右邊的代數(shù)式的意義也必須表.示路程，左邊若以“千米”為路程單位，右邊也必須以“千米”為路程單位，左邊總共代表的是10千米，右邊總共代表的也必須是10千米。因?yàn)?，方程兩邊所代表的意義是通過(guò)代數(shù)式表達(dá)出來(lái)的，若不認(rèn)真加以推敲，就容易犯兩邊意義不同、單位不統(tǒng)一的錯(cuò)誤。如，有含鹽8％的鹽水40千克，要配制成含鹽20％的鹽水，需要加鹽多少克?學(xué)生很容易設(shè)成加入x克鹽，錯(cuò)列為40×8％+x=20％(40+x)。由于單位不統(tǒng)一，數(shù)量不相等，這就破壞了“等量關(guān)系”，也歪曲了原題的意思。所以是錯(cuò)誤的。實(shí)踐表明，明確提出列方程的三條標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于提高學(xué)生列方程的能力有一定的積極作用。
三、為熟練列方程做好準(zhǔn)備-
在講每一類型的應(yīng)用題之前，都把基本關(guān)系式或解題要點(diǎn)加工整理，明確列出。―方面強(qiáng)調(diào)記憶，―方面配備列代數(shù)的例題及練習(xí)，使學(xué)生熟練地運(yùn)用基本關(guān)系式列出代數(shù)式，向列方程靠近。如，在行程問(wèn)題中，基本關(guān)系式可列為：①路程=速度×?xí)r間；②甲、乙相向運(yùn)動(dòng)的速度=甲的速度+乙的速度；③追趕的速度=迫者的速度―被迫者的速度；④順?biāo)乃俣?靜水速度+水流速度；⑤逆水速度=靜水速度-水流速度。
工程問(wèn)題的解題要點(diǎn)為：①把全工程看成“整體1”；②如果某人獨(dú)做某工程要a天完成，那么他的工作效率就是每天做全部工作的1／a，基本單位式為：工作效率×工作時(shí)間=工作量。
濃度配比問(wèn)題的基本關(guān)系式為：①濃度=溶質(zhì)質(zhì)量，溶液重量×100％；②溶液重量=質(zhì)重量+劑重量。
關(guān)鍵詞: 一元一次方程解應(yīng)用題難點(diǎn)突破技巧
列一元一次方程解應(yīng)用題,既是七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)的重點(diǎn),又是教師教學(xué)的難點(diǎn),并且是運(yùn)用初中數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要素材,它對(duì)于培養(yǎng)及提高學(xué)生的思維能力和分析能力具有重要的意義。那么,怎樣才能使七年級(jí)的學(xué)生學(xué)好“列一元一次方程解應(yīng)用題”呢?
在教學(xué)中,教師要理論聯(lián)系實(shí)際,結(jié)合學(xué)生的實(shí)際來(lái)解決問(wèn)題。用代數(shù)法處理一些實(shí)際問(wèn)題對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)有點(diǎn)難度,究其原因是以前很少接觸,這一點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下四個(gè)方面:
1.學(xué)生不習(xí)慣利用代數(shù)法來(lái)處理問(wèn)題,還停留在小學(xué)的算術(shù)解法上;
2.抓不住相等關(guān)系。有些應(yīng)用題中“能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系”比較隱蔽,從題目字面上較難找出來(lái),需要認(rèn)真分析關(guān)鍵詞語(yǔ),細(xì)心揣摩,有時(shí)還要借助圖形分析才能找出,這確實(shí)對(duì)七年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō),難度比較大,所以他們時(shí)常感到無(wú)從下手;
3.即使找出相等關(guān)系,也不能順利地列出代數(shù)式及方程;
4.當(dāng)問(wèn)題中含有不只一個(gè)未知量時(shí),由于審題、分析能力較差,不知道該選擇哪一個(gè)未知量作為未知數(shù)才簡(jiǎn)單。
通過(guò)這幾年的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn),筆者就此談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中突破這些的方法。
一、要讓學(xué)生感覺(jué)到代數(shù)解法的優(yōu)越性
初列方程,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)不適應(yīng),這就要求教師在教學(xué)中運(yùn)用例題對(duì)算術(shù)法和代數(shù)法作比較,找出兩種方法的特點(diǎn),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到代數(shù)解法的優(yōu)點(diǎn),反復(fù)訓(xùn)練,使學(xué)生逐漸體會(huì)到代數(shù)法的妙處。
例如:把一些圖書分給某個(gè)班學(xué)生閱讀,如果每人分3本,則剩余20本,如果每人分4本,則還缺25本,這個(gè)班有多少學(xué)生?
算術(shù)法:(20+25)/(4-3)=45(人)
這對(duì)一般學(xué)生來(lái)說(shuō),是很難做到的。
代數(shù)法分析:設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生,共分出3x本,加上剩余20本,這批書共有(3x+20)本,每人分4本,需要4x本,減去缺的25本,這些書共有(4x-25)本。
等量關(guān)系:第一種分法書的總量=第二種分法書的總量
解:設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生,根據(jù)題意得
3x+20=4x-25
解得:x=45。
答:這個(gè)班有45名學(xué)生。
二、教會(huì)學(xué)生自己尋找相等關(guān)系
列方程解應(yīng)用題一般有五步:弄清題意,找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù)進(jìn)而列出方程,解這個(gè)方程,答。其中最關(guān)鍵的一步是正確找出“能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系”。
在應(yīng)用題中,相等關(guān)系主要有兩類:一類是題目給出條件的等量關(guān)系,如教材中的“等積變形”問(wèn)題,“行程”問(wèn)題等,可按事物發(fā)展的順序來(lái)找等量關(guān)系。
如:將一個(gè)底面直徑是10厘米,高為36厘米的“瘦長(zhǎng)”形圓柱鍛壓成底面直徑為20厘米的“矮胖”形圓柱,高變成了多少?
這是一個(gè)典型的等積變形問(wèn)題,不管鍛壓前還是鍛壓后,總有下面的等量關(guān)系:
鍛壓前的體積=鍛壓后的體積
另一類是可在事物之間的內(nèi)在聯(lián)系中找到相等關(guān)系,如“工作問(wèn)題”―“濃度問(wèn)題”等就要在問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系中去找等量關(guān)系。
如:要把150克濃度為95%的硫酸溶液加水稀釋成35%的稀硫酸溶液,需要加多少水?
這一問(wèn)題中,由于是在原來(lái)的硫酸溶液中又加入一部分水,雖說(shuō)總重量和濃度都變了,但是純硫酸(溶質(zhì))的重量卻沒(méi)有變,于是即有下面的相等關(guān)系:
加水前純硫酸的重量=加水后純硫酸的重量
三、列方程解應(yīng)用題常用的分析方法
1.代數(shù)式法
用代數(shù)式將題目中的數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系表示出來(lái),找到相等關(guān)系,列出方程。如:“數(shù)字”問(wèn)題,“和、差、倍、分“問(wèn)題等多運(yùn)用這種方法。
2.圖示法
有些問(wèn)題可以用示意圖表示出題目中的條件及它們之間的關(guān)系,這類問(wèn)題可以通過(guò)畫出圖形,可由圖中有關(guān)基本量的內(nèi)在聯(lián)系找到相等關(guān)系,列出方程,如行程問(wèn)題、等積問(wèn)題多運(yùn)用這種方法。
3.表格法
我們可將題目中有關(guān)數(shù)量及其關(guān)系填在設(shè)計(jì)的表格中,然后根據(jù)表格逐層分析,由各量之間的內(nèi)在聯(lián)系找到相等關(guān)系,列出方程,如“日歷中的方程”問(wèn)題、“濃度配比”問(wèn)題及其它條件較多的題目多運(yùn)用這種方法。
四、指導(dǎo)學(xué)生掌握設(shè)未知數(shù)的技巧和方法
