發(fā)布時間：2023-11-07 11:28:29
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的探索平行線的條件樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
《平面圖形的認(rèn)識（二）》是學(xué)好平面幾何知識的重要基礎(chǔ)，怎樣才能掌握這一章節(jié)，我建議同學(xué)們從下列幾方面入手.
一、 體會知識結(jié)構(gòu)
二、 明確重點難點
本章的重點內(nèi)容是探究兩直線平行的條件和平行線的性質(zhì)，探索三角形的有關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用.難點則是平行線的判定與性質(zhì)的條件和結(jié)論易混淆，探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式過程中應(yīng)用的化歸思想需深入領(lǐng)會.
三、 理解知識要點
1. 認(rèn)識同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
（1） 同位角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在第三條直線的同一邊，在被截兩條直線的同一方向，那么這兩個角叫做同位角.如圖2中的∠1和∠2分別在直線c的同一邊，并且都在直線a、b的上方.同位角是指兩個角的位置關(guān)系，在判別“同位角”時，注意位置上的兩個“同”：在第三條直線的同一邊，在被截兩直線的同一方向.同位角不一定相等.
（2） 內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在被截兩條直線之間，在第三條直線的兩旁，那么這兩個角叫做內(nèi)錯角.如圖2中的∠2和∠7分別在直線a、b之間，并且在直線c的兩旁.內(nèi)錯角是指兩個角的位置關(guān)系，內(nèi)錯角的特征：在被截兩直線之間，在截線的兩旁.內(nèi)錯角不一定相等.
（3） 同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在被截兩條直線之間，在第三條直線的同旁，那么這兩個角叫做同旁內(nèi)角.如圖2中的∠2和∠5分別在直線a、b之間，并且在直線c的同旁.同旁內(nèi)角是指兩個角的位置關(guān)系，同旁內(nèi)角的特征：在被截兩直線之間，在截線的同旁.同旁內(nèi)角不一定互補.
（4） 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由兩條直線被第三條直線所截而形成的，將其分別從圖中分解出來，得出其基本圖形可分別形象地記為“F” 形、“Z”形、“C” 形.當(dāng)圖形較為復(fù)雜時，一定要觀察清楚同位角（或內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）是哪兩條直線被哪一條直線所截的.另外這三種角講的只是位置關(guān)系，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系.
2. 兩直線平行的條件
① 同位角相等，兩直線平行.② 內(nèi)錯角相等，兩直線平行.③ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.
以上三種方法都是利用角的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.具體做法：要判斷兩條直線平行，首先需要兩個角，并且這兩個角是兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角；其次是要具備角的大小相等或互補.在兩者都具備的前提下，兩條被截的直線互相平行.
3. 探索平行線的性質(zhì)
① 兩直線平行，同位角相等.② 兩直線平行，內(nèi)錯角相等.③ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.
同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補是平行線特有的性質(zhì).不要誤認(rèn)為凡同位角、內(nèi)錯角都相等，凡同旁內(nèi)角都互補.
4. 兩直線平行的條件與平行線的性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系
（1） 平行線的性質(zhì)和兩條直線平行的條件的前提和結(jié)論恰好相反，運用時關(guān)鍵是弄清楚它們各自的前提和結(jié)論.
（2） 兩條直線平行的條件是由角的數(shù)量和位置關(guān)系推得直線的位置關(guān)系，而平行線的性質(zhì)則是由直線的位置關(guān)系推得角的數(shù)量關(guān)系.
5. 圖形的平移
（1） 圖形的平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形的運動叫做圖形的平移.平移運動時，圖形上的每一點都是沿同一方向移動相同的距離. 圖形的平移由平移的方向和平移的距離決定.平移的距離是指對應(yīng)點之間線段的長度.
（2） 圖形平移的性質(zhì)：① 平移不改變圖形的形狀、大小，即平移前后的兩個圖形全等，平移只改變了圖形的位置.② 圖形經(jīng)過平移，連接各組對應(yīng)點所得的線段互相平行（或在同一條直線上）并且相等.③對應(yīng)線段平行且相等.
（3） 平行線之間的距離：如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離稱為平行線之間的距離.兩條平行間的距離處處相等.
（4） 畫平移圖形：畫平移后的新圖形，要首先確定平移方向和距離，再確定關(guān)鍵點平移后的對應(yīng)位置，最后按原有的方式依次連接，就可得到平移后的圖形.作圖的依據(jù)是平移的性質(zhì).
（5） 圖形平移的應(yīng)用：利用平移的性質(zhì)可以巧算某些圖形的周長和面積，還可以設(shè)計美麗的圖案.
6. 認(rèn)識三角形
（1） 三角形的概念：三角形是由3條不在同一條直線上的線段，首尾依次相接組成的圖形.三角形有3條邊、3個內(nèi)角和3個頂點.
（2） 三角形分類：① 按邊分類為：不等邊三角形和等腰三角形；② 按角分類為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
（3） 三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.要判斷所給三條線段能否構(gòu)成三角形，可以用兩條較小的線段長之和與最大線段長進(jìn)行比較，若前者大于后者，則這三條線段能構(gòu)成三角形，否則，不能構(gòu)成三角形.
（4） 三角形中的特殊線段：①在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一邊，一個三角形有3條高，并且3條高相交于一點.②在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線分三角形一角所成的兩個角相等， 一個三角形有3條角平分線，并且3條角平分線相交于一點.③在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中線.三角形的中線分三角形一邊為相等的兩條線段， 一個三角形有3條中線，并且3條中線相交于一點.三角形的高、中線、角平分線都是線段.
7. 三角形的內(nèi)角和
（1） 三角形的內(nèi)角和：三角形3個內(nèi)角的和等于180°.這個結(jié)論揭示了3個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.
（2） 直角三角形兩銳角互余.
（3） 三角形外角的概念及性質(zhì)：① 三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫三角形的外角.三角形的一個外角就是三角形某個內(nèi)角的鄰補角.② 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.
直線平行的條件和性質(zhì)的內(nèi)容是讓學(xué)生在充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上利用三種角的關(guān)系體會平行線的三種判定方法，它是空間與圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，是《相交線與平行線》的重點，學(xué)習(xí)它會為后面的學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)、三角形、四邊形等知識打下堅實的“基石”。同時，本內(nèi)容學(xué)習(xí)將為加深“角與平行線”的認(rèn)識，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能讓學(xué)生在活動的過程中交流分享探索的成果，體驗成功的樂趣，提高運用數(shù)學(xué)的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)這方面知識時會出現(xiàn)一些問題，一是考生基礎(chǔ)知識不夠扎實，概念理解不夠準(zhǔn)確，不能準(zhǔn)確的認(rèn)識這三種角；二是邏輯推理能力較差，有些能了解這三個角的關(guān)系與平行的關(guān)系，不會用幾何語言去描述，三是不能很好的利用這三個角之間的關(guān)系去證明平行的相關(guān)問題針對找些問題談?wù)劚救嗽诮虒W(xué)中的一點點見解：一、引導(dǎo)學(xué)生“正確理解概念”二、引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語言描述三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題
直線平行的條件和性質(zhì)的內(nèi)容位于人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書七年級下冊第五章第二、三節(jié)。主要內(nèi)容是讓學(xué)生在充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上利用三種角的關(guān)系體會平行線的三種判定方法，它是空間與圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，是《相交線與平行線》的重點，學(xué)習(xí)它會為后面的學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)、三角形、四邊形等知識打下堅實的“基石”。同時，本內(nèi)容學(xué)習(xí)將為加深“角與平行線”的認(rèn)識，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能讓學(xué)生在活動的過程中交流分享探索的成果，體驗成功的樂趣，提高運用數(shù)學(xué)的能力。
學(xué)生在學(xué)習(xí)這方面知識時會出現(xiàn)以下幾種問題：一是考生基礎(chǔ)知識不夠扎實，概念理解不夠準(zhǔn)確，不能準(zhǔn)確的認(rèn)識這三種角；二是邏輯推理能力較差，有些能了解這三個角的關(guān)系與平行的關(guān)系，不會用幾何語言去描述，三是不能很好的利用這三個角之間的關(guān)系去證明平行的相關(guān)問題。針對以上問題談?wù)劚救嗽诮虒W(xué)中的一點點見解：
一、引導(dǎo)學(xué)生“正確理解概念”
其中同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是兩條直線被第三條直線所截形成的，它們主要是為學(xué)習(xí)平行的判定和性質(zhì)服務(wù)的。是學(xué)習(xí)平行線的關(guān)鍵，而學(xué)生對于三種角的認(rèn)識不夠，在這里的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意
（一）引導(dǎo)學(xué)生多“觀察”
先從基本的三線八角入手，先了解最基本的這三種角的描述性定義，了解他們的本質(zhì)屬性，例如，對于同位角的認(rèn)識可以引導(dǎo)學(xué)生觀察得出這兩個角分別在直線AB、CD的同一方（上方），并且都在直線EF的同一側(cè)（右側(cè)），這是“同位角”的本質(zhì)屬性。然后，可以用“位置相同”來描述這種位置關(guān)系，給出“同位角”的描述性定義。認(rèn)識準(zhǔn)確的角可以使學(xué)生對于一些復(fù)雜的圖形能排除變式圖形中的非本質(zhì)現(xiàn)象。復(fù)雜圖形中“背景”干擾的能力。
（二）引導(dǎo)學(xué)生會“識圖、用圖”
學(xué)好平面幾何要求學(xué)生具有熟練的識圖、用圖能力，即從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，并通過對基本圖形的分析，識別出基本元素之間的關(guān)系。通過一些圖形如上圖的變化讓學(xué)生能從復(fù)雜圖形中去“分解”為簡單圖形的訓(xùn)練，這種訓(xùn)練能有效地幫助學(xué)生掌握識圖技能，從而掃除學(xué)生識別內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時可能存在的障礙。從而會識別圖形（包括變式圖形和比較復(fù)雜的圖形）中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。
通過這兩個方面的引導(dǎo)使學(xué)生能很好的認(rèn)識同位角，內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，為平行線的學(xué)習(xí)打下好的基礎(chǔ)。
二、引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語言描述
三種角的學(xué)習(xí)是為了平行線的性質(zhì)和判定的運用，學(xué)生在剛接觸幾何時對于幾何語言知之甚少，不會利用幾何語言去描述這三種角和平行線之間的關(guān)系，而這方面的訓(xùn)練教學(xué)書中涉及比較少，在此應(yīng)這樣處理更有利于學(xué)生熟悉利用規(guī)范的幾何語言來描述幾何問題。找一些簡單的問題，然后先給出簡單的思路過程讓學(xué)生填一些簡單的原因，逐步摸索出遇到問題應(yīng)該如何去想。
雖然這只是一些直接簡單的證明，但對于學(xué)生規(guī)范幾何語言描述大有幫助，實踐說明這類訓(xùn)練對于剛接觸的幾何的學(xué)生尤其是理解能力較差的學(xué)生來說幾何語言的規(guī)范性效果很好。
三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題
分析問題解決問題是學(xué)生必須學(xué)會的方法，但是學(xué)生剛接觸幾何時不知道如何去解決這類問題，基本上是無處下手，在認(rèn)識了三種角的特點以及與平行的關(guān)系后上述的簡單證明題的填空不僅可以使學(xué)生規(guī)范幾何語言，而且還對于學(xué)生了解分析問題的基本思路也有很大的幫助，當(dāng)然僅是上面的訓(xùn)練還不夠理解問題分析的思路，要引導(dǎo)學(xué)生從題目的已知條件中提取有用的信息，從題目的的求解（或求證）中考慮需要的信息即“看見已知聯(lián)想性質(zhì)，看到求證聯(lián)想判定”，將獲得的信息聯(lián)系起來，進(jìn)行加工、整和，一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識的“銜接點”即一個固有的確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。從經(jīng)驗上升到自動化，從感性上升到理性，加深對理論的認(rèn)識水平。提高解決問題的能力。
不同學(xué)生的思維風(fēng)格和解決問題的習(xí)慣是不同，如分析型學(xué)生的思維傾向于局部到整體的解決問題的方法，綜合型思維風(fēng)格的學(xué)生則恰好相反，教師應(yīng)當(dāng)尊重和保護(hù)學(xué)生的自主性的選擇權(quán)。要認(rèn)真鉆研教材，重視發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，才能真正的提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。
參考文獻(xiàn)
【關(guān)鍵詞】三線八角；難點突破；教法探討
如果兩條直線被第三條直線所截，就會形成八個角，這就是所謂的“三線八角”，在這八個角中，有“同位角”、“內(nèi)錯角”、“同旁內(nèi)角”等幾個重要概念，因此習(xí)慣上把涉及同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的幾何問題統(tǒng)稱為“三線八角”問題.因為絕大部分平行線的性質(zhì)和判定問題都需要借助于“三線八角”來解決，所以它是平面幾何一個傳統(tǒng)的重點內(nèi)容，同時它也是一個難點內(nèi)容，一些學(xué)生往往因在解決三線八角問題時出錯而導(dǎo)致學(xué)習(xí)遇阻，甚至產(chǎn)生厭學(xué)和分化.筆者在教學(xué)實踐中對這一經(jīng)典內(nèi)容的教法作了一些探索，敘述于后供大家指正.1“三線八角”問題的教學(xué)難點及成因分析
在解決三線八角問題時，學(xué)生的出錯點主要有兩類：一類是不能正確識別圖形中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，另一類是在判定平行線或應(yīng)用平行線的性質(zhì)時，不能正確關(guān)聯(lián)線和角.這兩類錯誤有時也相互纏繞，使學(xué)生深受其苦.
三線八角問題之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，既與知識本身的復(fù)雜程度和學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，也與教材對知識的呈現(xiàn)方式有關(guān).
知識本身的因素.三線八角問題涉及三條線、八個角，信息容量大，圖形變式多，而在變式圖形中，充斥著大量的干擾因素，這是學(xué)生感覺困難的根本原因.
學(xué)生因素.學(xué)生在之前接觸的幾何問題，除了對基本平面圖形和立體圖形名稱的識別外，系統(tǒng)學(xué)習(xí)的幾何知識主要是線段、射線、直線和角，基本沒有涉及變式圖形，對圖形的認(rèn)識處于直觀感知階段，讀圖識圖能力較弱，對幾何關(guān)系的把握能力差，尤其是當(dāng)接觸到包含變式圖形的問題時，往往因為外形直觀上的改變而無所適從.
教材因素.我校使用的北師大版教材，是在探索兩直線平行的條件一課中首次出現(xiàn)“同位角”的概念的，而且只做了簡單描述，顯然是有意淡化了概念.這樣雖然把學(xué)生的注意力引向平行線本身，但卻導(dǎo)致著學(xué)生對“同位角”這一概念的本質(zhì)認(rèn)識模糊，也進(jìn)而導(dǎo)致了進(jìn)一步研究平行線時學(xué)生不能熟練使用三線八角這一有力工具的缺陷.實際上，作為研究平行線的重要工具，三線八角本身是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線之前深刻理解并熟練掌握的.2“三線八角”教學(xué)難點的突破
2.1在基本圖形中準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵
筆者認(rèn)為，對初一學(xué)生來說，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角不是單從字面就能完全理解的概念，需要教師對概念本身的含義進(jìn)行點撥講解，使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念是解決問題的基礎(chǔ).
如圖1，直線AB、CD被直線EF所截，EF稱為“截線”，AB、CD是被截線.
同位角的字面意義是位置相同，識別同位角的關(guān)鍵是學(xué)生要領(lǐng)悟兩個位置上的“同”即在截線EF的同一旁，被截兩直線AB、CD的同一方向.根據(jù)以上可以判定圖中滿足“同位角”條件的有：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.
準(zhǔn)確辨別內(nèi)錯角的要領(lǐng)是把握兩角在被截兩直線AB、CD的“內(nèi)部”，交錯在截線EF兩旁.據(jù)此∠4和∠6、∠3和∠5為“內(nèi)錯角”.
同旁內(nèi)角：在截線EF同旁，被截兩直線AB、CD之間.滿足的有∠4和∠5、∠3和∠6.
圖2也是標(biāo)準(zhǔn)的基本圖形，學(xué)生不難從基本圖形中識別有關(guān)角.
2.2在圖形變式中把握概念本質(zhì)
幾何圖形千變?nèi)f化，不管怎樣的圖形，只要能從中找到“基本圖形”，就容易識別三線八角，常用的方法有補齊法和分離法.
（1）補齊法
圖3的各圖中有同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角嗎？信息的缺失也會導(dǎo)致識別困難.和基本圖形相比，這種圖形似乎是殘缺的、不完整的，剛開始接觸這類圖形時可用補齊法.比如，只要把圖3各圖中的相關(guān)線段適當(dāng)延長，都可補齊為圖4的基本圖形，各類角也就很容易識別了.
（2）分離法
分離法，就是在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，以去除干擾信息（包括交點、線段和角），準(zhǔn)確識別三線八角.
當(dāng)考察∠1和∠2時，將與兩角無關(guān)的因素去掉，比如按圖6的方式把虛框中的圖形遮擋，剩下的圖形就是圖7，此時就很容易看到直線AB、EF被直線CD所截，∠1和∠2在截線CD同旁，被截線AB、EF同方向，所以兩角是同位角.類似的方法可識別圖5中∠1和∠3是內(nèi)錯角，∠2和∠3是同旁內(nèi)角.
2.3正確建立平行線與角的關(guān)聯(lián)
學(xué)習(xí)“三線八角”，不可避免的會遇到由平行線推斷相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，或是由角的數(shù)量關(guān)系推斷直線的位置關(guān)系的題目，此時正確建立線和角的關(guān)聯(lián)是解決問題的關(guān)鍵.下面看兩個例子.
例1如圖8，（1）如果AB∥CD，可推出∠1=∠2，∠3=∠4嗎？
（2）已知∠1=∠2或∠3=∠4，能得到AB∥CD嗎？
直線AB、CD為被截線，分別將直線AC、AD、BC作榻叵叻擲氤隼矗得到圖9中的三個圖形，很容易觀察到∠1和∠2是內(nèi)錯角，而∠3和∠4是無關(guān)角.圖10圖11
反過來，已知∠1=∠2或∠3=∠4，可以把與∠1、∠2或∠3、∠4無關(guān)的線段隱藏，分別得到圖10中的兩個圖形，可以看出，由∠1=∠2能推出AB∥CD，而由∠3=∠4不能推出AB∥CD.此類問題，也可用“描線法”分析，即在原圖上用紅筆或粗筆描繪出∠1和∠2的兩邊，或∠3和∠4的兩邊，可分別得到圖11中的兩個圖，這兩個圖中描了線的突出部分，就分別是圖10中的兩個圖形.
例2如圖12，已知∠1=∠2=∠3=59°，求∠4的度數(shù).
此題的難點在于圖形中的干擾信息多，學(xué)生面對此題，往往不能正確判斷由哪對角來判別a，b是平行的，求得a、b平行后，又不能識別哪個角與∠4是關(guān)聯(lián)的？解決此問題的關(guān)鍵是排除干擾信息，解決問題的方法是分離法，比如把圖中的線d平移到圖13的位置，則立得兩個三線八角的基本圖形，∠1和∠3的同位角關(guān)系以及∠2和∠4的關(guān)聯(lián)性也變得一目了然，問題順利得到解決.
2.4實際問題數(shù)學(xué)化
新課程注重數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，因此教材及近幾年考試出現(xiàn)了大量以實際生活為背景的題目，解決這類問題的基本方法是把實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型.
例3如圖14，潛望鏡中的兩個鏡子是互相平行放置的，光線經(jīng)過鏡子反射時，入射角等于反射角，則有∠1=∠2，∠3=∠4.請解釋：為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？
由于實際問題情境的限制，雖然圖14已經(jīng)對平行鏡面作了“放大”處理，但學(xué)生仍不易識別其中的三線八角.此時可以去除無關(guān)要素，放大有用信息，把此問題進(jìn)一步抽象成幾何圖形，得到圖15，這樣原題就轉(zhuǎn)化為：已知，如圖15，a∥b，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：c∥d.
關(guān)鍵詞:幾何教學(xué)思維能力訓(xùn)練 例談
全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點是促進(jìn)學(xué)生全面持續(xù)、和諧地發(fā)展”,“使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！痹诔踔袛?shù)學(xué)教育教學(xué)中,我們進(jìn)行了一些有益的探索。本文結(jié)合《三角形內(nèi)角和定理》一課的教學(xué),談一談對學(xué)生進(jìn)行思維能力訓(xùn)練的做法,以供讀者參考。
《三角形內(nèi)角和定理》是學(xué)生接觸較早的定理之一,其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此,教學(xué)中要重點解決的問題是定理的證明,在定理的證明中,學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線。于是在定理證明中“為什么要添加輔助線”和“如何添加輔助線”成為重中之重。通過“三角形內(nèi)角和定理”的證明的具體教學(xué)實踐,感受幾何證明的思想,讓學(xué)生體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用,感悟數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想,訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,成為幾何教學(xué)中探索的重要內(nèi)容。
一、在證明幾何定理的實踐中,引發(fā)調(diào)動學(xué)生思維的積極性
1.引導(dǎo)分析幾何定理證明的必要性,啟動學(xué)生思維
在講授《三角形內(nèi)角和定理》一課時,首先讓學(xué)生通過剪裁、拼接的方法,將三角形的三個內(nèi)角拼成一個角,并量得該角度數(shù),得出三個內(nèi)角的和為180度。然后引出定理證明的必要性:(1)測量會產(chǎn)生誤差,通過觀察、度量、猜測得到的結(jié)論不一定正確;(2)剪裁、拼接有限個三角形,還不足以說明所有三角形都有同樣性質(zhì) ;(3)測量一些三角形內(nèi)角和等于180度,可以作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的依據(jù),但還不是數(shù)學(xué)證明,利用這種必要性,使學(xué)生產(chǎn)生疑慮,有疑慮,才能產(chǎn)生認(rèn)知沖突,進(jìn)而激發(fā)認(rèn)知要求。
2.利用定理證明與發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生思維
講課時,先從學(xué)生已有生活經(jīng)驗入手,讓學(xué)生體會生活中橋梁的重要性,同時引出搭建橋梁的注意事項,然后把生活中的橋梁向數(shù)學(xué)中的橋梁引申,借助剪裁、拼接三角形三個內(nèi)角的過程分析,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生初步體會輔助線在幾何證明中的橋梁作用。指導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論,條件相當(dāng)于已知,結(jié)論相當(dāng)于未知,指出已知和未知相當(dāng)于河兩岸,輔助線是連接兩岸的橋梁。提問:“何處能提供180度”從而引發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散和創(chuàng)新,學(xué)生容易想到“平角為180度”“平行線同旁內(nèi)角和為180度”。然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析:(1)如何添加輔助線(即如何架橋),明確添加輔助線的目的是將三角形三個內(nèi)角向一個平角或互補的兩個角轉(zhuǎn)化。(2)在哪兒能添加輔助線(即在哪能架橋),教師組織學(xué)生剪裁、拼接三角形的三個內(nèi)角,驗證三角形內(nèi)角和為180度,很容易得知:可以選擇三角形的頂點、邊上或三角形內(nèi)部、甚至三角形外部。教師應(yīng)注意分層次引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)地點選擇的多樣性。學(xué)生不僅容易將三個內(nèi)角移到一個頂點上,也能將三個內(nèi)角移成平行線的一對同旁內(nèi)角。此時,抓住了定理證明的實質(zhì),這兩種思路都是利用平行線把分散的角相對集中起來,因而這兩種思路可以相互轉(zhuǎn)化,便把學(xué)生的思維引向了一個較高境界,引發(fā)了學(xué)生的自主探索。(3)輔助線有幾種添法(可架幾座橋),從地點上看可以有若干種,同時對平角或互補的選擇又有所不同。(4)哪種最簡捷(架哪座橋最省),讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué)的意識。
二、在探求定理證明思路中開發(fā)學(xué)生的思維能力
1.遵循認(rèn)知規(guī)律,深化學(xué)生思維
學(xué)生通過回憶對三角形的三個內(nèi)角的剪裁、拼接,很容易得出圖形.然后引導(dǎo)學(xué)生按圖形補畫線(輔助線),表現(xiàn)了學(xué)生會對直觀模型進(jìn)行抽象提煉,會對新圖形進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述,學(xué)生的理性思維在實驗變論證、感性變理性、直觀變抽象的飛躍中得到了發(fā)展。教師指出,新補畫的線為輔助線,即聯(lián)系命題的已知和未知的橋梁。那么能不能通過只移一個內(nèi)角得到三個內(nèi)角和為180度,進(jìn)而證明三角形內(nèi)角和定理呢?得到從而引領(lǐng)學(xué)生掌握輔助線添加方法的多樣性,深化學(xué)生思維。
2.多角度變換,激發(fā)學(xué)生思維
學(xué)生回顧剪裁、拼接三角形三個內(nèi)角為一個平角的過程,成功地找出了定理證明的思路后,及時引導(dǎo)學(xué)生找出在三角形邊上或三角形內(nèi)部、外部添線的方法。繼續(xù)探索引出利用兩平行線同旁內(nèi)角互補也可以證明,啟發(fā)學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)哪種方法最簡捷,體會數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.
同學(xué)們經(jīng)過比較得知,過C作CE平行AB,運用平行線內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補,證明三角內(nèi)角和定理過程最簡便;如果先延長BC,再過C作CE平行AB,運用平行線內(nèi)錯角相等、同位角相等及平角定義,證明三角形內(nèi)角和定理,圖形直觀,思維簡便。然后學(xué)生試寫出完整的證明過程。經(jīng)過多方面探討,學(xué)生的發(fā)散思維能力得到了開發(fā),學(xué)生探求定理證明的思路得到拓展,教學(xué)活動也達(dá)到了豐富多彩。
3.在民主的教學(xué)氛圍中,鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思維
民主的教學(xué)作風(fēng),為學(xué)生提出問題,暴露思維過程提供了良好的教學(xué)氛圍,在學(xué)生探索過程中,有的學(xué)生發(fā)現(xiàn),作∠ACE=∠B證不出∠ECD=∠A,教師可引導(dǎo)學(xué)生從反面理解不成功的理由,是這樣做得不到平行線。當(dāng)學(xué)生提出作∠ACE=∠A再證∠ECD=∠B時需要∠ACD>∠A,(由于延長BC得到了∠ACD,默認(rèn)了“外角大于不相鄰的內(nèi)角”)。引導(dǎo)學(xué)生探究:從圖上看無論怎樣做CE均在∠ACD內(nèi)部,若CE在∠ACD外部,則CE必通過ABC內(nèi)部與AB相交,這與CE平行AB矛盾。則CE一定平行于AB。進(jìn)而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。這樣添加輔助線這個難點在討論探究中得到化解,一種富有創(chuàng)造性的思路在學(xué)生認(rèn)識的不斷修正和完善中產(chǎn)生,經(jīng)過訓(xùn)練,創(chuàng)造性思維能力得到了有效培養(yǎng)。
參考文獻(xiàn):
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教育部編 2001年北京師范大學(xué)出版社
例1 如圖1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.
【分析】本題對∠A1、∠A2、∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的3個角的大小無關(guān)，也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的.我們從直觀圖形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要說明兩角的和等于第三個角，通?？梢酝ㄟ^添加輔助線把較大角分成兩個較小角，首先使分出的一個角等于∠A1，這可以通過添加平行線實現(xiàn)，再說明余下的一個角等于∠A2即可.
【解答】如圖1，過B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.
【點評】（1） 當(dāng)已知與未知的轉(zhuǎn)化不明顯時，常常通過作輔助線的方法加以解決，過一點作已知直線的平行線是解決平行線問題時常用的作輔助線的方法；（2） 從上面的解題過程可以看出，這個問題的實質(zhì)在于已知條件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作連接A1、A2之間的折線段，當(dāng)連接A1、A2之間的折線段增加到4條時，如圖2，仍然有結(jié)果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.
進(jìn)一步可推廣為∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，這時如圖3，連接A1、An之間的折線段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（當(dāng)然，仍要保持AA1∥BAn） .
【推廣】有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況，這是一種提升自我思考能力的方法.
此題還可以進(jìn)行如下變化：① AA1∥BA2這個條件不變，如果點B1向右移動到如圖4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？② AA1∥BA2這個條件不變，點B1向上移動到如圖5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？相信同學(xué)們可自行解答.
例2 在ABC中，高BD和CE所在直線相交于O點，若ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度數(shù).
【分析】因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，又ABC不是直角三角形，所以ABC的形狀應(yīng)分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論.
【解答】（1） 如圖6，當(dāng)ABC是銳角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形內(nèi)的O點，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.
（2） 如圖7，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形外的O點，此時∠A與∠O分別是對頂角∠ACE與∠DCO的余角，由余角的性質(zhì)可知，∠BOC=∠A=60°.
綜上所述，∠BOC的度數(shù)是120°或60°.
【點評】（1） 解圖形形狀不唯一、幾何圖形位置關(guān)系不確定或與分類概念相關(guān)的問題時，常常用到分類討論法；（2） 中線、高、角平分線是三角形中的三條重要線段，從它們所處的位置看，高與中線、角平分線不一樣，中線、角平分線都交于三角形內(nèi)一點，而高的位置隨著三角形形狀的變化而變化：銳角三角形三條高交于三角形內(nèi)一點，直角三角形三條高交于直角頂點，鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外一點，今后研究三角形高的問題時都要注意符合題設(shè)條件的圖形的多樣性.
例3 如圖8，將紙片ABC沿著DE折疊壓平，則（ ）.
A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）
C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）
【分析】折疊中含有很豐富的相等的量，因此在折疊的動態(tài)變化中，尋找不變關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在此題中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，不變關(guān)系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四邊形BCED中，未知的量減少了，利用四邊形的內(nèi)角和是360°建立方程，就能夠得到問題的答案.
【解答】由三角形內(nèi)角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.
在四邊形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故選B.
【點評】（1） 折疊類問題是近幾年中考的熱門考題，通常把某個圖形按給定的條件折疊，通過折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來命題.折疊類問題立意新穎，變幻巧妙，能有效地培養(yǎng)同學(xué)們的識圖能力及靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.（2） 此題是用代數(shù)法解幾何計算問題，這種方法的基本思路是：引入未知數(shù)，運用圖形性質(zhì)建立方程或不等式，把問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式，因此這種方法也稱為“方程思想”.如圖9，把上題中的三角形紙片改成四邊形紙片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D與∠1、∠2的關(guān)系？請你動手試試看.
例4 已知ABC中，三邊長a、b、c都是整數(shù)且滿足a>b>c，a=10，那么滿足條件的三角形共有多少個？
【分析】這是一道典型的幾何類計數(shù)問題，如果一個個三角形去列舉，不僅麻煩而且容易重復(fù)或遺漏，特別地，當(dāng)a的取值很大時，列舉根本不可能實現(xiàn)，因此解決此類問題通常需要分類討論，為了不重復(fù)、不遺漏，還可以采用列表法.
解：由三角形的三邊關(guān)系知b+c>a，因為b>c，a=10，可知b>5，又因為b
因此，滿足條件的三角形共有1+3+5+7=16（個） .
讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長做好記錄和總結(jié)。以下是為大家整理的數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例資料，提供參考，希望對你有所幫助，歡迎你的閱讀。
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例一
兩條筆直的鐵軌，看成兩條直線，把它們畫在紙上，它們的位置關(guān)系如同等號。如果你也來畫兩條直線，還會有什么不同的位置關(guān)系呢?
學(xué)生畫一畫。
(二)、分一分，初步感知平行與垂直的特點
1、讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長做好記錄和總結(jié)。
2、、交流分類情況。
可能出現(xiàn)以下幾種分法：
第一種：分兩類——相交、不相交
第二種：分三類—— 相交、快要相交的，不相交
第三種：分四類—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、歸納特點，探究規(guī)律
平行：
1、大家先來看第一類，這一類的兩條直線的位置有什么特點，想象一下再畫長點，會相交嗎?
2、像這樣的兩條直線我們就叫平行線，誰能用自己的語言說一說，什么是平行線?
3、我們打開書56頁，看看書中是怎么定義平行線的。(齊讀)
4、在這個概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“同一平面內(nèi)”，“互相平行”)
5、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相平行。
6、介紹用符號表示平行線的方法。
7、出示課件：判斷是否成平行關(guān)系。
8、再一次出示鐵軌，你還能舉出生活中平行的例子嗎?
垂直：
1、下面我們再來看看第二類直線有哪些共同特點?(有交點，都成了四個角)能不能按照角的大小也把它們分分類?有的四個角都是直角，有的四個角不是直角)，你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、誰知道像這樣兩條直線相交成直角是什么關(guān)系?
3、誰能用自己的語言說一說，什么是互相垂直?
4、我們打開書57頁，看看書中是怎么定義互相垂直的。(齊讀)
5、在這個概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相垂直。
6、介紹用符號表示互相垂直的方法。
7、完成題卡：判斷每組中兩條直線的位置關(guān)系，并用符號表示出平行和垂直,寫出讀法。
8、生活中，很多時候平行和垂直都是同時存在的，把它們摻雜在下起，同學(xué)們能區(qū)分出來嗎?
(四)、小結(jié)，梳理知識結(jié)構(gòu)
剛才，同學(xué)們在畫一畫，分一分、說一說、找一找等探究活動中，知道了在同一個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系可以分成兩大類，相交和不相交。不相交的這一類叫做平行。相交的這一類按照是否成直角也可以分成兩類，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我們的世界變得更加有序和美麗。
(五)、拓展練習(xí)，鞏固知識
辨析題：1、兩條不相交的直線叫平行線。
2、同一平面內(nèi)的兩條直線不平行就相交。
3、垂線和直角如同孿生兄弟，有垂線的地方就有直角。
4、如圖 + 直線b叫垂線。
(六)、拓展提升
本節(jié)課，我們主要研究了同一個平面內(nèi)兩條直線平行和垂直的關(guān)系，如果再加入一條直線，你還能弄清它們之間的關(guān)系嗎?
出示：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?
如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?
(七)聯(lián)系生活實際，進(jìn)一步提升平行與垂直的應(yīng)用價值
出示圖片：(鉛錘測平行，水平儀定平行垂直，測量跳遠(yuǎn)成績)
引導(dǎo)學(xué)生了解平行和垂直在生活中的應(yīng)用，引發(fā)學(xué)生的深度思考，為下節(jié)課做滲透。
板書： 平行與垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )記作： a//b讀作：a平行于b
同一平面內(nèi)
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 記作：a⊥b讀作：a垂直于b
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例二
知識與技能目標(biāo)：
1、使學(xué)生初步理解垂直與平行是同一個平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系。
2、學(xué)生結(jié)合生活情境，通過自主探究活動，初步認(rèn)識平行線、垂線。
過程與方法目標(biāo)：
學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)的過程中理解垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，合作探究能力。
情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1、 通過討論交流，使學(xué)生獨立思考能力與合作精神得到和諧發(fā)展。
2、 學(xué)生在具體的情境中感受“垂直與平行”來源于生活，在知識形成過程中體驗數(shù)學(xué)的價值。
【教學(xué)重點】
正確理解“同一個平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行線” “垂線”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
【教學(xué)難點】
正確判斷兩條直線之間的位置關(guān)系(尤其是對看似不相交而實際上是相交現(xiàn)象的理解)和對“同一平面”的正確理解。
【教學(xué)用具】
白紙、尺子、三角板、水彩筆一支、小棒、多媒體
教學(xué)過程：
一、畫圖感知、研究兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。
1、 今天這節(jié)課老師請來了一個老朋友，他是一條直線，那么直線有什么特點呢? (沒有端點，可以向兩邊無限延伸)
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活動(想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系)
師：老師和同學(xué)們都有同樣的一張紙,現(xiàn)在請大家拿出來平放在桌上摸一摸這紙，然后談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)。
生：這張紙很薄。
生：這張紙的表面是平平的。
師：也就是說我們手中的這張紙的面是一個平面。 (學(xué)生活動感知紙面是一個平面。)
師：同學(xué)們我們現(xiàn)在來想象一下，如果把這個面無限擴大，閉上眼睛想象一下，它是什么樣子?
生：很大很大，越來越大。 (學(xué)生閉上眼睛想象)
師：如果在這個無限大的平面上，出現(xiàn)了一條直線，又出現(xiàn)一條直線，現(xiàn)在請你想一想這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的?會有哪幾種不同的情況呢?(學(xué)生想象)
3、在紙上畫出想象中的兩條直線。 每個同學(xué)手中都有這樣的白紙，現(xiàn)在咱們就把它當(dāng)成一個無限大的平面，把你剛才的想法畫下來。注意，一張白紙上只畫一種情況。開始吧。(學(xué)生試畫，教師巡視)
設(shè)計意圖：通過學(xué)生的觀察與想象，感知并感受無限大的平面。為下一步進(jìn)行兩條直線間位置關(guān)系的想象提供一個可操作的平臺。想象平面上出現(xiàn)兩條直線，不是讓學(xué)生直接想象兩條直線，而是一條一條的出現(xiàn)，有利于學(xué)生想象出更多的兩條直線間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力。一張紙上只畫一種情況，目的提高學(xué)生分類時的可操作性。
二、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
(一)展示各種情況。
1、請你的同桌欣賞一下你的作品。
2、將你自己的作品展示給你所在的小組同學(xué)，并選出幾張有代表性的作品(小組交流)。 師：哪個小組愿意上來把你們的想法展示給大家看看? (小組展示，將畫好的圖貼到黑板上)
師：仔細(xì)觀察，你們畫的跟他們一樣嗎?如果不一樣，可以上來補充!(如果學(xué)生沒有把所有的情況都想到教師給予補充) 教師給學(xué)生的作品進(jìn)行編號。
師預(yù)設(shè)有以幾種兩條直線的位置關(guān)系：
設(shè)計意圖：在學(xué)生自己確定了想法之后，再在小組中交流。充分利用學(xué)生自己的學(xué)習(xí)能力，然后選出有代表性的情況，展示在黑板上，其他小組觀察后，補充不同的情況，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)活動就經(jīng)歷了一個從個人到小組再到全班的逐層遞進(jìn)的過程。使在同一平面內(nèi)兩條直線間位置關(guān)系的各種情況，可能地通過學(xué)生的思考、想象、動手操作展現(xiàn)出來，為分類提供材料。
三、師生共同探究 揭示平行與垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的這組直線相交了嗎?(沒有)想象一下，畫長點，相交了嗎?(沒有)再長一點，相交了嗎?(沒有)無限長，會不會相交?(不會)(邊提問邊用課件演示)
2、那么，像這樣在同一個平面內(nèi)的兩條直線畫得再長再長也不會相交，你們知道這種在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?我們就說這兩條直線是平行線，這兩條直線互相平行。(板書：互相平行)(學(xué)生試說不完整的概念)
3、小結(jié)： 象這樣在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念)
4、你們知道為什么要加“互相”嗎?(學(xué)生回答)
教師用誰是誰的同桌來說明平行線間的關(guān)系。 課件演示，老師強調(diào)：平行是兩條直線之間的位置關(guān)系，可以說直線L1與L2互相平行，或者說L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能說L1是平行線?
5、你覺得在這句話中，還應(yīng)注意哪些詞? 學(xué)生回答(同一平面、不相交)
師：“同一平面”是什么意思?(學(xué)生討論)學(xué)生發(fā)言后師舉例幫助學(xué)生理解，強調(diào)：判斷兩條直線是否是平行線時“在同一個平面內(nèi)”和“不相交”這兩個條件缺一不可。指出如果不在同一平面的情況，以教室的幾個墻面為例。(假如在教室前面的墻面上畫一條直線，然后在教室的側(cè)面畫一條直線，它們不相交但它們平行嗎?)
6、辨析練習(xí)：課件出示，請學(xué)生判斷并說出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱們再來看看兩條直線相交的情況。你們發(fā)現(xiàn)了什么?(都形成了四個角)
2、你認(rèn)為在這些相交的情況中哪種最特殊?(相交形成了四個直角)
3、兩條直線相交成直角，而其他情況相交形成的都不是直角，有的是銳角，有的是鈍角。
4、你是怎么知道他們相交后形成了四個直角呢?(學(xué)生驗證：三角板、量角器)(板書：成直角)
5、你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?誰能用自己的話說說。(學(xué)生試說) 課件出示互相垂直的概念，讓學(xué)生齊讀。
6、強調(diào)其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
出示直線a1和a2互相垂直的情況，讓學(xué)生說說它們之間的關(guān)系。 即：直線a1是a2的垂線，或者說a1垂直于a2， 也可以說a2是a1的垂線，或者說a2垂直于a1。
7、強調(diào)看兩條直線是否互相垂直的關(guān)鍵是看它們相交所成的角是否直角，與兩條直線放置的方向無關(guān)。
四、 練習(xí)鞏固，深化垂直與平行的理解。
1、你能在運動場上找出平行或垂直的現(xiàn)象嗎?(課件出示主題圖)
2、生活中我們常常遇到垂直與平行的現(xiàn)象，你能舉幾個例子嗎?(學(xué)生舉例后教師適當(dāng)添加學(xué)生沒想到的例子。)
3、小結(jié)：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了同一平面內(nèi)兩條直線間有兩種關(guān)系一種是相交，一種是不相交。同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行;如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。
4、揭示課題。(板書課題)
五、拓展延伸，發(fā)展空間觀念。
下面咱們一起來做個游戲，(出示小棒)每根小棒代表一條直線。教師在電子白板上畫圖，學(xué)生用小棒在自己的課桌上擺放小棒。
(1)先擺一根3號的小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒平行。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒平行。仔細(xì)觀察1號和2號小棒，說說你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?想象一下，有多少條直線跟3號小棒平行?
(2)先擺一根3號小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒垂直。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒垂直。想象一下，有多少條直線跟3號小棒垂直?仔細(xì)觀察1號和2號小棒，說說你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?
六、 總結(jié):
師：這節(jié)課你有什么收獲?
學(xué)生談自己的收獲。結(jié)合學(xué)生所談收獲教師總結(jié)全課。
師：同學(xué)們你們都滿載著收獲，我們的生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)能使我們生活變得更加有序，更加美好，讓我們都做有心人吧!去感受數(shù)學(xué)的美，去感受生活的美。
七、 作業(yè)：
1、回家后繼續(xù)尋找生活中垂直與平行的現(xiàn)象，講給你的父母聽，并說一說它們有什么作用?
2、動手折一折：(!)、用一張白紙折出兩條互相垂直的折痕線。
(2)、用一張白紙折出兩條互相平行的平行線。
八、板書設(shè)計
垂直與平行
不成直角
相交
同一平面內(nèi)的兩條直線 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例三
[教學(xué)目標(biāo)]
1、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、討論、感知生活中的平行與垂直的現(xiàn)象。
2、幫助學(xué)生初步理解平行與垂直是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，初步認(rèn)識平行線和垂線。
3.培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生樹立合作探究的學(xué)習(xí)意識。
[教學(xué)重點]
正確理解“互相平行”“互相垂直”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
[教學(xué)難點]理解“平行與垂直”這兩種關(guān)系的界定前提是“同一平面內(nèi)”。
[教具、學(xué)具準(zhǔn)備]
課件，水彩筆，尺子，三角板，長方形紙等。
[教學(xué)過程]
一、談話導(dǎo)入。
師：同學(xué)們，今天老師請來了一位老朋友，你們想知道它是誰嗎?(課件出示一條無限延長的直線)誰來介紹一下這位朋友?
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索體驗，經(jīng)歷過程
(一)畫圖感知，確定研究對象。
過渡：今天我們繼續(xù)研究有關(guān)直線的知識，就是兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。
板書：兩條直線
1、想象活動，想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系。
師：想一想，如果我們在這張長方形紙上畫兩條直線，這兩條直線會有怎么樣的位置關(guān)系呢?(學(xué)生想象)
2、動手操作。
(學(xué)生試畫，教師巡視)
3、收集展示。
4、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
師：同學(xué)們的想象力可真豐富，畫出這么多種情況。根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系你能給它們分分類嗎?
5、匯報分類情況。
在分類過程中通過課件展示重點引導(dǎo)學(xué)生弄清看似兩條直線不相交而事實上是相交的情況。(課件展示不相交的兩條直線延長后的情況，完善分類標(biāo)準(zhǔn)。)
教師根據(jù)學(xué)生的分類板書：相交 不相交
(二)師生共同探究，揭示平行與垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通過交流揭示互相平行的概念。
在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念，互說概念)
(2)練習(xí)。(辨析練習(xí)：課件出示，請學(xué)生判斷并說出原因。)
通過練習(xí)讓學(xué)生理解“同一個平面”、“不相交”等的意思。
(3)小結(jié)
2、通過交流揭示互相垂直的概念
師：我們再來看看兩條直線相交的情況。
(1)觀察。兩條直線相交成的四個角是什么角?
(2)匯報：兩條直線有的相交成直角，有的是銳角，有的是鈍角。
成銳角、鈍角
板書：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)課件出示互相垂直的的概念。(齊讀概念，互說概念)
(5)練習(xí)。(課件出示)
(6)自學(xué)互相平行、互相垂直的表示方法。
a與b互相平行，記作a∥b ，讀作 a平行于b
a與b互相垂直，記作a⊥b ，讀作 a垂直于b
(三)欣賞生活中的平行和垂直現(xiàn)象。
三、鞏固練習(xí)
四、總結(jié)全課
五、作業(yè)
板書：
平行與垂直
不相交 互相平行
兩條直線的位置關(guān)系 成銳角、鈍角
(同一平面內(nèi) ) 相交
關(guān)鍵詞：新課程；溝通；自主探究；合作學(xué)習(xí)
新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。課堂教學(xué)作為教師活動的主陣地，是學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識的主渠道，也是學(xué)生獲得知識與技能的主要途徑。怎樣才能較好地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量?筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗認(rèn)為：關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)師生之間和生生之間的良好溝通，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命的活力，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。
一、創(chuàng)設(shè)問題情境。增進(jìn)師生和生生之間的多向溝通
問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是思維的起點。創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探索的問題情境，是學(xué)生課堂溝通探究的首要條件。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點，結(jié)合課堂教學(xué)實際，精心設(shè)計能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲的問題，使學(xué)生積極思維與探究。
例如，引入“探索三角形全等的條件(一)”時，教師設(shè)計問題情境：為了創(chuàng)建文明和諧的校園環(huán)境，學(xué)校決定在進(jìn)行校園綠化時，在道路兩旁增設(shè)兩個全等的三角形草坪。施工單位已經(jīng)完工，校方想驗證這兩個草坪是否符合要求，你認(rèn)為該如何檢驗?zāi)?談?wù)勀愕南敕?。問題一提出，立刻引起了學(xué)生的討論、猜測，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣，這就激起了學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和當(dāng)前研究課題的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生從不同角度探索解決問題的辦法。
問題的創(chuàng)設(shè)可從實際生活中取材，數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，實際問題與學(xué)生生活密不可分，學(xué)生面對這些問題往往躍躍欲試，想學(xué)以致用；問題的創(chuàng)設(shè)也可以從趣味問題、數(shù)學(xué)家的故事、典故等引出，這樣可加強對學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng)，激勵學(xué)生堅持真理，勇于創(chuàng)新；問題的創(chuàng)設(shè)還可從鞏固舊知識上引發(fā)新問題，用知識的聯(lián)系來啟發(fā)思維，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想……問題的創(chuàng)設(shè)應(yīng)注意從學(xué)生生活實際出發(fā)，與教學(xué)的內(nèi)容緊密聯(lián)系，并且還應(yīng)有適當(dāng)?shù)碾y度，否則就不能激發(fā)學(xué)生溝通的興趣。
二、營造動手實踐、自主探究與合作交流的氛圍。為學(xué)生溝通創(chuàng)造有利條件
新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會、技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。而且事實上學(xué)生通過在做一做中探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律并與同伴溝通交流，達(dá)到學(xué)習(xí)經(jīng)驗共享，長期堅持可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與交流能力，在交流中鍛煉自己，把思想表達(dá)清楚，并聽懂、理解同伴的描述，提高表達(dá)能力和理解接受能力。
例如在七年級上冊的第三章“字母能表示什么”中，先給出圖形。
(1)按照圖1所給的方式，搭1個正方形需要幾根火柴棒?搭2個和3個正方形各需幾根?
(2)搭10個這樣的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100個這樣的正方形需要多少根火柴棒?你是怎樣得到答案的?
(4)如果用x表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭x個這樣的正方形需要多少根火柴棒?
讓學(xué)生通過動手搭正方形，通過親身操作與思考找出正確答案，讓每個學(xué)生都有成功的體驗。同時，在經(jīng)歷探索正方形的個數(shù)與火柴棒的根數(shù)之間的規(guī)律的過程中，通過小組合作交流使學(xué)生運用自己的語言表達(dá)自己的方法，讓學(xué)生體會探索一般規(guī)律的必要性，最終形成符號表達(dá)式，形成初步的符號感。在這一過程中，每個學(xué)生都有機會發(fā)表自己的觀點和看法，無論這看法正確與否。其次在設(shè)計小組合作學(xué)習(xí)的步驟時，應(yīng)由易到難，讓不同層次的學(xué)生都有所思、有所得。
三、構(gòu)建以學(xué)生為中心的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動，讓學(xué)生在溝通中發(fā)展
學(xué)生是課堂的主體，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者。數(shù)學(xué)新課程提倡在課堂上生與生、師與生之間溝通互動、共同發(fā)展。教師的教學(xué)活動過程大致是：(1)精心設(shè)計教學(xué)過程，完善課程設(shè)計，積累教育素材，提高教育水平；(2)提供背景材料，引導(dǎo)、布置探索內(nèi)容，參與討論；(3)協(xié)調(diào)學(xué)生之間的交流；(4)完善評價體系和實施評價。學(xué)生應(yīng)進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。在這些過程中，數(shù)學(xué)教育從“文本教學(xué)”回歸到“人本教育”，教師不再是真理的化身、絕對的權(quán)威，而是學(xué)生的朋友和伙伴，是智慧的指路人。教師主動走進(jìn)學(xué)生的心靈，一方面要“尊重”、“保護(hù)”、“關(guān)愛”學(xué)生，另一方面又要“喚醒”、“激勵”、“發(fā)展”學(xué)生。教師要像對待荷葉上的露珠一樣，小心翼翼地保護(hù)學(xué)生幼小的心靈、智慧的火花。
在北師大版九年級上冊“池塘里有多少條魚”的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模擬實驗：
問題1：一個口袋里裝有8顆黑棋，20顆白棋，任意摸出1顆，摸到黑棋的概率有多大?若任意摸出l0顆，你能推斷這l0顆中可能有幾顆黑棋嗎?為什么?(教師演示后，學(xué)生順利作答。)
問題2：一個裝有若干圍棋子的口袋里，只知道有8顆黑棋，那么有沒有辦法估計口袋里的白棋數(shù)?(關(guān)鍵條件：其中已知有8顆黑棋，其余均為白棋。學(xué)生分組討論。)
師提示：根據(jù)規(guī)則，棋子不能全部摸出來數(shù)，也就是說，棋子可以摸一顆后放回，也可以摸一部分后放回(教師可以做一些動作演示)。
(由學(xué)生分組討論，確定一名中心發(fā)言人交流。)
經(jīng)過各組的討論總共有三種方法：
生1：可以從口袋中每次任意摸出一顆棋子，記下顏色后放回，多摸幾次后，以黑白次數(shù)比估計全體黑棋與全體白棋的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
生2：可以從口袋中每次任意摸出一把棋子，記下黑白數(shù)目比后放回，以黑棋或白棋出現(xiàn)的數(shù)目與總實驗次數(shù)的比來估計全體黑棋或白棋與總棋子的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
生3：取8顆棋，稱一下其重量，放回后，再稱一下棋的總重量，根據(jù)其比例關(guān)系就可估計出白棋的數(shù)量。師：三個組的同學(xué)的回答都非常精彩，請大家思考一下，這三組同學(xué)分別用了什么樣的思想方法來解決問題。
把學(xué)生的結(jié)論上升到理論高度，讓學(xué)生知道方法正確與否必須有理論的支持。最后大家得出結(jié)論：生l組的方法是利用頻率來估計概率的方法；而生2組是利用抽樣，即通過抽取樣本進(jìn)行分析來估計全體的方法；生3組是對重量估計也屬于抽樣的方法，該方法在物理和化學(xué)實驗中應(yīng)用比較廣泛，在摸棋子實驗中可行，但換作其他重量不等的實物時，該方法有一定的局限性，不屬于本節(jié)課研究的方法，但對學(xué)生能融會貫通各科知識要加以肯定。
師：為了鼓勵他們，我們就用他們的名字命名這兩種方案，分別稱為“生1法”和“生2法”，大家說好不好?
生齊答：好。
師：那大家想不想分別用這兩種方法試驗試驗?
生：(躍躍欲試)
師：那好。首先我們試試“生1法”(實驗一)再試試“生2法”(實驗-)
因此，要把學(xué)生作為課堂學(xué)習(xí)的主體，把理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程的基本規(guī)律作為教學(xué)策略的基礎(chǔ)，把師生的和諧溝通作為引領(lǐng)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本過程，讓學(xué)生在溝通中發(fā)展。
四、合理調(diào)控活動過程。讓學(xué)生在溝通中提高
合理調(diào)控活動過程，對學(xué)生探究性學(xué)習(xí)至關(guān)重要。例如在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)七年級上“平行”一課時，教師在創(chuàng)設(shè)問題情景引入后引導(dǎo)學(xué)生討論理解平行的定義，可以進(jìn)行如下設(shè)計和課堂調(diào)控：
生：在同一個平面內(nèi)永不相交的直線叫做平行線(其他學(xué)生補充)
師：“不相交的兩條直線叫做平行線”，這一句話是否正確?(或者問：去掉“在同一平面內(nèi)”是否可以?)引導(dǎo)學(xué)生思考，小組合作交流。
生：小組討論，并回答，用兩只筆演示直線既不相交也不平行的圖形。
最后教師強調(diào)說明“在同一平面內(nèi)”，因為在空間里存在既不平行也不相交的直線，同時強調(diào)平行線定義包含的三層含義：(1)“在同一平面內(nèi)”是前提條件；(2)“不相交”就是說兩條直線沒有交點；
(3)平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或兩條線段。
教師板書：“平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線?！?/p>
生：(體會記憶)
師：在空間里存在既不相交也不平行的兩條直線——異面直線。
反饋調(diào)控預(yù)設(shè)：若反饋出學(xué)生對定義中“在同一平面內(nèi)”的理解仍不夠透徹，可使用多媒體直觀展示正方體、立交橋等實物圖形引導(dǎo)學(xué)生理解空間里既不相交也不平行的直線的存在方式。
師生總結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系是：相交或平行。
反饋調(diào)控預(yù)設(shè)：如有學(xué)生提出重合或垂直的位置關(guān)系，教師應(yīng)及時指正。并舉例說明在同一平面內(nèi)，兩直線重合應(yīng)看作是一條直線；兩直線垂直是兩直線相交的特殊情況。:
教師的指導(dǎo)與調(diào)控指的是數(shù)學(xué)課堂上的師生互動。
關(guān)鍵詞：一題多解 研究性學(xué)習(xí) 創(chuàng)新思維能力
美國心理學(xué)家吉爾福特說：“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維，它是創(chuàng)造思維的主要成分?！彼季S是智力的核心，思維能力的培養(yǎng)對學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)和未來的發(fā)展均有重要意義。而研究性學(xué)習(xí)活動正是解放學(xué)生思想，讓他們在學(xué)習(xí)中研究、在活動中探索、在研究和探索中獲得知識。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生獲得新的知識，更重要的是如何利用數(shù)學(xué)的學(xué)科優(yōu)勢培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。
現(xiàn)以一道初中數(shù)學(xué)幾何題的教學(xué)談?wù)勓芯啃詫W(xué)習(xí)活動中應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力：
問題：如圖（1），已知AD是ΔABC的中線，E是AD中點，CE的延長線交AB于F點，求AF∶AB的值。
分析：對于這類問題，一般是采用相似三角形法，得用三角形的相似比獲得目標(biāo)解。請同學(xué)們充分發(fā)揮想象力，應(yīng)該如何構(gòu)造相似三角形呢？
生1：（利用中點）過D點作AB的平行線。
生2：（利用中點）過D點作AC的平行線也可以證明。
教師：那么我們就請這兩位同學(xué)上黑板書寫證明過程好嗎？
大家回答：好！
生1、生2寫證明過程。
教師：利用中點D是不是只有以上兩種證法了呢？
學(xué)生思考……
生3：延長AD至點G，使ED=GD，連接BG，如圖所示，在ΔBGD和ΔCED中：
BD=CD
∠BDG=∠CDE
GD=ED
ΔBGD≌ΔCED；∠GBD=∠ECD；BG∥CE，即EF∥BG；AF∶AB=AE∶AG=1∶3。
教師：是不是還有其他的證明方法呢？
生4：過點E作BC的平行線交AB于點G也可以證明。
教師：請同學(xué)們思考生6的想法，看是不是能達(dá)到目的？
生5自動走上黑板書寫道：
過E點作GE∥BC交AB于點G，如圖所示，得ΔGEF∽ΔBCF。點E是AD中點，EG是ΔABD的中位線，即AG=BG；又AD是ΔABC的邊BC上的中線，GE∶BC=GF∶BF=1∶4。設(shè)GF=x，則BF=4x；而BG=BF-GF=3x，AF=AG-FG=2x，AF∶AB=（2x+2x+x+3x）=1∶3。
生6：這個證明太過于復(fù)雜了，我還有比這個簡單的證明。
教師：請生7說說你的證明方法。
生7：老師，我是這樣想的，延長CF至點G，使EG=EC，連接AG，如圖所示，在ΔDCE和ΔAGE中：
EA=ED
∠AEG=∠DECΔDCE≌ΔAGEAG=DC，∠AGE=∠DCE
EG=EC
AG∥BC。又AD是BC邊上的中線，BD=CD=1/2 BC，AG=1/2BC；而ΔAGF∽ΔBCF，AF∶BF=AG∶BC=1∶2，AF∶AB=1∶3。
教師：同學(xué)們看，生7的證明是不是明顯要比生6的證明簡單些？（稍停片刻）是不是還有其他的證明方法呢？
……
教師：回顧本問題中的已知條件“點E是AD中點，AD是AB邊上的中線”，你會否想到實際就是“AE∶DE=1∶1，AD∶DC=1∶1”呢？
當(dāng)然，經(jīng)過這樣一點化，同學(xué)們都是容易理解的。教師緊接著引導(dǎo)：（1）如果把條件改為“AE∶DE=BD∶DC=1∶n（n是正實數(shù)）”，結(jié)果又什么樣呢？（2）如果又把條件改為“AE∶DE=BD∶DC=m∶1（m是正實數(shù)）”呢？（3）如果把條件升級為“AE∶DE=BD∶DC=m∶n（m、n都是正實數(shù)）”，其結(jié)果又會怎么樣呢？
