發(fā)布時(shí)間：2022-11-27 10:50:00
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的反比例函數(shù)的應(yīng)用樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
在八年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)學(xué)過(guò)了一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念也有過(guò)認(rèn)識(shí). 但由于函數(shù)的概念與數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的一些概念和定義有比較大的區(qū)別，函數(shù)的概念還是不太容易被學(xué)生接受. 函數(shù)所體現(xiàn)的是量與量之間的關(guān)系，是一個(gè)比較抽象的概念. 因此在理解上會(huì)有些困難. 如果學(xué)生沒(méi)有很好地理解函數(shù)的概念，那么函數(shù)的學(xué)習(xí)將會(huì)受到很大的阻礙. 在這個(gè)單元中，函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)重點(diǎn). 函數(shù)的概念部分應(yīng)該怎么樣去教學(xué)才能讓學(xué)生更容易理解呢？創(chuàng)設(shè)一定的情境是讓學(xué)生理解和體會(huì)這個(gè)概念的有效方法. 如：
情境1：
（1）當(dāng)路程一定時(shí)，速度與時(shí)間成什么關(guān)系？（s = vt）
（2）當(dāng)一個(gè)長(zhǎng)方形面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬成什么關(guān)系？
[說(shuō)明]這個(gè)情境是學(xué)生熟悉的例子，當(dāng)中的關(guān)系式學(xué)生都列得出來(lái)，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、討論、合作、交流，最終讓學(xué)生討論出：當(dāng)兩個(gè)量的積是一個(gè)定值時(shí)，這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，如xy = m（m為一個(gè)定值），則x與y成反比例.
這一情境為后面學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念作鋪墊.
情境2：
汽車從南京出發(fā)開(kāi)往上海（全程約300 km），全程所用時(shí)間t（h）隨速度v（km/h）的變化而變化.
問(wèn)題：（1）你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？（2）利用（1）的關(guān)系式完成下表：
（3）速度v是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？
[說(shuō)明]（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量之間的關(guān)系，得出關(guān)系式s = vt，指導(dǎo)學(xué)生用這個(gè)關(guān)系式的變式來(lái)完成問(wèn)題（1）.
（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論，并運(yùn)用（1）中的關(guān)系式填表，并觀察變化的趨勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言描述.
（3）結(jié)合函數(shù)的概念，特別強(qiáng)調(diào)唯一性，引導(dǎo)討論問(wèn)題（3）.
情境3：
用函數(shù)關(guān)系式表示下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系：
（1）一個(gè)面積為6400 m2的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a（m）隨寬b（m）的變化而變化；
（2）某銀行為資助某社會(huì)福利廠，提供了20萬(wàn)元的無(wú)息貸款，該廠的平均年還款額y（萬(wàn)元）隨還款年限x（年）的變化而變化；
（3）游泳池的容積為5000 m3，向池內(nèi)注水，注滿水所需時(shí)間t（h）隨注水速度v（m3/h）的變化而變化；
（4）實(shí)數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化.
通過(guò)以上幾個(gè)情境的創(chuàng)設(shè)，對(duì)反比例函數(shù)的概念，學(xué)生們肯定也有了較深刻的理解. 掌握了反比例函數(shù)的概念之后，接下來(lái)學(xué)習(xí)的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，對(duì)于這部分內(nèi)容，我認(rèn)為求解析式偏重于方法，只要學(xué)生把方法掌握了，求解析式就變成了解方程的問(wèn)題，在理解上并沒(méi)有什么難處，求解析式這一塊還算是反比例函數(shù)這章中相對(duì)容易掌握的一部分了.
二、反比例函數(shù)的圖像及圖像的性質(zhì)
反比例函數(shù)的圖像及圖像的性質(zhì)這一塊的內(nèi)容可以聯(lián)系一次函數(shù)并將兩種函數(shù)進(jìn)行比較學(xué)習(xí). 從復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖像開(kāi)始，通過(guò)回憶和比較有助于學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì). 反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握可以通過(guò)探索的方式來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí). 這階段我主要是設(shè)計(jì)了如下的探索活動(dòng).
經(jīng)過(guò)一系列的探索活動(dòng)，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖像也能夠理解和掌握. 反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)如單調(diào)性這些內(nèi)容在掌握了函數(shù)的圖像之后就變得不難了，學(xué)會(huì)觀察圖像、并能把函數(shù)與圖像聯(lián)系起來(lái)，就能夠很快理解函數(shù)的單調(diào)性. 在反比例函數(shù)的應(yīng)用中，就是要學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖像以及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題. 這一部分是對(duì)綜合運(yùn)用能力的考查，歸根到底還是要對(duì)函數(shù)的圖像以及性質(zhì)有深刻的理解和掌握，才能從圖形中挖掘出潛在的信息，或者是把文字描述轉(zhuǎn)換到圖像的表達(dá)上，對(duì)函數(shù)圖像有深刻的理解才能很好地把知識(shí)運(yùn)用到解決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中. 在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的過(guò)程中，一定要注意加強(qiáng)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對(duì)比，把函數(shù)中蘊(yùn)涵的重要數(shù)學(xué)思想作為本章的主要線索，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種函數(shù)思想的理解和領(lǐng)悟.
【參考文獻(xiàn)】
[1]雷曉宏.例說(shuō)反比例函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[J].課程教育研究，2012（15）.
【關(guān)鍵詞】 題組教學(xué)；例題；提高解題能力
“數(shù)學(xué)題組訓(xùn)練”是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段中的知識(shí)綜合應(yīng)用階段.所謂題組，就是在復(fù)習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)中把學(xué)習(xí)過(guò)的題目進(jìn)行分類整理，精心設(shè)計(jì)具有系列化、程序化、有利于學(xué)生自學(xué)的題組，利用題組為學(xué)生創(chuàng)造最佳的學(xué)習(xí)情境，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，全面歸納解題方法，提高解題能力.本文結(jié)合選取反比例函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)的典例對(duì)題組訓(xùn)練進(jìn)行闡述.
一、運(yùn)用題組教學(xué)，巧求反比例函數(shù)的k值
反比例函數(shù)是歷年中考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)章節(jié)，且多以大題的形式出現(xiàn)，常常結(jié)合三角形、四邊形等相關(guān)知識(shí)綜合考查.所以，應(yīng)該引起廣大學(xué)生的重視.反比例函數(shù)中k的幾何意義也是其中很重要的知識(shí)，常在中考選擇題、計(jì)算大題中進(jìn)行考查.這類考題大多考點(diǎn)簡(jiǎn)單但方法靈活，目的在于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)圖形思維.本次專題目的在于讓學(xué)生掌握反比例函數(shù)k幾何意義這一知識(shí)要點(diǎn)，靈活利用這一知識(shí)點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并熟悉與反比例函數(shù)k幾何意義的常見(jiàn)考查方式和解題思路.
例1 點(diǎn)A（-1，1）是反比例函數(shù)y=m+1[]x的圖像上一點(diǎn)，則m的值為（ ）.
A.-1 B.-2 C.0 D.1
考點(diǎn) 反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
分析 把點(diǎn)A（-1，1）代入函數(shù)解析式，即可求得m=-2的值.
故選B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，經(jīng)過(guò)函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖像上.
例2 如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y=k[]x（x
A.-12B.-27C.-32D.-36
考點(diǎn) 菱形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
分析 根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（-8，4），然后利用待定系數(shù)法求出k=-32即可.
故選C.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)以及利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo).
二、運(yùn)用題組教學(xué)，巧求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題
反比例函數(shù)是中考命題的主要考點(diǎn)，近幾年中考試卷中出現(xiàn)了不少將反比例函數(shù)與其他函數(shù)、幾何圖形、方程（組）等綜合編擬的解答題.其中，將反比例函數(shù)與其他函數(shù)綜合命題是中考命題的新動(dòng)向.
例1 如圖，已知反比例函數(shù)y=m[]x的圖像與一次函數(shù)y=ax+b的圖像相交于點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（n，-2）.
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍.
考點(diǎn) 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
分析 （1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出m=4，從而確定反比例函數(shù)的解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo)（-2，-2），把A，B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，即可求出a=2，b=2，從而確定一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=2x+2；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖像即可得出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍：x
點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式及利用圖像比較函數(shù)值的大小.解題的關(guān)鍵是：確定交點(diǎn)的坐標(biāo).
例2 如圖，直線y=mx+n與雙曲線y=k[]x相交于A（-1，2），B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.
（1）求m，n的值；
（2）若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，求ABD的面積.
考點(diǎn) 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
分析 （1）由題意，將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，即可求出m=-1與n=1；
（2）得出點(diǎn)C（0，1）和點(diǎn)D（0，-1）的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算ABD的面積=1[]2×2×1+1[]2×2×2=3即可.
關(guān)鍵詞： 課外知識(shí)； 數(shù)學(xué)課堂； 歸納教學(xué)
中圖分類號(hào)： G424.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1009-8631（2010）07-0173-01
去年筆者有幸參加凱里“中小學(xué)校心里健康教育師資培訓(xùn)”研討會(huì)，會(huì)上與會(huì)者對(duì)教育一詞的解釋是“教”――上所施，下所效，而“育”者養(yǎng)也，學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)是學(xué)而實(shí)習(xí)之，不亦說(shuō)乎，天地相交產(chǎn)生萬(wàn)物是有規(guī)律可循的。作為教師來(lái)說(shuō)，我們只有將方法教給我們的學(xué)生。然而，許多老師在課堂上，只是將課本知識(shí)進(jìn)行解說(shuō)和分析、歸納（事實(shí)上，課本中已將要點(diǎn)進(jìn)行了歸納），而不重視課外知識(shí)。如果我們?cè)诮虒W(xué)中增加一些課外知識(shí)，那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)或考試中，就會(huì)學(xué)、考輕松許多倍，特別是在考試中既節(jié)省時(shí)間又提高其準(zhǔn)確率。
現(xiàn)就八年級(jí)第十七章反比例函數(shù)的“反比例函數(shù)上的點(diǎn)到兩軸間的距離與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形”為例，探討歸納教學(xué)。
1.歸納
例1，如圖1，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖像上任意一點(diǎn)A作x軸的垂線，垂點(diǎn)是C，連接OA，則AOC的面積是_______。
這道題是一道填空題，按常規(guī)，應(yīng)該進(jìn)行如下解題過(guò)程，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b）反例函數(shù)關(guān)系式知：ab=12，再由圖像可知，AC＝b，OC＝a，所以，SAOC＝OC?AC=ab=×12=6。如果我們這樣指引學(xué)生：B點(diǎn)是反比例函數(shù)y=y=（x＞0）的圖像上一點(diǎn)，那么SBOD=_______。
由上面的A點(diǎn)可知：SBOD=OD?BD=xy=×12=6。由此可知，反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離和到x軸（y軸）的距離與x軸（y軸）所圍成的三角形面積是一定值，即三角形面積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù)的絕對(duì)值的一半，進(jìn)而可歸納為：
反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和到x軸（或y軸）的距離與x軸（或y軸）所圍成的三角形面積等于這個(gè)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的絕對(duì)值的一半。
例2、如圖2，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，分別作x軸、y軸的垂線，垂足是B、C，則矩形ABOC的面積為_(kāi)____。
我們可利用例1的歸納，連接OA，從而有S矩形ABOC=SAOB+SAOC=×3+×3=3。故有：反比例函數(shù)任意一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離與兩坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù)的絕對(duì)值。
2. 應(yīng)用
例3、如圖3，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y=位于第一象限的分支上，AA1x于A1，BB1x于B1，記AOA1的面積為S1，BOB1的面積為S2，則S1______S2。（填“”或“=”）
由例1歸納，知S1=SAOA1=×2，S2=SBOB1=×2，故則S1=S2，從而應(yīng)填“=”。
例4，如圖4，正方形ABOC的邊長(zhǎng)為2，反比例函數(shù)y=過(guò)點(diǎn)A，則k的值是多少？
分析：因?yàn)檎叫蜛BOC也是矩形，其面積等于22=4，由例2的歸納結(jié)果，可得k=S正方形ABOC=4。
因此，k=±4，再由于反比例函數(shù)圖像在第二象限內(nèi)，故k的值為-4。
1.情境鏈簡(jiǎn)潔些
梳理反比例函數(shù)應(yīng)用的基本知識(shí)與技能，合理合情地創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的、源于生活的簡(jiǎn)潔情境，再將各個(gè)情境按照學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)編排成一條情境鏈。旨在通過(guò)情境鏈的輔佐達(dá)成課堂教學(xué)的“簡(jiǎn)中求道”――知識(shí)掌握簡(jiǎn)單些，技能訓(xùn)練簡(jiǎn)易些，數(shù)學(xué)思考自然些，問(wèn)題解決順暢些，課堂學(xué)習(xí)愉悅些……
2.知識(shí)掌握簡(jiǎn)單些
知識(shí)是學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，因此應(yīng)圍繞核心知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓陳述性知識(shí)的表述簡(jiǎn)潔些；讓程序性知識(shí)的脈絡(luò)清晰些；讓知識(shí)間的聯(lián)系自然些；讓知識(shí)的再現(xiàn)容易些；讓知識(shí)的保持長(zhǎng)久些。
3.技能訓(xùn)練簡(jiǎn)易些
技能是學(xué)習(xí)的一個(gè)目標(biāo)，因此應(yīng)圍繞基本技能進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)提高技能，由于本節(jié)課是反比例函數(shù)的應(yīng)用，因此盡可能訓(xùn)練學(xué)生的“建模與用?！奔寄?，同時(shí)由于八年級(jí)學(xué)生的抽象思維能力還很弱，因此盡可能訓(xùn)練學(xué)生的“由數(shù)思形，由形想數(shù)”的技能。
4.數(shù)學(xué)思考自然些
“數(shù)學(xué)思考”越來(lái)越引起專家和教師的重視，這是數(shù)學(xué)課程改革的必然結(jié)果。然而，由于八年級(jí)學(xué)生自身具有的“數(shù)學(xué)載體”“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”有限，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考可能會(huì)磕磕絆絆。但是教師可以設(shè)計(jì)出一些方案，讓學(xué)生在磕磕絆絆地“數(shù)學(xué)思考”中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)反思，教師留一些時(shí)間，讓學(xué)生反思，爭(zhēng)取做到在習(xí)得知識(shí)的同時(shí)，通過(guò)反思覺(jué)得：數(shù)學(xué)味很濃，從數(shù)學(xué)角度看也“合情合理”，同時(shí)既有數(shù)學(xué)的邏輯成分，又有數(shù)學(xué)的直覺(jué)成分，從心底里覺(jué)得其比較自然，逐步步入到數(shù)學(xué)思考的軌道上。
5.問(wèn)題解決順暢些
問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，情境設(shè)置時(shí)，各個(gè)情境之間要有緊密聯(lián)系，形成一組或幾組問(wèn)題串，解決前一個(gè)問(wèn)題后，立即生成下一個(gè)問(wèn)題，這就是我課上最常用的“源問(wèn)題―解決問(wèn)題―生成新問(wèn)題―解決問(wèn)題”問(wèn)題循環(huán)教學(xué)模式，能確保問(wèn)題間聯(lián)系緊密，問(wèn)題解決就順暢些。
6.課堂學(xué)習(xí)愉悅些
關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀是教育的理性回歸，教學(xué)時(shí)設(shè)置學(xué)生身邊的、熟悉的、源于生活的情境，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中就會(huì)樂(lè)意參與，主動(dòng)探索，在參與和探索中體驗(yàn)失敗的艱辛、成功的喜悅。
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識(shí)與技能：
（1）能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)的模型；
（2）能用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
2.過(guò)程與方法：
（1）在情境鏈的輔佐下，經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題―反比例函數(shù)模型―解決問(wèn)題”的過(guò)程，提高建模和用模能力；
（2）在情境鏈的輔佐下，體悟反比例函數(shù)中的“數(shù)與形”“等與不等”等基本數(shù)學(xué)哲學(xué)雛形。
3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀：
（1）在解決身邊的、有聯(lián)系的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)反比例函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)用數(shù)學(xué)的熱情；
（2）體會(huì)情境的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體悟到將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單熟悉問(wèn)題是解決問(wèn)題的基本方法和路徑；
（3）隨著問(wèn)題解決的深入，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)可以解決身邊的很多問(wèn)題，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
【教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)意圖】
一、情境引入
今天早上，我早早來(lái)到美麗的清江中學(xué)，站在校門(mén)口，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們來(lái)學(xué)校的方式不盡相同，如步行、騎自行車和乘公交車，出于好奇也為了上好本節(jié)課，我打聽(tīng)來(lái)一些情況，下面請(qǐng)大家?guī)臀医鉀Q一些問(wèn)題。
【用比較隨意的生活問(wèn)題情境引入，可以營(yíng)造一個(gè)寬松的氛圍，有利于學(xué)生的思維自由放飛，快速進(jìn)入數(shù)學(xué)思維空間，為逐步體悟“生活處處皆數(shù)學(xué)”打下伏筆?！?/p>
二、解決問(wèn)題
問(wèn)題一 上學(xué)路上
小省、小清和小中是你們的同學(xué)，三位同學(xué)距學(xué)校分別為2公里、4公里和6公里，他們分別步行、騎自行車和乘公交車來(lái)學(xué)校，如果他們同時(shí)到校，探索速度與時(shí)間的關(guān)系。
子問(wèn)題1（小省步行）
（1）如果小省步行的速度是每分鐘100米，小省上學(xué)路上要花多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）如果小省步行的速度是每分鐘v米，小省上學(xué)路上要花多長(zhǎng)時(shí)間？
【1.第（1）問(wèn)實(shí)際上是小學(xué)中給定具體數(shù)據(jù)的“行程計(jì)算”問(wèn)題，第（2）問(wèn)實(shí)際上是一類數(shù)據(jù)中的行程問(wèn)題，也可看成是一個(gè)公式，其本質(zhì)是用字母表示數(shù)。
2.該問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)可以是：采用“師生問(wèn)答”形式，但要注意充分利用情境。設(shè)想一下，如果本課采用提問(wèn)形式復(fù)習(xí)行程問(wèn)題公式：“v=”或“t=”，學(xué)生會(huì)感到枯燥無(wú)味。兩問(wèn)是反比例函數(shù)的基本問(wèn)題，條件與結(jié)論簡(jiǎn)單明了，利于學(xué)生快速融入課堂；而該設(shè)計(jì)配上小省上學(xué)路上的動(dòng)畫(huà)，熟悉、生動(dòng)的情境，學(xué)生倍感親近、真切，學(xué)習(xí)興趣就上來(lái)了。
3.總結(jié)歸納提升時(shí)，結(jié)合反比例函數(shù)的表達(dá)式，并畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)視角認(rèn)識(shí)具體實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)，并從這兩個(gè)視角歸納出（1）和（2）兩問(wèn)實(shí)際上是特殊與一般的關(guān)系。】
子問(wèn)題2（小清騎自行車）
（3）小清騎自行車與小省同時(shí)來(lái)學(xué)校，求小清騎車的速度；
（4）如果小清某天上學(xué)的速度為每分鐘v1米，放學(xué)回家的速度為每分鐘v2米，小清上學(xué)和放學(xué)回家花費(fèi)的時(shí)間之比是多少？
【1.第（3）問(wèn)要利用第（1）問(wèn)的結(jié)論，抓住“同時(shí)到?！边@一條件；第（4）問(wèn)實(shí)際上是兩個(gè)反比例函數(shù)問(wèn)題，列出關(guān)系式：v1t1=6000，v2t2=6000，進(jìn)而得出=。
2.該問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)可以是：師生共同分析、解答和板書(shū)，規(guī)范學(xué)生的書(shū)面表達(dá)。有些學(xué)生探索第（3）問(wèn)時(shí)，會(huì)有少條件的感覺(jué)，此時(shí)教師要做的是，留足時(shí)空，讓學(xué)生認(rèn)真審題，必要時(shí)可以合作交流，希望出現(xiàn)不同的呈現(xiàn)。第（4）問(wèn)中，由于距離一定，有些學(xué)生會(huì)有這樣的直覺(jué)：時(shí)間之比等于對(duì)應(yīng)速度之比的倒數(shù)。這是很好的狀態(tài)！實(shí)際上，確定問(wèn)題解決的方向，體現(xiàn)在解決問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)，直覺(jué)能定下解題方向，而解題方向的確定是解答的第一步，這在教學(xué)中非常重要，所以，教學(xué)時(shí)可以先讓學(xué)生進(jìn)行不動(dòng)筆的獨(dú)立思考，做整體解題方向的謀劃，經(jīng)常在這一方向上嘗試，學(xué)生容易找到解答思路。
3.總結(jié)歸納提升時(shí)，結(jié)合反比例函數(shù)及其圖象，比較子問(wèn)題1中的特殊與一般的關(guān)系，學(xué)生體悟到當(dāng)特殊有序數(shù)對(duì)（點(diǎn)）動(dòng)起來(lái)，一系列的特殊有序數(shù)對(duì)（點(diǎn)）就是一般情況的反比例函數(shù)（圖象），這有助于整體理解反比例函數(shù)，也為高中學(xué)習(xí)函數(shù)和解析幾何打下基礎(chǔ)?！?/p>
子問(wèn)題3（小中乘公交車，帶出環(huán)境污染）
（5）小中等待公交車約3分鐘，如果公交車速度為每分鐘300米，小中來(lái)學(xué)校大約要多長(zhǎng)時(shí)間？
（6）一次遇上霧霾天氣，公交車的平均速度不超過(guò)每分鐘100米，小中要在7：30之前到校，并要留足等車的時(shí)間至少為5分鐘，問(wèn)小中最遲在什么時(shí)刻就要到達(dá)候車點(diǎn)？
【1.第（1）問(wèn)仍是問(wèn)題1第（1）問(wèn)的變式，第（2）問(wèn)是前兩小問(wèn)題的綜合，要求略高一些。
2.該問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)可以是：學(xué)生口頭表述，教師適當(dāng)板書(shū)，在理解問(wèn)題1和2的基礎(chǔ)上，總結(jié)解決兩個(gè)問(wèn)題的方法，自主探索解決“反比例函數(shù)應(yīng)用”問(wèn)題的通法，并力求通法的書(shū)面表達(dá)簡(jiǎn)潔、完整和規(guī)范。本題設(shè)計(jì)一些較接近真實(shí)的實(shí)際情境，有一些干擾的情境，因此應(yīng)分清主次，抓住重點(diǎn)――反比例函數(shù)的應(yīng)用，其他的只是一些簡(jiǎn)單的調(diào)整或補(bǔ)充。
3.總結(jié)歸納提升時(shí)，要結(jié)合前面4個(gè)問(wèn)題，明確（5）（6）兩個(gè)問(wèn)題主要內(nèi)容仍是反比例函數(shù)，只是適當(dāng)改變次要的情境，從而說(shuō)明“從問(wèn)題的主要部分入手”是解決問(wèn)題的常規(guī)方法。并提出環(huán)境問(wèn)題已成為全社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，從而帶出問(wèn)題二?！?/p>
問(wèn)題二 環(huán)境整治
子問(wèn)題1（環(huán)境治理）
污水處理廠計(jì)劃新建一個(gè)長(zhǎng)方體污水處理池。處理池的底面積S（m2）與其深度h（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖。
（1）求處理池的體積，請(qǐng)寫(xiě)出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由于綠化以及輔助用地的需要，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，處理池的長(zhǎng)和寬最多只能分別設(shè)計(jì)為40m和30m，那么處理池的深度至少達(dá)到多少時(shí)才能滿足要求（保留兩位小數(shù)）？
【1.第（1）問(wèn)，以反比例函數(shù)的圖象作為已知條件，待定解析式；第（2）問(wèn)，給出長(zhǎng)方體兩個(gè)量的范圍，求第三個(gè)量的范圍。
2.該問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)可以是：讓學(xué)生到講臺(tái)上結(jié)合圖象，邊演示邊與其他學(xué)生交流，教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng)。第（1）問(wèn)，是面對(duì)圖象情境，培養(yǎng)學(xué)生讀圖、識(shí)圖和用圖能力；第（2）問(wèn)，讓學(xué)生建立等與不等之間的聯(lián)系，逐步認(rèn)識(shí)到等與不等是相對(duì)的，即它們既有聯(lián)系，又有區(qū)別，逐步滲透辯證的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，并體驗(yàn)如何將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題的思維路徑，這里比較陌生的“不等問(wèn)題”就有兩種轉(zhuǎn)化的路徑：借助函數(shù)的圖象直觀和運(yùn)用熟悉函數(shù)的等式形式。
3.總結(jié)歸納提升時(shí)，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面分別歸納總結(jié)與提升，重點(diǎn)和學(xué)生一起體悟“面積S隨高度h的增大而減少”的真實(shí)情境，同時(shí)順便指出應(yīng)有“防重于治”的理念，帶出環(huán)保問(wèn)題?！?/p>
子問(wèn)題2（環(huán)境保護(hù)）
學(xué)校準(zhǔn)備綠化校園，利用圍墻的一個(gè)直角，（∠ABC=90°）圍成一個(gè)面積為600m2的綠化帶，由于場(chǎng)地限制，要求墻面AB的長(zhǎng)不長(zhǎng)于60m，且不短于35m。
（1）求墻面BC的長(zhǎng)度范圍；
（2）探索斜邊AC的長(zhǎng)是否可能為50米，說(shuō)明理由。
【1.第（1）問(wèn)利用反比例函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直觀求出BC的長(zhǎng)度范圍，也可以利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，確定墻面BC的長(zhǎng)度范圍；第（2）問(wèn)利用反比例函數(shù)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，設(shè)AB=x（x>0），則BC=，由勾股定理可得x=40或x=30，結(jié)合條件，可得AB=40m，BC=30m。
2.該問(wèn)題比較開(kāi)放，教學(xué)活動(dòng)可以是：學(xué)生先自主探索，再合作交流。第（1）問(wèn)條件中墻面AB的范圍反映到圖象上，其圖象只是反比例函數(shù)圖象的一部分，教學(xué)時(shí)從代數(shù)式和圖象兩個(gè)角度，領(lǐng)會(huì)范圍的含義；由于第（2）問(wèn)是探索型的問(wèn)題，教學(xué)時(shí)，要騰出時(shí)空，讓學(xué)生自己充分思考、探究和交流。
3.總結(jié)歸納提升時(shí)，結(jié)合上面的問(wèn)題，歸納出反比例函數(shù)模型的特征：兩個(gè)量的積為定值；結(jié)合問(wèn)題二中的子問(wèn)題1，重點(diǎn)體悟反比例函數(shù)中的等與不等的關(guān)系，進(jìn)一步體悟“萬(wàn)事皆有聯(lián)系”，從而產(chǎn)生環(huán)境綜合防治的念頭，進(jìn)而帶出問(wèn)題三“調(diào)研報(bào)告”?！?/p>
問(wèn)題三 調(diào)研報(bào)告
小省、小清和小中根據(jù)上述一些環(huán)境問(wèn)題，作了大量的調(diào)查研究，完成了紙質(zhì)的調(diào)查報(bào)告，字?jǐn)?shù)為2400個(gè)。老師看了調(diào)查報(bào)告，覺(jué)得很好，就準(zhǔn)備錄入電腦，轉(zhuǎn)郵淮安環(huán)保局。
（1）若老師邊錄邊校對(duì)打字速度為每分鐘60個(gè)字，則錄完調(diào)查報(bào)告需多少時(shí)間？
（2）若老師先錄再校，每分鐘錄入字?jǐn)?shù)為120個(gè)，每分鐘校對(duì)字?jǐn)?shù)為80個(gè)，請(qǐng)問(wèn)老師采用哪種方式完成較省時(shí)？
【1.第（1）問(wèn)利用反比例函數(shù)；第（2）問(wèn)兩次應(yīng)用反比例函數(shù)，再比較兩種方法所需時(shí)間，進(jìn)而比較兩種方法的優(yōu)劣。
2.該問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)可以是：課堂練習(xí)，用于學(xué)生獨(dú)立探索和小結(jié)，同時(shí)獲悉教學(xué)反饋信息。作為課堂結(jié)束，盡可能讓學(xué)生回歸到簡(jiǎn)單的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，因此問(wèn)題不宜繁難，同時(shí)課堂上獨(dú)立練習(xí)，有助于學(xué)生積極思考，從而形成個(gè)性化的思考，教師同時(shí)根據(jù)教學(xué)反饋布置作業(yè)和后續(xù)教學(xué)。
一、“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)引入:
問(wèn):反比例函數(shù)的解析式和定義域?
師:這節(jié)課,我們研究在直角坐標(biāo)平面中反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。
出示課題:18.3.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)
(一)三個(gè)操作,確定觀察實(shí)例
(2)描點(diǎn)
(3)連線
師:按照自變量從小到大,即按點(diǎn)從左到右,用光滑的曲線連接,并向兩方伸展。所畫(huà)圖像向兩方延伸,會(huì)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交?
小結(jié):根據(jù)解析式,如果x所取值的絕對(duì)值越來(lái)越大,那么y的對(duì)應(yīng)值的絕對(duì)值越來(lái)越小;而x所取值的絕對(duì)值越來(lái)越小(不為零),則y的對(duì)應(yīng)值的絕對(duì)值越來(lái)越大。由此可知,圖像向右或向左延伸,與x軸越來(lái)越靠近;圖像向上或向下延伸,與y軸越來(lái)越靠近,但都不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。
操作2(師生同步畫(huà)圖)
類比操作1,畫(huà)反比例函數(shù) 的圖像。
(2)描點(diǎn)
(3)連線
師:對(duì)學(xué)生畫(huà)圖中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行投影講評(píng),引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)畫(huà)反比例函數(shù)圖像應(yīng)注意的事項(xiàng)。
3.操作3(學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖)
畫(huà)反比例函數(shù)和 的圖像。
(老師示范 自變量x的取值、描點(diǎn))
(二)三次類比,分析本質(zhì)屬性
師:我們前面研究正比例函數(shù)是通過(guò)圖像得到性質(zhì),這里我們同樣通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)。
問(wèn):正比例函數(shù)的圖像是什么?那么反比例函數(shù)的圖像是什么?(投影表格)
完成正反比例函數(shù)圖像部分的填寫(xiě)
1.類比思考
問(wèn):正比例函數(shù)有哪些性質(zhì)?
師:觀察、比較上面四個(gè)函數(shù)的圖像,類比正比例函數(shù)性質(zhì)的研究,請(qǐng)各小組從“圖像的位置分布、函數(shù)的增減性”幾個(gè)方面討論反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)。
討論參考問(wèn)題:
(1)函數(shù)的圖像分別位于哪幾個(gè)象限內(nèi)?
(2)隨著圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x逐漸增大,縱坐標(biāo)y是怎樣變化的?
(3)圖像的每支都向兩方無(wú)限延伸,它們可能與x軸、y軸相交嗎?為什么?
2.類比歸納
反比例函數(shù)(k是常數(shù),k)的性質(zhì):
(邊歸納邊完成表格)
分組討論,修正性質(zhì)
師:以函數(shù)為例,若在第一象限的分支上取兩點(diǎn),如a(1,6),b(3,2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減小;若在第三象限的分支上取兩點(diǎn),如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減小。但如果,分別在第一、三象限各取一點(diǎn),如a(1,6),d(-3,-2),是否符合這一增減性規(guī)律?
生:應(yīng)該加上“在每個(gè)象限內(nèi)”或“在對(duì)于每個(gè)分支而言”或“當(dāng)x>0或x<0”時(shí),等等。
3.類比小結(jié)
對(duì)照表格,談?wù)務(wù)幢壤瘮?shù)圖像和性質(zhì)的異同點(diǎn)。
(三)三層練習(xí),進(jìn)行鞏固運(yùn)用
(1)比例系數(shù)k分別是多少?
(2)圖像分別在哪些象限?
(3)圖像在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值的變化而怎樣變化?
課堂小結(jié)
談?wù)勀銓W(xué)習(xí)的收獲和體會(huì)
(學(xué)生沒(méi)有提到的部分,老師通過(guò)引導(dǎo)直接講解,幫助學(xué)生進(jìn)行小結(jié))
師:同學(xué)們回答的很好,這節(jié)課我們不僅學(xué)習(xí)了畫(huà)反比例函數(shù)的圖像,還研究了它的性質(zhì),更重要的是我們感受了學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念,這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何畫(huà)反比例函數(shù)的圖像,歸納得出了反比例函數(shù)的性質(zhì),下節(jié)課我們將運(yùn)用這些性質(zhì)來(lái)解決一些問(wèn)題。
二、對(duì)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)思考
“反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)”的內(nèi)容教學(xué),學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì),反比例函數(shù)的解析式。本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)有兩個(gè):一是會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)的圖像;二是結(jié)合圖像分析歸納反比例函數(shù)的基本性質(zhì),并掌握這些性質(zhì)。
反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)較正比例函數(shù)而言,較難操作畫(huà)圖,比較抽象,不易理解。這堂課力求在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生在動(dòng)手操作、性質(zhì)比較、自主探究的過(guò)程中不斷地發(fā)現(xiàn)新知識(shí),從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)有關(guān)反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)的知識(shí)構(gòu)建。
(一)注重兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式的有機(jī)結(jié)合
數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)主要有兩種形式:一是數(shù)學(xué)概念形成,二是數(shù)學(xué)概念同化。數(shù)學(xué)概念形成需要的是對(duì)物體或事件的直接經(jīng)驗(yàn),從這些物體或事件中抽象出它們的共同屬性。而在數(shù)學(xué)概念同化的過(guò)程中,重點(diǎn)在于學(xué)生把新知識(shí)與頭腦中已有的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。但兩者不是互相排斥的,在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以把這兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式有機(jī)的結(jié)合起來(lái),常常能收到較好的效果。
本例中設(shè)計(jì)了三個(gè)操作、三次類比、三層練習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷了“觀察操作實(shí)例——分析本質(zhì)屬性——修正本質(zhì)屬性——練習(xí)簡(jiǎn)單運(yùn)用”等幾個(gè)階段,這里運(yùn)用的是數(shù)學(xué)概念形成的學(xué)習(xí)形式。本例從具體的操作實(shí)例出發(fā),對(duì)反比例函數(shù)從k>0和k<0的兩種情況分類研究操作畫(huà)圖,歸納得出了反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的“本質(zhì)屬性”,再通過(guò)具體實(shí)例函數(shù) 在第一象限的分支上的兩點(diǎn)a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的兩點(diǎn)c(-1,-6),d(-3,-2),對(duì)性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)與修正,最終概括得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。然而,在分析本質(zhì)屬性中,本課將正反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行三次類比,運(yùn)用了數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)形式。使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立聯(lián)系,把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中,同化新概念。
通過(guò)數(shù)學(xué)概念形成和數(shù)學(xué)概念同化兩種學(xué)習(xí)形式的結(jié)合運(yùn)用,學(xué)生對(duì)“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”既有感性認(rèn)識(shí)又有理性認(rèn)識(shí),從具體到抽象,符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律,提高了教學(xué)效率,使學(xué)生能夠在較短的時(shí)間內(nèi)正確理解數(shù)學(xué)概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。
(二)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透
對(duì)數(shù)學(xué)而言,知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,實(shí)際上也就是思想方法的發(fā)生過(guò)程。因此,概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、規(guī)律的被揭示過(guò)程等都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)。
本例的一個(gè)重難點(diǎn)是“理解和掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”。在性質(zhì)歸納中設(shè)計(jì)了“類比思考”、“類比歸納”、“類比小結(jié)”三個(gè)環(huán)節(jié),對(duì)正反比例函數(shù)進(jìn)行充分的類比,讓學(xué)生更好的體會(huì)利用函數(shù)圖像來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的研究方法,降低學(xué)習(xí)難度,對(duì)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的掌握會(huì)更好。
另外,本課將反比例函數(shù)分成“k>0”和“k<0”兩種情況進(jìn)行研究,滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想。在反比例函數(shù)增減性的講解中,借助圖像和具體的點(diǎn)和坐標(biāo),再?gòu)木唧w到抽象,充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,幫助學(xué)生更好的理解性質(zhì)中的難點(diǎn)。
數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)和定理等知識(shí)都明顯地寫(xiě)在教材中,是有“形”的,而基本的數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中,是無(wú)“形”的,并且不成體系散見(jiàn)于教材各章節(jié)中。在概念課的教學(xué)過(guò)程中,我們老師應(yīng)注意把握好數(shù)學(xué)思想的滲透時(shí)機(jī),尋找適合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平的滲透方法。
(三)注重?cái)?shù)學(xué)概念的過(guò)程教學(xué)
數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過(guò)程,是課程目標(biāo)內(nèi)容,也是課程學(xué)習(xí)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中,要抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)系,結(jié)合學(xué)生的能力狀況及知識(shí)水平,采用多種方式,組織學(xué)生參與概念的分析、概括、形成過(guò)程,變“成果教學(xué)”為“過(guò)程教學(xué)”。
例如在“反比例函數(shù)增減性”的教學(xué)中,不是直接給出“在每一象限內(nèi)”這一前提,而是先由學(xué)生類比得出“k>0時(shí),y的值隨x的增大而減小;k<0時(shí),y的值隨x的增大而增大”這一不正確的結(jié)論。再給出具體的函數(shù)上的兩點(diǎn)a(1,6),d(-3,-2),討論是否符合這一增減性規(guī)律。最后,對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行修正。
學(xué)生在這一討論后,提出了不同的修正方案,有“對(duì)于每一個(gè)分支而言”、“對(duì)于每個(gè)象限”而言、“當(dāng)x>0時(shí)”等。這一開(kāi)放性的教學(xué)策略,為學(xué)生提供更多的機(jī)會(huì)和時(shí)間,讓學(xué)生提問(wèn)和質(zhì)疑、嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結(jié),使課堂成為學(xué)生能動(dòng)地、創(chuàng)造性的生成過(guò)程,避免了把數(shù)學(xué)概念絕對(duì)化,讓學(xué)生形成“正確的答案可能不止一個(gè)”的認(rèn)識(shí)。
總之,數(shù)學(xué)概念的教學(xué),既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心,其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵與外延,使學(xué)生思考問(wèn)題、推理證明有所依據(jù),能夠創(chuàng)見(jiàn)性地解決問(wèn)題。概念教學(xué)的效果如何,將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握和應(yīng)用。因此,在概念教學(xué)中,教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概念教學(xué)的具體要求,創(chuàng)造性地使用教材,努力優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì),把握概念教學(xué)過(guò)程,真正讓學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。
整理
參考文獻(xiàn):
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[2]奚定華等.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì).華東師范大學(xué)出版社,2001.
本節(jié)課內(nèi)容是《反比例函數(shù)》起始課，屬于一節(jié)概念新授課，教材為蘇教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第11章反比例函數(shù)第一課時(shí)。本課教材從已有的小學(xué)知識(shí)“兩個(gè)量的乘積一定，那么這兩個(gè)量成反比例”出發(fā)，設(shè)問(wèn)：成反比例的兩個(gè)量之間的關(guān)系，怎么用函數(shù)表達(dá)式來(lái)描述？于是引出操作題：南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發(fā)，以速度v（km/h）開(kāi)往上海，全程所用時(shí)間t（h）。寫(xiě)出t、v的關(guān)系式，并填寫(xiě)下表：
隨著速度的變化，全程所用時(shí)間發(fā)生怎樣的變化？時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎？
教材給出了一組對(duì)應(yīng)關(guān)系，從對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式找共同特征得出反比例函數(shù)的定義。
我在設(shè)計(jì)時(shí)考慮，既不能脫離教材，又要結(jié)合實(shí)際，因此對(duì)操作題進(jìn)行改編作為課題情境導(dǎo)入。本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)以及特例正比例函數(shù)后，又一次進(jìn)入函數(shù)領(lǐng)域?qū)瘮?shù)再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)既區(qū)別于一次函數(shù)，又建立在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，因此起始課對(duì)函數(shù)概念的回顧就很有必要，在教學(xué)方法上可以采取回憶得出一次函數(shù)的過(guò)程的方法。但是用什么樣的方式讓學(xué)生能回憶起函數(shù)的抽象概念并能總結(jié)出反比例函數(shù)的概念，是筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)遇到的最大困難。很顯然教師直接給出定義并不合適，這樣不能讓學(xué)生真正體會(huì)反比例函數(shù)的意義。我認(rèn)為，本節(jié)課的重點(diǎn)是進(jìn)行抽象反比例函數(shù)的概念的教學(xué)，進(jìn)而理解反比例函數(shù)的概念，難點(diǎn)同樣是理解反比例函數(shù)的概念。
【初稿設(shè)計(jì)】
介于上述考慮，筆者首先給出教學(xué)設(shè)計(jì)初稿。
情境導(dǎo)入1：接到參賽通知，馮老師開(kāi)車從蘇州到南京，據(jù)了解走滬寧高速平均速度為100km/h，行駛的路程s（km）隨時(shí)間t（h）的變化而變化。
問(wèn)題1：此題中常量是什么？變量是什么？
問(wèn)題2：變量s與時(shí)間t的關(guān)系式是什么？s是t的函數(shù)。（s=100t）
問(wèn)題3：回憶什么是函數(shù)？
情境導(dǎo)入2：在出發(fā)前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（升）隨行駛里程x（公里）的變化而變化，y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么？
情境導(dǎo)入3：從蘇州到南京，汽車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時(shí)間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化，t與v的函數(shù)關(guān)系式是什么？
結(jié)合教材實(shí)例列出4個(gè)函數(shù)關(guān)系式。
思考：上述函數(shù)表達(dá)式中哪些是已學(xué)的函數(shù)，分別是什么函數(shù)？一般式是什么？
討論：剩下的幾個(gè)函數(shù)有什么共同特征？（此處安排學(xué)生討論，教師總結(jié)學(xué)生討論結(jié)果）
至此，得出課題反比例函數(shù)。在得出課題后與學(xué)生一起總結(jié)反比例函數(shù)的一般式以及完整定義。（中間略）在一些概念習(xí)題后講解了待定系數(shù)法，并做相應(yīng)練習(xí)，最后總結(jié)。
針對(duì)初稿設(shè)計(jì)，我試上了一節(jié)課，通過(guò)學(xué)生表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這樣的設(shè)計(jì)存在很大的問(wèn)題。
（1）由于沒(méi)有任何鋪墊，在給出“情境導(dǎo)入1”中的一個(gè)正比例函數(shù)s=100t就讓學(xué)生回答什么是函數(shù)，學(xué)生基本一無(wú)所知，一來(lái)因?yàn)楹瘮?shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)已經(jīng)過(guò)了一個(gè)學(xué)期，間隔較長(zhǎng)。二來(lái)函數(shù)概念本來(lái)就過(guò)于抽象，與學(xué)生學(xué)情不符，此處耗時(shí)較長(zhǎng)。
（2）討論問(wèn)題問(wèn)學(xué)生剩下幾個(gè)函數(shù)有什么共同特征？問(wèn)題太大，沒(méi)有針對(duì)性，學(xué)生不知道從哪個(gè)方面來(lái)回答，給出的答案與教師預(yù)設(shè)相去較遠(yuǎn)，遠(yuǎn)離了本課教學(xué)目標(biāo)。教師解釋也很困難。
（3）習(xí)題部分過(guò)多討論了待定系數(shù)法，題目偏難，學(xué)生做起來(lái)很困難。導(dǎo)致最后重點(diǎn)偏離，難點(diǎn)沒(méi)有突破。
【改進(jìn)后的設(shè)計(jì)】
經(jīng)過(guò)了并不成功的試上課后，聽(tīng)取了聽(tīng)課教師的意見(jiàn)，我又仔細(xì)閱讀了教材，中間聽(tīng)了一節(jié)本校小學(xué)部六年級(jí)的《認(rèn)識(shí)反比例關(guān)系》的隨堂課，深受啟發(fā)。小學(xué)教師更注重對(duì)學(xué)生提問(wèn)的引導(dǎo)，將問(wèn)題分得很細(xì)，很有針對(duì)性，一節(jié)課解決的問(wèn)題不多，但是基本上學(xué)生在上完一節(jié)課后能對(duì)本課的重點(diǎn)有一個(gè)深刻的印象。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了中小學(xué)教材在銜接上存在一些不同步，導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)入初中在學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系的時(shí)候已經(jīng)對(duì)比例關(guān)系有所淡忘。因此我在重新設(shè)計(jì)的時(shí)候有了新的想法，將小學(xué)的比例關(guān)系融合到本課的概念的抽象部分，試圖通過(guò)正反比例關(guān)系來(lái)認(rèn)識(shí)正反比例函數(shù)，在改進(jìn)后的備課中也更好地使用了教材上的表格操作題，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)作了如下的修改。
情境導(dǎo)入：接到參賽通知，馮老師開(kāi)車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時(shí)間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。
問(wèn)題1：這里有幾個(gè)量？常量是什么？變量是什么？
問(wèn)題2：你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？（t=）
問(wèn)題3：利用問(wèn)題2中的關(guān)系式補(bǔ)全下表中的t（表格中給出兩個(gè)t的數(shù)值是為了不讓學(xué)生在計(jì)算上浪費(fèi)時(shí)間）。
問(wèn)題4：隨著平均速度v的增加，全程所用時(shí)間t 發(fā)生了怎樣的變化？
問(wèn)題5：給定變量v的值，t都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)嗎？
問(wèn)題6：時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎?為什么？
問(wèn)題7：時(shí)間t是速度v的一次函數(shù)嗎？
通過(guò)一個(gè)情境和一組問(wèn)題，復(fù)習(xí)函數(shù)概念，區(qū)別于設(shè)計(jì)初稿中由一個(gè)關(guān)系式直接問(wèn)函數(shù)概念，此處把問(wèn)題細(xì)化，每個(gè)問(wèn)題學(xué)生都很容易回答，設(shè)置問(wèn)題串的目的主要為問(wèn)題6做鋪墊，在問(wèn)題中感受函數(shù)定義中的三個(gè)要素：兩個(gè)變量；一種變化關(guān)系；對(duì)一個(gè)變量，另一個(gè)變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。
情境引入后，緊接著再給出4個(gè)生活實(shí)例要求學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式，其中兩題承接情境引入形成一個(gè)完整的情境設(shè)計(jì)，分別列出一個(gè)一次函數(shù)和一個(gè)一次函數(shù)特例正比例函數(shù)。另兩題均為反比例函數(shù)，一題是以圖表形式呈現(xiàn)，避免函數(shù)表現(xiàn)形式過(guò)于單一，一題是利用書(shū)本例子，使得函數(shù)表達(dá)式中的k出現(xiàn)負(fù)值，而更完整。
通過(guò)5個(gè)函數(shù)表達(dá)式的展示，請(qǐng)學(xué)生找出已學(xué)過(guò)的函數(shù)，并寫(xiě)出一般式。然后觀察剩下的三個(gè)表達(dá)式，請(qǐng)學(xué)生先從形式上找它們的共同點(diǎn)并結(jié)合已學(xué)過(guò)的函數(shù)的一般式總結(jié)這些新的函數(shù)的一般式。通過(guò)展示的一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般式學(xué)生更容易通過(guò)對(duì)比寫(xiě)出新的一般式。
接著留下正比例函數(shù)和新寫(xiě)的函數(shù)一般式，讓學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過(guò)的兩個(gè)量之間的比例關(guān)系，說(shuō)出正比例函數(shù)中兩個(gè)變量成什么比例關(guān)系，并且成這樣的比例關(guān)系的兩個(gè)量之間什么是一定的。通過(guò)填空的形式學(xué)生更易回答。緊接著問(wèn)新的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量什么是一定的，成什么比例。學(xué)生很容易回答上來(lái)。這樣的設(shè)計(jì)既回顧了小學(xué)比例關(guān)系，又與本課密切相關(guān)，抽象解釋出概念的過(guò)程，自然又有效。
在得出概念及符號(hào)表達(dá)式后，總結(jié)注意點(diǎn)，并結(jié)合式子變形，得出反比例函數(shù)的另外兩個(gè)表現(xiàn)形式。然后給出例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？
（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
此題設(shè)計(jì)中預(yù)計(jì)學(xué)生會(huì)在判斷（2）的比例系數(shù)k上出現(xiàn)問(wèn)題，另外可能會(huì)在（8）的判斷中忘記k≠0的要求而判斷錯(cuò)誤。因此在講解此題的時(shí)候可以考慮由學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生逐一回答，并建議學(xué)生在判斷是否反比例函數(shù)的時(shí)候盡量往三個(gè)表達(dá)式的不同形式上靠，在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的時(shí)候及時(shí)糾正。
訓(xùn)練可以讓學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的判斷、對(duì)函數(shù)表達(dá)式的幾種不同形式有更深刻的印象。
在（8）出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)可引出：
如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。隨后增加學(xué)生練習(xí)：當(dāng)m取什么值時(shí)，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？
例2以教師講解為主，板書(shū)規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式。鞏固練習(xí)讓學(xué)生上黑板板書(shū)。之后設(shè)計(jì)4個(gè)簡(jiǎn)單的課堂反饋練習(xí)，目的是實(shí)時(shí)檢測(cè)課堂效果。
在練習(xí)了較多數(shù)學(xué)題目后，重新回到生活中的數(shù)學(xué)，給出一個(gè)實(shí)例：要建造一個(gè)面積為260m2的三角形花壇，底邊長(zhǎng)是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此題的判斷需要學(xué)生對(duì)列出的式子進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形變?yōu)榉幢壤瘮?shù)的一般形式來(lái)判斷，從中希望能讓學(xué)生再一次深化理解：當(dāng)兩個(gè)變量的乘積是一定不為零的常數(shù)時(shí)是反比例函數(shù)。）
實(shí)例后增加兩個(gè)變形：1.如果花壇是一個(gè)等腰三角形，周長(zhǎng)是300m，底邊長(zhǎng)為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？2.如果花壇是一個(gè)等邊三角形，周長(zhǎng)C（m）是邊長(zhǎng)a（m）的反比例函數(shù)么？通過(guò)反例進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)。
然后可以讓學(xué)生根據(jù)生活實(shí)例去編題，讓同伴判斷是否是反比例函數(shù)，既可以加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的理解，又可以在學(xué)生學(xué)到疲倦的時(shí)候再次活躍課堂氣氛。
最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并留下課后思考題，做到將本節(jié)課的知識(shí)遷移到別的學(xué)科，注重學(xué)科之間的結(jié)合。我改進(jìn)后的設(shè)計(jì)去掉了待定系數(shù)法，使得本課的目標(biāo)更明確，放棄了難題的訓(xùn)練，更注重對(duì)于抽象概念的教學(xué)過(guò)程，舍得在抽象概念教學(xué)過(guò)程中花時(shí)間，讓更多學(xué)生參與其中，避免了教師教的痕跡，設(shè)計(jì)問(wèn)題更具針對(duì)性，注重啟發(fā)學(xué)生思考。情境設(shè)計(jì)雖貼近生活實(shí)際，但密切聯(lián)系數(shù)學(xué)問(wèn)題，避免了學(xué)生回答脫離預(yù)設(shè)想法。
【課例呈現(xiàn)】
一、教學(xué)目標(biāo)
1.理解反比例函數(shù)的概念。
2.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。
3.會(huì)判斷一個(gè)給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)。
4.通過(guò)探索現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量間的反比例關(guān)系，體會(huì)認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界特定數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步深化理解函數(shù)的概念。
二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是經(jīng)過(guò)抽象反比例函數(shù)概念的教學(xué)過(guò)程，理解反比例函數(shù)的概念。
難點(diǎn)是領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念。
三、教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)熱情
【問(wèn)題1】師：接到參賽通知，馮老師開(kāi)車從蘇州到南京，路上遇到一些問(wèn)題，正好與本課所學(xué)內(nèi)容相關(guān)，同學(xué)們?cè)敢鈳椭蠋熞黄饋?lái)解決這些問(wèn)題么？
生（眾）：愿意。
師：那就讓我們一起開(kāi)始一段短暫的旅行吧。
PPT顯示引例：接到參賽通知，馮老師開(kāi)車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時(shí)間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。
師：這里有幾個(gè)量？常量是什么？變量是什么？
生1：3個(gè)，常量是200，變量是時(shí)間t和速度v。
師：你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？
生2：t=。
師：非常好，那么請(qǐng)同學(xué)順著這位同學(xué)的回答來(lái)幫老師填寫(xiě)完整下表。
學(xué)生完成，生3回答。
師：隨著平均速度v的增加，全程所用時(shí)間t發(fā)生了怎樣的變化？
生4：速度v變大，時(shí)間t變?。ㄐW(xué)里對(duì)反比例關(guān)系的變量間的關(guān)系表述，這里沒(méi)有刻意去研究k的符號(hào)問(wèn)題，僅僅讓學(xué)生有一種反比的感受）。
師：給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)嗎？
生（眾）：是的。
師：時(shí)間t是速度v的函數(shù)嗎？為什么？（特意在上個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)下去問(wèn)函數(shù)的抽象定義，為了使得學(xué)生體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）
生5：是的，因?yàn)閠是隨著v的變化而變化的，并且它們之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（學(xué)生雖然不能完整敘述定義，但是基本能說(shuō)出幾個(gè)要點(diǎn)。）
教師展示完整答案：因?yàn)樵谶@個(gè)變化中，有兩個(gè)變量v和t，給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以t是v的函數(shù)。
（因?yàn)橛幸唤M問(wèn)題的引導(dǎo)，生5回答的時(shí)候答出了兩個(gè)變量之間滿足函數(shù)關(guān)系必須要有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這也是函數(shù)概念中比較抽象、學(xué)生易忘記的地方。教師在學(xué)生回答完后展示完整答案并強(qiáng)調(diào)注意點(diǎn)是有必要的，視覺(jué)的感受會(huì)比聽(tīng)覺(jué)更直接更深刻。）
師：時(shí)間t是速度v的一次函數(shù)嗎?
生6：不是，因?yàn)椴环弦淮魏瘮?shù)的表達(dá)式。
師：很好，我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在許許多多的變量，而函數(shù)是刻畫(huà)變量之間關(guān)系的一種有效數(shù)學(xué)模型，下面請(qǐng)同學(xué)幫老師再來(lái)寫(xiě)寫(xiě)生活中不同的函數(shù)關(guān)系式。（此時(shí)并沒(méi)有著急提問(wèn)這是什么函數(shù)？而是另外給出一系列的生活場(chǎng)景，讓學(xué)生進(jìn)一步感受函數(shù)在生活中的意義。）
【問(wèn)題2】用函數(shù)關(guān)系式表示下列問(wèn)題中變量之間的關(guān)系。
（1）在出發(fā)之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，寫(xiě)出油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數(shù)關(guān)系式。
（2）油每升7.6元，實(shí)際加油費(fèi)用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式。
（3）把一張百元人民幣兌換成零錢(qián)，如果手邊有10元、5元、20元等不同面值的零錢(qián)，兌換的張數(shù)y隨面額x的變化而變化，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式。
（4）實(shí)數(shù)m與n的積為-150，寫(xiě)出m與n的函數(shù)關(guān)系式。
（二）合作交流，探求新知
師：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我們學(xué)過(guò)的函數(shù)？它們是什么函數(shù)？
生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)。
師追問(wèn)：一次函數(shù)的表達(dá)式是什么？
生7：y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0）。
師：y=7.6x還被稱作什么函數(shù)？
生7：正比例函數(shù)。
師：正比例函數(shù)的一般式是什么呢？
生7：y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0）。
師：很好，正比例函數(shù)是一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)b=0時(shí)的特殊形式。那么請(qǐng)同學(xué)們觀察剩下的幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式，從形式上看有什么共同特征？可以與你的同伴討論一下。
眾生討論，教師參與。（在給出了一次函數(shù)及特殊情況正比例函數(shù)的表達(dá)式后，讓學(xué)生類比一次函數(shù)先從形式上來(lái)認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)）
生8：我認(rèn)為剩下的幾個(gè)函數(shù)從形式上看左邊都是一個(gè)變量，右邊都是一個(gè)分式。并且分式的分母是一個(gè)變量，分子是常數(shù)。
師：非常好，還有同學(xué)補(bǔ)充么？
生9：我認(rèn)為等式左邊是因變量，等式右邊的字母是自變量，并且自變量在分母上，所以不能取0。
師：很好，那你能模仿一次函數(shù)還有正比例函數(shù)的表達(dá)式，給具有共同特征的函數(shù)寫(xiě)個(gè)一般式么？
生9：我認(rèn)為一般式可以寫(xiě)成y=。
師：非常好，那么我們看看一次函數(shù)的k有什么要求，再看看這個(gè)函數(shù)里的k有什么要求？
生9：k是常數(shù)且k≠0。
師（PPT展示，板書(shū)修改完整表達(dá)式）：很好，在大家的幫助下，我們得到了新的函數(shù)的表達(dá)式，我們?cè)僖黄鹱屑?xì)來(lái)看一下正比例函數(shù)和這個(gè)新函數(shù)的表達(dá)式，（此時(shí)PPT擦去y=kx+b，僅留下y=kx和y=的表達(dá)式以及相關(guān)的4個(gè)函數(shù)表達(dá)式），請(qǐng)同學(xué)們回憶小學(xué)學(xué)過(guò)的比例關(guān)系，想想看在這兩個(gè)表達(dá)式中，兩個(gè)變量都成什么比例關(guān)系？
學(xué)案呈現(xiàn)回憶小學(xué)學(xué)過(guò)的比例關(guān)系（學(xué)生一邊接受教師的提問(wèn)，一邊對(duì)照學(xué)案的填空，回答更有針對(duì)性）
兩個(gè)量的一定，這兩個(gè)量成比例。
兩個(gè)量的一定，這兩個(gè)量成 比例。
生10：在正比例函數(shù)中，兩個(gè)變量是成正比例的。
師追問(wèn)：那么成正比例關(guān)系的兩個(gè)量什么是一定的？
生10：這兩個(gè)量的比值是一定的。
師：太棒了，這位同學(xué)對(duì)小學(xué)知識(shí)掌握得很好。那么再請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)說(shuō)看，符合y=函數(shù)特征的兩個(gè)變量成什么比例關(guān)系？
生11：成反比例關(guān)系。
師追問(wèn)：滿足什么一定關(guān)系的兩個(gè)變量成反比例關(guān)系？
生11：這兩個(gè)變量的乘積是一定的。
師：很好，那么如果要你們給這些函數(shù)取個(gè)名稱的話可以叫什么呢？
生（眾）：反比例函數(shù)（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學(xué)生思考、討論、探索自主得出。）
師板書(shū)課題《11.1反比例函數(shù)》，與學(xué)生一起填寫(xiě)完整反比例函數(shù)概念。
新授概念：形如的函數(shù)叫做函數(shù)，其中x是量，y是x的，k是。
【階段小結(jié)】反比例函數(shù)的定義中，有兩點(diǎn)要注意：
①k≠0，②x≠0（兩個(gè)不為零）
利用所學(xué)知識(shí)，對(duì)于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。
①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）
【階段小結(jié)】y是x的反比例函數(shù)的幾種等價(jià)形式:
y=（k≠0）
一般形式
（三）例題講解，理解概念
師：我們知道了什么是反比例函數(shù)，那么同學(xué)們能從下面這些函數(shù)中找出反比例函數(shù)么？
例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？
（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2
（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
學(xué)生練習(xí)，教師巡視。請(qǐng)學(xué)生逐一回答。
生12：我認(rèn)為（1）中y是x的反比例函數(shù)。
師：好的，請(qǐng)說(shuō)出比例系數(shù)k。
生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。
師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數(shù)的一般式來(lái)看，我們可以把（2）寫(xiě)成y=-×（板書(shū)）請(qǐng)你接著寫(xiě)寫(xiě)一般形式。
生12：y=
師：那此時(shí)你能看出k是多少么？
生12：k=-。
師：很好，當(dāng)我們不能很容易看出k時(shí)，不如把函數(shù)寫(xiě)成反比例函數(shù)的一般形式再來(lái)找k。
生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。
師：好的，請(qǐng)問(wèn)（4）（7）分別是反比例函數(shù)的哪種表達(dá)形式？
生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。
師：非常好，還有反比例函數(shù)么？
生13：我認(rèn)為（8）也是，比例系數(shù)是a。（此時(shí)出現(xiàn)預(yù)設(shè)的錯(cuò)誤，并且下面學(xué)生在竊竊私語(yǔ)。）
師：老師好像聽(tīng)到有不同意見(jiàn)，請(qǐng)有不同意見(jiàn)的同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)看。
生14：我認(rèn)為（8）不是，因?yàn)闆](méi)有強(qiáng)調(diào)k≠0。
師：非常好，這位同學(xué)考慮得很細(xì)致，的確，在判斷的時(shí)候一定要注意比例系數(shù)k必須不為0。
（另外對(duì)學(xué)生不太理解的（7）也作適當(dāng)?shù)闹v解。）
【階段小結(jié)】我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)函數(shù)關(guān)系式是否是反比例函數(shù)的時(shí)候，可以盡可能地往三種不同表達(dá)形式上去靠，或者通過(guò)公式變形去靠近反比例函數(shù)的一般形式，這樣更容易找出k的值。
例2：如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。
教師板書(shū)解題過(guò)程：
解：由題意得：2k+5=1
k+1≠0，解得：k=-2
k≠-1，k=-2。
反比例函數(shù)的解析式是y=。
【小結(jié)】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來(lái)，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當(dāng)成比例系數(shù)k。
【鞏固練習(xí)】當(dāng)m取什么值時(shí)，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？（學(xué)生板書(shū)，答案正確，格式規(guī)范。）
（四）課堂反饋，實(shí)時(shí)檢測(cè)
1.下列函數(shù)：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數(shù)的有（填序號(hào)）。
2.y是x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)k是-，則y與x的反比例函數(shù)關(guān)系式是 。
3.已知y=-3xm-7是正比例函數(shù)，則m=_______，若是反比例函數(shù)，則m=_______。
4.若函數(shù)y=（m-3）x是反比例函數(shù)，則m=。
（五）合作交流，數(shù)學(xué)應(yīng)用
師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數(shù)的概念，再來(lái)看看所學(xué)反比例函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用。
【問(wèn)題】要建造一個(gè)面積為260m2的三角形花壇，底邊長(zhǎng)是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此處圖略）
生解答：S=ah=260
ah=520
h=
因?yàn)榉戏幢壤瘮?shù)的一般形式，所以h是a的反比例函數(shù)。
師：很好，所以我們?cè)谂袛鄡蓚€(gè)變量是否是反比例函數(shù)時(shí)，有兩種方法，一是看表達(dá)式，二是看兩個(gè)變量的乘積是否是一個(gè)不為零的常數(shù)。再看看下面題目的兩個(gè)變形。
1.如果花壇是一個(gè)等腰三角形，周長(zhǎng)是300m，底邊長(zhǎng)為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？
2.如果花壇是一個(gè)等邊三角形，周長(zhǎng)C（m）是邊長(zhǎng)a （m）的反比例函數(shù)么？
師：你還能舉出生活中反比例函數(shù)的例子嗎？與同伴交流一下。
（六）反思總結(jié)，共同提高
1.引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出反比例函數(shù)概念的注意點(diǎn)，并注重與生活實(shí)例的結(jié)合。
2.引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)、掌握類比正比例函數(shù)、總結(jié)研究函數(shù)的一般方式，為接下來(lái)的函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
（七）課后探索，知識(shí)遷移
背景知識(shí)講解：杠桿原理
動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂
如圖，阻力為1000N，阻力臂長(zhǎng)為5cm。設(shè)動(dòng)力為y（N），動(dòng)力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計(jì)。杠桿平衡時(shí)：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂）。
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。這個(gè)函數(shù)是反比例函數(shù)嗎?如果是，請(qǐng)說(shuō)出比例系數(shù)；
（2）求當(dāng)x=50時(shí)函數(shù)y的值，并說(shuō)明這個(gè)值的實(shí)際意義；
（3）利用y與x的解析式說(shuō)明當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍時(shí)，所需動(dòng)力將怎樣變化？請(qǐng)學(xué)生猜想一下。
想一想：如果動(dòng)力臂縮小到原來(lái)的1/n時(shí)，動(dòng)力將有怎樣的變化。
【教學(xué)反思】
在整節(jié)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，我通過(guò)多次反復(fù)磨課修改，發(fā)現(xiàn)整節(jié)課的難點(diǎn)在于對(duì)概念的生成，因?yàn)檎n堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，學(xué)生隨時(shí)會(huì)有與施教者預(yù)定設(shè)計(jì)相背離的“意外”出現(xiàn)，因而整節(jié)課如何設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題很重要，施教者有必要引導(dǎo)學(xué)生不背離本節(jié)課的核心。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的起點(diǎn)，本課的設(shè)問(wèn)主要從引導(dǎo)性問(wèn)題、探究性問(wèn)題、鞏固性問(wèn)題著手，力求遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，達(dá)成有效的學(xué)習(xí)目標(biāo)。另外我認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅僅關(guān)注本課的知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)該多了解、多聯(lián)系學(xué)生情況，若能結(jié)合他們已有知識(shí)甚至小學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，或者更多地了解他們進(jìn)入高中以后這部分知識(shí)所占的地位來(lái)備課，或許能對(duì)學(xué)生這門(mén)學(xué)科的生成性學(xué)習(xí)起到一個(gè)很好的推動(dòng)作用。
本課沒(méi)有在題目難度上為難學(xué)生，作為一節(jié)起始課，沒(méi)有必要設(shè)置太難的題目，而是更多地讓學(xué)生打開(kāi)思維，用類比正比例函數(shù)的定義給出一般式的特征等方式來(lái)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，讓學(xué)生能通過(guò)一節(jié)課學(xué)會(huì)某種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)探索的過(guò)程并從中收獲知識(shí)是能增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信的。
關(guān)鍵詞：新課程改革；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；合作學(xué)習(xí)；應(yīng)用研究
初中是義務(wù)教育向高等教育過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期，而對(duì)于數(shù)學(xué)而言，不僅是一門(mén)邏輯科目，還是一門(mén)應(yīng)用性科目，所以在教學(xué)過(guò)程中需要突出“學(xué)以致用”的理念。合作學(xué)習(xí)是由國(guó)外傳入中國(guó)的一種科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，即通過(guò)傳統(tǒng)個(gè)體的摸索學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎w的配合學(xué)習(xí)、探討學(xué)習(xí)以及探索學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)的精神以及凝聚力，同時(shí)善于聽(tīng)取和采用他人的思想，并研究自身的個(gè)性思想，為學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。新課程背景下，合作學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用對(duì)于實(shí)施素質(zhì)教育具有重要的意義。
一、當(dāng)前初中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)開(kāi)展面臨的問(wèn)題
1.學(xué)習(xí)自主性無(wú)法突出
當(dāng)前的義務(wù)教育，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性普遍無(wú)法體現(xiàn)出來(lái)，究其原因，主要是學(xué)生受到長(zhǎng)期應(yīng)試教育思想的影響，對(duì)學(xué)習(xí)已經(jīng)麻木，導(dǎo)致知識(shí)接受是被動(dòng)且古板的，學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高。而對(duì)于合作學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，開(kāi)展的基礎(chǔ)是學(xué)生本身具有主動(dòng)性，至少具有主動(dòng)意識(shí)，所以主動(dòng)性不突出也是目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)合作學(xué)習(xí)開(kāi)展首先需要克服的第一難題。
2.學(xué)習(xí)的目標(biāo)性不明顯
任何學(xué)習(xí)都需要具備一個(gè)明確的目標(biāo)，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不例外，對(duì)于合作學(xué)習(xí)方法下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，學(xué)習(xí)的目標(biāo)存在一定的隱蔽性，特別是不同學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)存在差異性，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)目標(biāo)不夠明顯，對(duì)于整個(gè)小組合作學(xué)習(xí)的效果也造成了不良的影響。很多教師則過(guò)于放任合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自由發(fā)展，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)程成為一個(gè)形式化的過(guò)程，而且學(xué)習(xí)目標(biāo)也十分不明顯，這也是合作學(xué)習(xí)法推行需要克服的主要問(wèn)題。
3.評(píng)估手段缺乏科學(xué)性
教學(xué)評(píng)估是任何教學(xué)活動(dòng)必不可少的內(nèi)容。雖然合作學(xué)習(xí)是一個(gè)探索主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，但是依然需要教師的科學(xué)評(píng)估作為依據(jù)和指導(dǎo)，便于學(xué)生了解學(xué)習(xí)的效果。
二、新課改背景下初中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)的策略
1.轉(zhuǎn)變課堂主體，體現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)
對(duì)于教師而言，要想提升合作學(xué)習(xí)的效果，首先需要讓學(xué)生自身具有主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)，這就需要轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)的主體了。即學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的主導(dǎo)者，教師需要完成學(xué)習(xí)任務(wù)的制定、素材收集以及討論問(wèn)題的匯總。例如，新人教版九年級(jí)教材所涉及的“反比例函數(shù)”的內(nèi)容中，教師選擇一堂課作為合作學(xué)習(xí)，首先教師需要任務(wù)，即像“了解什么是反比例函數(shù)”“反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別是什么”“反比例函數(shù)的圖形性質(zhì)是怎樣的”等等，然后學(xué)生可以在10分鐘時(shí)間內(nèi)完成多人一組的自由分組，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)一段時(shí)間的資料查詢、課本分析及小組討論后，對(duì)于研究任務(wù)進(jìn)行揭曉。又如，對(duì)于反比例函數(shù)的概念，學(xué)生可以通過(guò)書(shū)本很快找到，即兩個(gè)變量相乘是一個(gè)常數(shù)，而這個(gè)常數(shù)不等于0，即可以稱這兩個(gè)變量互為反比例。然后是問(wèn)題“反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別是什么”，學(xué)生可以通過(guò)討論進(jìn)行分析和研究，一些學(xué)生認(rèn)為區(qū)別可以從之前所學(xué)正比和反比的概念去區(qū)分，即假設(shè)一個(gè)變量變大，那么另外一個(gè)變量變大，則可以確定函數(shù)為正比例函數(shù)，而相反，一個(gè)變量變大，而另一個(gè)變量變小，則可以判定函數(shù)為反比例函數(shù)，而有些學(xué)生則通過(guò)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，正比函數(shù)圖象是一條傾斜的直線，而反比例函數(shù)圖象則是兩條不相交的曲線。最后是小組合作探索，小組學(xué)生畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象，使個(gè)別學(xué)生受到啟發(fā)，很快得出結(jié)論：正比例函數(shù)的圖象可以與x軸、y軸有交點(diǎn)，而反比例函數(shù)圖象不行，只能無(wú)限趨近于x軸和y軸，從而完整區(qū)分兩者，而根據(jù)這一顯著的區(qū)別，也能得出反比例函數(shù)的遞增遞減特性。
2.強(qiáng)化引導(dǎo)方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的明確方向
采用合作學(xué)習(xí)方法，要求教師從課堂教學(xué)的主宰者轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)的引導(dǎo)者。這不代表采用合作教學(xué)教師就可以完全放手，而是對(duì)教師的教學(xué)水平提出了更高的要求。學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)主要內(nèi)容缺乏認(rèn)識(shí)，會(huì)讓學(xué)習(xí)過(guò)程缺乏方向性，也存在一定的盲目性，這就需要教師適時(shí)進(jìn)行教學(xué)干涉和引導(dǎo)。以“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)為例，教學(xué)中從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，讓學(xué)生回憶在小學(xué)階段是如何得到“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，并結(jié)合認(rèn)識(shí)實(shí)際，讓學(xué)生在剪一剪、拼一拼的動(dòng)手操作中，再一次由“形”到“數(shù)”感受到上述結(jié)論的形成過(guò)程，利用學(xué)生在度量時(shí)可能得不到“三角形的內(nèi)角和是180°”的現(xiàn)象，引起認(rèn)知的困惑，教師進(jìn)而順勢(shì)引導(dǎo)，讓學(xué)生觀察黑板上所拼的圖形進(jìn)行思考：我們已經(jīng)用拼圖的方法將三個(gè)角放在一起，能否通過(guò)作圖的方法達(dá)到這一目的？給出一定時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行討論交流共同探索，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)作平行線實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。教師在活動(dòng)中巧妙地引入課題，讓學(xué)生經(jīng)歷了定理的“猜想―驗(yàn)證”過(guò)程，又獲得了初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。所以，對(duì)于合作學(xué)習(xí)而言，教師的引導(dǎo)作用是合作學(xué)習(xí)能否取得成功的關(guān)鍵因素。
總之，數(shù)學(xué)本身就是一門(mén)應(yīng)用性較強(qiáng)的科目，運(yùn)用合作學(xué)習(xí)法具有一定的優(yōu)勢(shì)性。同時(shí)，合作學(xué)習(xí)過(guò)程中的自主意識(shí)培養(yǎng)以及思維能力形成都是傳統(tǒng)教學(xué)中無(wú)法比擬的。合作學(xué)習(xí)要達(dá)到良好的教學(xué)效果，需要我們一線教師的不斷努力，課前做足準(zhǔn)備是前提條件，課中的因勢(shì)利導(dǎo)、循循善誘是基礎(chǔ)，課后的不斷總結(jié)與大膽創(chuàng)新是保障。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：函數(shù)；圖像；性質(zhì)；核心；教學(xué)體會(huì)
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）04-076-01
一、初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心地位與概念的核心
函數(shù)是從數(shù)量關(guān)系的角度描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)概念，是從數(shù)學(xué)角度反映千變?nèi)f化的世界的重要模型。
從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，函數(shù)概念的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要里程碑。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要分界是：前者基本上是常量數(shù)學(xué)，而后者則主要是變量數(shù)學(xué)，而變量數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象基本上都是以函數(shù)形式呈現(xiàn)的。
從數(shù)學(xué)教育角度看，函數(shù)無(wú)疑也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心概念。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，數(shù)學(xué)課程中基本是討論靜態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教學(xué)中引入函數(shù)概念，不僅使討論內(nèi)容增加了運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題，而且提供了居高臨下重新認(rèn)識(shí)已學(xué)內(nèi)容的觀點(diǎn)，使得中學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系的得到擴(kuò)大與提升；對(duì)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，使中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更為活躍；函數(shù)圖象是使中學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法的典型范例。
二、對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)知識(shí)的深層次理解
初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)專題包含四部分內(nèi)容.具體如下：
（1）函數(shù)的概念及圖象：函數(shù)的概念，函數(shù)的表示方法，函數(shù)的定義域，函數(shù)的圖象；
（2）一次函數(shù)：一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)與一次方程、不等式，實(shí)際問(wèn)題與一次函數(shù)；
（3）反比例函數(shù)：反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)；
（4）二次函數(shù)：二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與二次方程、不等式，實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)。
函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿著這個(gè)專題的每個(gè)內(nèi)容，是每種函數(shù)都要著重研究的對(duì)象，通過(guò)對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究，可以讓學(xué)生更好的理解函數(shù)的概念，更好的應(yīng)用函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題。
三、學(xué)生常見(jiàn)的問(wèn)題及解決的策略方法
（1）從函數(shù)圖象中獲取信息解決問(wèn)題的困惑
函數(shù)圖象中總是蘊(yùn)含著很多的信息，學(xué)生的困惑是如何把實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)圖象聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生總是不知如何提取重要信息，通過(guò)例題講解，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何在函數(shù)圖象中獲取信息，并通過(guò)圖象中的數(shù)據(jù)來(lái)求解 。在教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法、體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。老師通過(guò)例題的講解，讓學(xué)生體會(huì)何時(shí)需要觀察圖象確定信息，何時(shí)需要使用解析式通過(guò)計(jì)算來(lái)進(jìn)行定量分析。
（2）描述反比例函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用問(wèn)題的困惑
學(xué)生在描述和使用反比例函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候總是容易犯一個(gè)錯(cuò)誤：忘記考慮所在象限.反比例函數(shù)并不是連續(xù)單調(diào)遞增或遞減的，而是具有局部的增減性，因此在描述反比例函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須要強(qiáng)調(diào)在各自象限內(nèi)。關(guān)于使用單調(diào)判斷函數(shù)值的大小時(shí)，更應(yīng)該注意自變量是否同號(hào)或異號(hào)。這一點(diǎn)應(yīng)該讓學(xué)生記住，并且通過(guò)例題讓學(xué)生真正體會(huì)和理解。這些問(wèn)題實(shí)際上是強(qiáng)調(diào)了反比例函數(shù)變化趨勢(shì)的描述；比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，教學(xué)中教師要注意給學(xué)生分析清楚兩個(gè)自變量是否在同一個(gè)增減區(qū)間內(nèi)；交代明白比較大小時(shí)要注意自變量異號(hào)時(shí)應(yīng)使用函數(shù)值的正負(fù)判斷，讓學(xué)生去體會(huì)函數(shù)值同號(hào)時(shí)應(yīng)使用函數(shù)單調(diào)性來(lái)判斷的技巧。
（3）通過(guò)函數(shù)圖象確定解析式中系數(shù)關(guān)系問(wèn)題的困惑
同一類函數(shù)的圖象是類似的，例如一次函數(shù)的圖象都是直線，反比例函數(shù)的圖象都是雙曲線，二次函數(shù)的圖象都是拋物線。但是隨著系數(shù)的變化，圖象的形狀也會(huì)有小幅變化.另外系數(shù)也影響著函數(shù)圖象的形狀和位置。在同一坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)圖象的位置與形狀、如何通過(guò)圖象之間的關(guān)系來(lái)確定系數(shù)的大小關(guān)系是學(xué)生難以解決的問(wèn)題，所以通過(guò)例題可以讓學(xué)生理解。教師在講解這一類問(wèn)題時(shí)，要從不同的角度去思考。
（4）利用函數(shù)圖象分析實(shí)際問(wèn)題的困惑
實(shí)際問(wèn)題、動(dòng)態(tài)幾何等問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)有兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系.要學(xué)會(huì)通過(guò)問(wèn)題確定函數(shù)圖象，有些可以確定解析式，有些不容易確定解析式，但可以通過(guò)變量的變化趨勢(shì)分析得到圖象。已知問(wèn)題中兩個(gè)變量的函數(shù)圖象，判斷實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)條件。所以教師在講解過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生如何從生活實(shí)際中提煉出有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，再用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題 。
四、教學(xué)體會(huì)小結(jié)