發(fā)布時間：2023-06-27 16:02:31
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的三角函數(shù)變換規(guī)律樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
三角函數(shù)的工具性有所減弱，平面向量、導數(shù)的工具性作用替代了三角函數(shù)在原教材中的工具性作用．但三角函數(shù)作為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后的一類重要函數(shù)，重點學習了函數(shù)的奇偶性和周期性，使函數(shù)的概念和性質得以進一步深化．
因此，在高考中把三角函數(shù)作為函數(shù)的一種，突出考查它的圖象與性質，尤其是形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質．對三角公式和三角變形的考查，或與三角函數(shù)的圖象與性質相結合，或直接化簡求值．在化簡求值的問題中，不僅考查考生對相關變換公式掌握的熟練程度，更重要的是以三角變形公式為素材，重點考查相關的數(shù)學思想和方法．
重視基礎知識的教學，把握好習題的難度
近幾年的高考試題降低了對三角恒等變形的要求下，逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，將重點轉移到對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能考查上來，加強了對三角函數(shù)圖象與性質的考查力度．這啟發(fā)我們三角函數(shù)的復習要立足課本、抓好基礎、控制難度．在復習中，應立足基本公式，尋求題目條件與結論之間差異，建立聯(lián)系，以達到消滅差異的目的．“變”為主線．三角變換包括角的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換等，在復習中強化“變”的意識是三角復習的關鍵，但題目不宜太難，特殊技巧的問題堅決不做，2006年三角題只能作為個別現(xiàn)象．建議各位老師在二輪復習中將教材習題進行歸類分析比較，幫助學生進一步熟悉解決三角問題的一般規(guī)律性方法，達到舉一反三的目的.
重視三角函數(shù)問題中四類問題的訓練
（1）應用常規(guī)方法和技巧解決三角式的化簡、求值、證明問題，主要掌握三角函數(shù)的求值問題；
（2）在掌握函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特別是正弦函數(shù)的圖象與性質的基礎上，研究一些三角函數(shù)的性質，解題策略一般都是將所要研究的函數(shù)化歸為只含有一個、一次的三角函數(shù)形式；
（3）三角形中的三角函數(shù)問題；
（4）三角函數(shù)與其它知識交匯融合的問題．
關注2007年新考試大綱的變化
據(jù)說新考試大綱將“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意義”改為“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意義”，體現(xiàn)了與物理等知識的聯(lián)系；新大綱還有如下變化：將“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義”增加為“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，將“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質”由了解變?yōu)槔斫猓?/p>
注意對三角形中問題的復習
由于教材的變動，有關三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等內容提到了高中來學習，加上近年加強數(shù)形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，所以對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，復習中要重視正弦定理、余弦定理在解三角形問題的作用，但挖掘不要太深．
重視三角函數(shù)與其它知識的結合
三角函數(shù)與其它知識，特別是與向量等內容的結合可能成為新的命題熱點，在復習中要加強訓練．
客觀題考點分析
一、知識體系
同角三角函數(shù)關系式、誘導公式、兩角和差的公式、二倍角公式及其綜合應用.
三角恒等變換是三角函數(shù)的基礎，是一種重要的數(shù)學能力，要立足于教材，弄清公式的來龍去脈，同時要注意對公式的正用、逆用以及變形運用的訓練，要在靈、活、巧上下功夫，以增強變換意識.
二、核心解讀
1. 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現(xiàn)為對三角式的化簡、求值與證明. 對所給三角式進行三角恒等變換時，除需使用三角公式外，一般還需運用代數(shù)式的運算法則或公式，如平方差公式、立方差公式等. 對三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，才能在解題時真正達到運用自如，左右逢源的境界.
2. 在運用三角公式進行三角變換時，要從函數(shù)名稱和角的差異兩方面綜合分析，再從差異的分析中決定公式的選取. 一般變換的規(guī)律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.
三、近幾年高考命題特點
1．考查題型以選擇、填空為主，分值約占5%，10%，基本屬于容易題和中檔題.
2．重點考查兩角和與差的三角公式和倍角公式等，其中對倍角公式靈活運用的考查是高考的熱點.
四、2011年高考真題再現(xiàn)
考點1考查同角三角函數(shù)關系
（1）應用同角之間的平方關系、倒數(shù)關系和商數(shù)關系解決三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題；
（2）已知一個角的三角函數(shù)值，求其他角的三角函數(shù)值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數(shù)，然后求值.
例1（2011年全國理科卷）已知∈，，sin= ，則tan2=__________.
評析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .
考點2考查誘導公式
（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函數(shù)值是化簡的主要工具. 使用誘導公式前，要正確分析角的結構特點，然后確定使用的誘導公式；
（2）將不能直接使用誘導公式的角通過適當?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出現(xiàn)時，則要分k為奇數(shù)和偶數(shù)討論）；
（3）誘導公式的應用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了，特殊角能求值則求值；
（4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等.
例2(2011年遼寧理科卷)設sin= ，則sin2=_________.
評析本題考查了二倍角公式等三角函數(shù)知識.
sin2=cos=2sin2 1=2
易錯提醒利用同角三角函數(shù)關系、誘導公式時，容易出現(xiàn)符號錯誤.
考點3考查兩角和、差公式
兩角和、差的三角函數(shù)公式是高考熱點之一，其題型既有小題(選擇題、填空題)，也有大題(靠前的解答題)，主要是容易題和中等題. 重點是考查基本公式的應用和恒等變換思想.
例3(2011年浙江理科卷)若0
評析因為+= ，所以cos =cos=coscos+sin ?sin= == .
技巧點撥解題的關鍵在于把“所求角”表示為“已知角”. ①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”只有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”；③常見的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.
考點4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函數(shù)
若函數(shù)f （x）的解析式通過三角恒等變換可轉化為f （x）=asinx+bcosx+k的形式，則函數(shù)f （x）的解析式可化為f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.
例4（2011年安徽文科卷）設f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 對一切x∈R恒成立. 有以下結論：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f （x）的單調遞增區(qū)間是（k∈Z）；⑤存在經(jīng)過點（a,b）的直線與函數(shù)f （x）的圖像不相交. 以上結論正確的是 _____________(寫出正確結論的編號).
評析先將f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0變形為f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤對一切x∈R恒成立，得a，b之間的關系，然后順次判斷命題真假.
由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤對一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.
①f =2bsin=0，故①正確；
②==2bsin，故②錯誤；
③f （x）≠±f （x），故③正確；
④因為b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④錯誤；
⑤因為a=b>0，要使經(jīng)過點（a,b）的直線與函數(shù)f （x）圖像不相交，則此直線與x軸平行，又f （x）的振幅為2b>b，所以該直線必與f （x）圖像有交點，故⑤錯誤.
答案：①③.
考點5考查二倍角公式
掌握倍角公式和半角公式，運用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值以及恒等式的證明，是高考的熱點.
注意以下幾組常見的公式：
（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；
（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；
（3）用sin,cos表示tan：tan ==.
注：上述三組公式從左到右起到一個擴角降冪的作用，從右到左起到一個縮角升冪的作用.
例5(2011年江蘇卷)已知tan=2，則的值為__________.
評析因為tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因為tan==2，解得tanx= ，所以的值為.
考點6考查綜合應用
三角函數(shù)的化簡求值是常考題型. 它往往出現(xiàn)在小題中，或者是解答題中的一問，其中必然滲透著簡單的三角恒等變換和三角函數(shù)的性質，著重考查三角函數(shù)的基礎知識、基本技能和基本方法.
例6（2011年天津理科卷）設函數(shù)f（x）=tan2x+，設∈，若f =2cos2，求的大小.
評析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）?（cos+sin），又因為sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.
五、2012年高考命題趨勢
1. 考查兩角和差的三角函數(shù)公式，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)，難度不大；
2．考查二倍角公式的運用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；
3．考查三角恒等變換的化簡與求值問題，一般都在大題中進行考查；
4．解答題屬中、高檔題目.對三角恒等變換的考查形式有穩(wěn)重求變、求活和“能力立意”的命題趨勢.
1．已知角的頂點與原點重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=_________.
2．若tan=3，則的值等于_________.
3．已知sin=+cos，且∈，則的值為___________.
舊教材對概念的引入一般都是先給出定義，然后再舉相應的一些例子予以說明。這樣教學邏輯性是強了，但不能照顧到學生的思維能力。而新教材中一些的問題在恰當?shù)牡胤教崃顺鰜?，不但引導教師的?shù)學活動，而且能夠培養(yǎng)學生的問題意識，帶著這些問題學生可以更好的自主學習和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。在這種理念下出版的新教材相對于舊教材在問題設置方面變化較大，問題意識貫穿在整個教材的始終。對于穿插在教材中的“觀察”、“思考”、“探究”、“觀察與猜想”、“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術應用”等拓展性欄目，有效的調節(jié)了數(shù)學課堂學習的氣氛，改變了傳統(tǒng)數(shù)學教材的呆板面目，為新教材增色不少。而且新的課程標準也強調了知識的聯(lián)系性，通過不同數(shù)學內容的聯(lián)系和啟發(fā)，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，學習數(shù)學地思考問題的方式，提高學生學習數(shù)學的思維能力，培養(yǎng)學生的理性精神，教師都可以通過新教材中的一些設計的問題在課堂教學中由學生自主完成，很多有經(jīng)驗的教師都認為課堂上要大膽留給學生自主學習的空間，把學生小組合作學習與學生自主學習有機結合起來，讓每個學生都積極地參與到學習中去，成為課堂上真正的主人。
在高中學生掌握的三角函數(shù)的主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質。在舊教材中三角函數(shù)安排在第一冊（下）第四章即在高一下學期進行學習。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根據(jù)黑龍江省的教學順序，在高一上學期的期中考完試之后進行學習。
現(xiàn)在我從幾個角度去分析三角函數(shù)這部分內容的新舊教材內容編寫及體系設置的差異：
（1）在形式上的對比：
舊教材是36節(jié)課時，新教材是24節(jié)課時。
從教材內容先后順序的調整，更符合學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)課程標準中倡導的螺旋式的教學模式。新教材展示了研究數(shù)學所滲透的多種思想方法，如化歸思想，數(shù)形結合思想，換元思想，分類討論思想。同時在數(shù)學式子和圖形的變化中，讓學生領會分析、探索，類比，平移，伸縮變換等這些常用的基本方法，培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，從而使學生在獲取知識和運用知識的過程中發(fā)展思維能力，提高思維品質，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。
（二）在內容上的對比：
1、新教材引入了計算器計算。
2、任意角三角函數(shù)一節(jié)弱化了正弦線，余弦線，正切線，強調了坐標運算。
3、新教材弱化同角關系式結構，減少了tanα·cotα=1 強調運用與推導。
4、誘導公式加入了正切公式，位置與順序做了調整。
5、新教材將兩角和差的正余弦公式放在“三角函數(shù)圖與性質”之后。
6、新教材將“函數(shù)y=sin(ωχ+φ) 的圖象”一節(jié)放于正切函數(shù)圖象之后。
7、新教材刪去了“已知三角函數(shù)值求角”的內容。
8、新教材增加了“三角函數(shù)模型的應用”的內容。
9、舊教材中只有“三角函數(shù)與歐拉”，“潮汐與港口”兩個閱讀材料。
新教材有三種專題：
閱讀與思考中包括：“三角學與天文學”和“振幅、周期、頻率、相位” 。
探究與發(fā)現(xiàn)中包括：“函數(shù)y=Asin(ωχ+φ) 及函數(shù)y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質”
信息技術應用中包括：“利用正切線畫函數(shù)y=tanχ,x∈(-■,■) 圖象”和“利用信息技術制作三角函數(shù)表”。
10、例題習題中出現(xiàn)了許多高考習題，以及方法與思維較為靈活的綜合習題等。
內容的調整降低了難度，使教師在教學中既注重基礎知識又加強能力的培養(yǎng)，我們在教學中可以依據(jù)教材的特點，教材幾乎每一部分的右側都有“？”，讓學生可以在課上或課下進行積極的研究與討論，教師在備課過程中可以設計問題教學法，引導學生帶著問題進行學生。教學中注重分層教學，輔助以多媒體教學手段，編寫了分層作業(yè)，其中有基礎作業(yè)，能力作業(yè)等。
（三）在教學要求上： 舊教材的具體要求是：
1、使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算。
2、使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式。
3、使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通過公式的推導，了解它們的內在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。
4、使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。
5、使學生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。
6、使學生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。
而新教材的具體要求是：
1、了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與度的互化。
2、借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式的正弦、余弦、正切，能畫出的y=sinx,y=cosx,y=tanx圖象，了解三角函數(shù)的周期性。
3、借助圖象理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在[0,2π] ，正切函數(shù)在(-■,■)上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。
4、理解同角三角函數(shù)的基本關系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.
5、結合具體實例，了解y=Asin(ωχ+φ)的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin(ωχ+φ)的圖象，觀察參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響。
6、會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。
7、經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。
8、能以兩角差的余弦公式導出兩角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系。
9、能運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用聯(lián)系轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的作用。
（四）教學體會及建議
1、重視誘導公式的歸納和作用：因為在其它章節(jié)中只要是與角有關系的問題,例如：解三角形中；直線的傾斜角和斜率；立體幾何中的成角問題等都會涉及到誘導公式的使用。它的作用是將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，從中領會化歸的數(shù)學思想及蘊含的創(chuàng)新意識。
2、三角函數(shù)線作為三角函數(shù)的幾何表示，可適當補充一些三角函數(shù)線的應用，如比較三角函數(shù)值的大小；已知求x, 讓學生增強“數(shù)形結合”的意識，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合的思想方法。也為今后學習有關內容打下基礎。
3、同角公式的應用中，對于已知某任意的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解決這個問題，關鍵在于如何正確運用平方根的概念，正確的進行分類。讓學生自己去體會總結最佳途徑，以免多走彎路。
（一）試題遵循新課程標準、教學要求和考試說明
三年來各知識點、考試要求及試題難度對照：
1.三角、平面向量與復數(shù)考點三年試題對比分析
2.集合與簡易邏輯、函數(shù)與導數(shù)、不等式考點三年試題對比分析
3.數(shù)列考點三年試題對比分析
4.算法、概率與統(tǒng)計三年試題對比分析
5.立幾、解幾考點三年試題對比分析中高檔題 近三年，考查呈現(xiàn)以下一些特點：
1. 8個C級要求每年全部考查。其中， 直線方程、兩角和與差的三角函數(shù)為中檔題，圓的方程為中高檔題，等差數(shù)列、等比數(shù)列一般為難題，一元二次不等式、基本不等式難易不定。
2. 幾乎每年必考的知識點：集合、復數(shù)、算法、概率、統(tǒng)計且為容易題，因此，對其要重視但不要挖深。
3. B級要求考查較多，如函數(shù)的奇偶性與單調性，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，常見分式函數(shù)、無理函數(shù)的值域與最值；導數(shù)的運算及其幾何意義；同角三角函數(shù)關系、誘導公式、 三角函數(shù)的圖象及其變換，三角函數(shù)的性質（值域與最值、單調性、奇偶性與周期性等），正弦定理與余弦定理，解三角形；空間點、線、面位置關系的判定，空間幾何體的表面積與體積，點面距離；橢圓、雙曲線及拋物線的簡單幾何性質等。
（二）突出數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查
三年試題均突出對數(shù)學基礎知識和基本技能的考查，08年試題較貼近教學實際，數(shù)學基礎題的比例較大。
09年試題小題過于簡單，單個知識點的題過多， 小題區(qū)分度欠佳。10年小題前7題難度尚可，但后面的小題過于綜合，大題小題化傾向較明顯。
（三）10年試題值得注意的幾個問題
1.運算量的加大是一種導向
前兩年試題的運算量較少，新課改后的學生的探究能力，思維的發(fā)散能力，思維的批判性及數(shù)學合作交流能力明顯有了改觀，學生的運算能力直線下降，估計會加大運算量的考查。
2.關于課程標準、教學要求、教材的關系問題，考試說明的作用問題
10年試題中出現(xiàn)了一些與課標、教學要求不太完全吻合的試題。教師宜根據(jù)學生特點和教學要求，作適當?shù)耐诰?、延伸?/p>
二、2011年高考數(shù)學復習的應對策略
（一）要加大填空題的訓練力度
第一輪復習和二輪復習都要加強填空題的針對訓練，增加一些多個知識點綜合的小題訓練，提高答題的正確率；對于C級要求的知識點要務必重視。
（二）2011年對下列知識點要給以關注
1.三角函數(shù)的周期性；2.冪函數(shù)、函數(shù)與方程；3.誘導公式；4.三角函數(shù)的圖象與變換；5.線性規(guī)劃；6.復數(shù)的幾何意義；7.四種命題；8.全稱量詞與否定量詞；9.統(tǒng)計（抽樣方法、平均數(shù)與方差）；10.充要條件；11.空間幾何體的表面積與體積（尤其是組合體）；12.直線的斜率與傾斜角；13.直線平行與垂直的判定；14.橢圓標準方程和簡單的幾何性質(離心率、準線等) ；15.拋物線的標準方程和簡單的幾何性質；16.幾何概型；17.立體幾何中空間線、面的位置關系的判定。
（三）重視教材，夯實基礎
要特別重視教材中的典型例習題的挖掘和提煉。（四）回歸通法，練好技能
強調通性通法的熟練掌握和應用，通過適量的練習，總結出一般解題規(guī)律。
【關鍵詞】職高數(shù)學；多媒體技術；三角函數(shù)；數(shù)學教學
數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門綜合學科，學生在學習數(shù)學并運用數(shù)學解決問題時，會不斷進行直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、歸納概括、運算求解、數(shù)據(jù)處理、結果建構等一系列思維過程，但也因其高度抽象的概念、簡潔的教學語言、嚴密的邏輯體系、深刻的數(shù)學方式使大部分學生難以學好數(shù)學.對于職高生來說，他們的文化基礎薄弱，教師們的教法更是各顯神通.多媒體技術在教育領域的引入，為傳統(tǒng)的職高數(shù)學教學注入了新活力，教師們利用多媒體課件進行教學，通過文字、圖形、動畫等多樣化方式，把數(shù)學規(guī)律和運用過程等形式直觀地展示給學生，還可以引導學生自己動手操作.通過這樣多種感官刺激，學生的學習興趣被瞬間燃起，產生強烈的求知欲，積極主動地參與到數(shù)學學習過程中去.
三角函數(shù)內涵豐富、外延廣泛，是數(shù)學教學中重要的一部分，學好這一章對學生在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用.筆者運用多媒體技術對此章節(jié)進行教學實踐，給學生創(chuàng)造出一個全新的課堂教學，收到了預期的效果.因此，多媒體技術在數(shù)學教學中的作用是顯而易見的，主要體現(xiàn)在：
一、多媒體導入新課，創(chuàng)設學習情境，激發(fā)學生興趣
心理學研究表明，人類獲取信息83%來自視覺，11%來自聽覺，1.5%來自觸覺.那么在課程的起始階段有效導入新課，迅速吸引學生眼球、集中學生注意力，把學生思緒帶進課程內容是教師上好一節(jié)課的重要基礎.教師們要棄掉在課堂上滔滔不絕“填鴨式”的教學方式，應充分利用多媒體大容量、多趣味、圖文聲并茂等特點設計好每一節(jié)的新課導入教案，為學生創(chuàng)設出趣味性的學習情境，才能調動學生的感官器官參與，讓學生能有身臨其境、在最佳的狀態(tài)下學習新知識.
筆者所在職高的任教班級文化基礎較差，學生水平參差不齊，數(shù)學成績更是不忍睹視，學生學習數(shù)學的主動性嚴重缺乏，很多學生甚至有厭學情緒.因此筆者在導入三角函數(shù)這一章的新知識學習時，首先得設計出較為簡單的案例學習，讓學生產生對三角函數(shù)學習興趣.
在學習《任意角的三角函數(shù)》一章時，考慮本章節(jié)多為定義講述會讓學生產生厭學情緒，如果筆者在進行新知識學習時，通過多媒體向同學播放小明和家人到游樂場玩摩天輪的視頻，精彩而又刺激，這視頻紛紛引來已經(jīng)乘坐過摩天輪的同學熱烈討論和未乘坐過同學的好奇心，于是，筆者說道：“同學們，今天我們就要進行一次數(shù)學摩天輪之旅，請同學帶著問題再細看一次視頻，然后進行回答好嗎？”同學們絲毫沒有感覺到這是枯燥的數(shù)學題，興致勃勃地說，“好”.
問題如下：如圖所示（圖略）：摩天輪的半徑為15 m，中心點O離地面為25 m，現(xiàn)在小明已在摩天輪，5秒后小明會從點P以每秒1度的速度逆時針轉動，請問35秒后小明將會離地面多高？
許多學生有著摩天輪親身的體驗，對問題解決的自信心會自然提高.摩天輪的轉動與角的終邊轉動表現(xiàn)相同，轉輪的周期性與角的任意性也基本一致.所以通過呈現(xiàn)與學生生活貼近的問題情境，自然而然地吸引學生注意從而進入本節(jié)的課題――任意角的三角函數(shù)
顯然，這樣的多媒體情境導入數(shù)學新課更容易被學生所接受，并極大限度地把學生的注意力轉移到學習中來，重燃學生學習數(shù)學的興趣.對于學業(yè)水平偏低的職高學生來說，復雜問題以學生喜聞樂見的情境方式加以簡單化，會讓學生對數(shù)學改觀，覺得數(shù)學通俗易懂，從而慢慢消除對數(shù)學學習的抵觸和恐懼心理.
二、多媒體講授知識，突出學習重點，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
如上文所講，數(shù)學是一門極具抽象概念的學科，大部分的知識都要結合圖像獲得.相當一大部分的學生由于無法獲得相對實質的概念理解，往往只知數(shù)據(jù)表面而不知規(guī)律結論的形成過程，再加上傳統(tǒng)的教學手段對重難點知識的教學存在一定程度的局限性，所以學生對數(shù)學的后續(xù)學習會產生困難，對重點難點知識更加難以掌握.因此，教師在枯燥無味的數(shù)學課堂上要善于利用多媒體技術，用圖文并茂的課件再加上適當?shù)穆曇舾膶W生的無意注意為有意注意，讓學生清楚地看到事物的變化，以靜化動，以抽象化具體，以模糊化直觀，以無趣化生動，充分調動學生的各個感官系統(tǒng)進行數(shù)學學習，擴大學生的認知空間，減少學生自我想象的困難，更好地進行重點難點教學，為提高課堂教學提供有效途徑.
正所謂“數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微”，在《正弦函數(shù)圖像》這節(jié)課中，教會學生用五點法畫出正弦函數(shù)簡圖是本節(jié)課的重點和難點，筆者便運用多媒體技術，形象、直觀地把正弦函數(shù)一個周期內的兩個端點、最高點、最低點及中點這五個點的位置和坐標明顯標注，再用動態(tài)、顏色鮮艷曲線將這五個點連接起來，在電腦上把一個正弦函數(shù)一個周期內的圖像畫出來了，讓同學們清楚明白的看到整個操作過程.
在熟練掌握函數(shù)圖像的基礎上，筆者組織學生在電腦室進行y=Asin（ωx+φ）+b的函數(shù)圖像變化的內容教學，利用電腦直觀地觀察此函數(shù)變量A，w，φ，b，對函數(shù)圖像的影響.筆者在對學生進行基本的知識回顧后，指導學生運用幾何畫板軟件在電腦上先進行以下函數(shù)的圖像操作：
幾何畫板有著強大轉換動能，只要學生輸入對應的幾個數(shù)據(jù)，就能得到相應的三角函數(shù)值；隨著鼠標拖動改變A、w、φ的值，正弦函數(shù)就會發(fā)生相應的變化.學生通過動手操作，與小組討論，并通過調整A、w、φ的大小來觀察圖像變化，便能容易自行得出這些變量對圖像的影響，總結出圖像變化規(guī)律.
在此過程中，學生的學習積極性極高，表現(xiàn)出很強的求知欲，例如在研究綜合性問題y=sin3x+π2的圖像變換時便產生了分歧：
甲同學認為做法應該如下：先將y=sinx的圖像向左移動π2個單位，得到y(tǒng)=sinx+π2，保持圖像上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的13倍，就可以得到y(tǒng)=sin3x+π2.
乙同學卻認為應該這樣變換：先把圖像上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的13倍，得到y(tǒng)=sin3x，再向左平移π2個單位得到y(tǒng)=sin3x+π2.
課堂立刻熱鬧起來，同學們議論紛紛，各抒己見.于是筆者建議同學們把以上問題在幾何畫板上檢驗一下，看看哪種答案是成立的.最后同學們得出結論：兩種變換方法都是可以的.筆者便再一次確定同學的結論，說到：振幅變化與周期變換和相位變化是沒有聯(lián)系的，相位的變化主要是根據(jù)周期來確定.
本節(jié)課內容較為抽象，如果采用傳統(tǒng)的教師在黑板上手工繪圖展示不僅耗時工作量大，在周期和相位的變化讓學生得不到清晰直觀的演示，效果教學極差.利用幾何畫板的直觀形象、動態(tài)演示進行教學，不僅彌補了職高學生作圖能力差的劣勢，更提供了讓學生自己動手操作、作圖觀察的機會，充分發(fā)揮學生的學習主體地位，讓學生在實踐中接受知識，應用知識.
三、多媒體鞏固練習，增多教學信息，提高教學效果
德國心理學家H.EbbingHaus提出的遺忘規(guī)律告訴我們，遺忘是在學習之后立即開始的，在學習完后的24小時內遺忘的最多最快，所以，防止學習后便遺忘的最好辦法就是課后練習.這要求教師所布置的課后作業(yè)要緊扣教學目標、能夠突出教學內容的重點難點，而不是隨便在教材課后練習或者練習冊上勾畫幾題敷衍了事.運用多媒體布置課后練習，可多樣化設計出相對應的鞏固練習，不僅省去了板書的時間，而且可以給學生提高大量的信息和練習內容.
針對職高學生的特點，教材的練習題筆者一般都是作為輔的練習材料，學生自主選擇做與不做的空間比較大，因為筆者一般自行設計出練習題并用多媒體呈現(xiàn)給學生.
例如，數(shù)控專業(yè)的同學們在學習完三角函數(shù)圖像變換后，筆者利用多媒體給學生展示了
正弦交流電的波形演示實驗，讓學生明白交流電是如何產生的，以及正弦交流電的物理量與三角函數(shù)變量值的相似關系.視頻中發(fā)電機的轉子在轉動，接在電路中的小燈泡一亮一滅的非常有規(guī)律，筆者引導學生注意觀察交流表指針的偏轉情況，觀察電流強度隨著時間做周期性變化的情況是否符合三角函數(shù)的特征.
于是，筆者便將作業(yè)布置為如下：請通過各種途徑查找如上述演示的類似三角函數(shù)在日常生活中的應用例子，并將具體的操作情況分享給大家.一周后同學們將結果一一呈現(xiàn)給大家，成果挺豐富，如：鐘擺的運動、沙漏演示、波的傳播等等.這些例子都與函數(shù)表達式有關，學生在練習的過程中進一步鞏固了知識，更強化了數(shù)學模型在生活中的應用能力，為他們在專業(yè)課的學習奠定了堅實的基礎.
結語：實踐證明，不管是三角函數(shù)還是其他知識的教學，職高數(shù)學教學確實需要借助多媒體技術的優(yōu)勢進行新方式教學，多媒體技術的幾何直觀性和數(shù)形整合性給數(shù)學這門嚴謹?shù)膶W科注入新活力也是毋庸置疑的.運用多媒體技術不僅能為學生創(chuàng)設出具富啟發(fā)性的學習情境，能有效地激發(fā)學生領悟數(shù)學思維和信息處理能力，更讓學生由“聽、講”被動的學習方式改變?yōu)榉e極參與、觀察實驗、主動思考，系統(tǒng)地構建自我知識體系，為自身知識、能力、素質等方面的提高奠定了良好的基礎.但是，多媒體技術與數(shù)學課程內容的整合還有很大的改正空間，在以后的教學中筆者將繼續(xù)努力學習，積極探索，尋找、開發(fā)出更好的與多媒體結合的數(shù)學教學方式.
【參考文獻】
[1]龔運勤，唐振球.架起數(shù)學史成為提高中學生數(shù)學學業(yè)成績的橋梁[J].數(shù)學教育學報.2011（06）.
[2]汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學教學設計：以橢圓為例[J].數(shù)學教育學報.2011（05）.
例1 （2014年湖北省荊州高考數(shù)學模擬試卷）集合A={-1，0，1}，B={y|y= cos x，x∈A}，則A∩B=
A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1}
難度系數(shù) 0.75
錯解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={y|-1≤y≤1}，A∩B={-1，0，1}.選D.
錯因 涉及含有三角函數(shù)問題的集合的表示方法以及兩個集合的交集的定義與求法問題，關鍵是結合題目條件確定相關的集合后再加以運算.以上錯解沒有充分考慮集合B中函數(shù)值y=cos x中的自變量x的取值限制，直接結合余弦函數(shù)得到-1≤y≤1，而實際上這里x∈A，求出B={cos 1，1}是解題的關鍵.
正解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={cos 1，1}，A∩B={1}.選B.
小結 涉及三角函數(shù)值的應用問題，同學們一定要注意三角函數(shù)中對應自變量x的取值范圍的限制條件，不能盲目直接利用三角函數(shù)的圖像與性質來求解，要充分考慮題目條件或隱含條件中對相應角的取值限制.
易錯點2：誘導公式顯身手，題目條件需挖掘
例2 （2014年甘肅省高考數(shù)學一模試卷）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，且在區(qū)間（2 013，2 014）上單調遞增.已知α、β是銳角三角形的兩個內角，則f（sin α）、 f（cos β）的大小關系是
A. f（sin α）< f（cos β） B. f（sin α）> f（cos β）
C. f（sin α）= f（cos β） D.以上情況均有可能
難度系數(shù) 0.55
錯解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的周期為2的周期函數(shù).
又偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（2 013，2 014）上單調遞增，所以其在區(qū)間（-1，0）上單調遞增.根據(jù)偶函數(shù)的性質，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減.
由于α、β是銳角三角形的兩個內角，所以sin α與cos β的大小無法確定.選D.
錯因 涉及三角函數(shù)值大小比較的問題，同學們要注意結合函數(shù)在相應區(qū)間內的單調性，并結合自變量的大小關系來加以正確判斷.以上錯解對于α、β是銳角三角形的兩個內角的條件沒有充分挖掘，直接得出sin α與cos β的大小無法確定，進而導致錯誤判斷.實際上，結合條件，sin α與cos β的大小是可以判斷的.
正解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的周期為2的周期函數(shù).
又偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（2 013，2 014）上單調遞增，所以其在區(qū)間（-1，0）上單調遞增.根據(jù)偶函數(shù)的性質，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減.
由于α、β是銳角三角形的兩個內角，所以α+β> ，即 >α> -β>0.所以1>sin α>sin（ -β）>0，即1>sin α>cos β>0.所以有 f（sin α）< f（cos β）.選A.
小結 涉及三角形中的三角函數(shù)值問題，同學們一定要注意對題目條件的挖掘，結合三角形的性質以及三角函數(shù)的對應公式來分析與求解.解答本題的關鍵是由α、β是銳角三角形的兩個內角，得到α+β > ，通過不等式的轉化與應用，結合正弦函數(shù)的圖像與性質以及誘導公式來綜合解答.
易錯點3：三角函數(shù)有界性，考慮問題要慎重
例3 （2014年江蘇省蘇州市高三第一次調研卷）設a，b均為大于1的自然數(shù)，函數(shù)f（x）= a（b+sin x），g（x）=b+cos x，若存在實數(shù)m，使得f（m）=g（m），則a+b=______.
難度系數(shù) 0.40
錯解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，則有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ .顯然，當a=2時，b2≤5，此時b=1或b=2，故a+b=3或a+b=4.
錯因 涉及三角函數(shù)中的輔助角公式的應用問題，往往通過轉化并結合三角函數(shù)的有界性來綜合與應用.以上錯解對三角關系式加以正確轉化，但在考慮參數(shù)a，b的值時，沒有充分利用條件中a，b均為大于1的自然數(shù)這個條件，同時結合相應的不等式加以科學推理與分析.
正解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，則有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ = = + +1=2（ + ）2+ .
由于a，b均為大于1的自然數(shù)，所以b2∈（1，5]，則b2=4，即b=2.
由2（a-1）≤ 展開并整理有3a2-8a+3≤0，解得 ≤a≤ ，滿足大于1的自然數(shù)a只能是a=2，即a+b=4.
小結 涉及三角函數(shù)的有界性問題，關鍵是對條件進行限制與應用.本題通過三角函數(shù)的輔助角公式，利用三角函數(shù)的有界性，推出a，b的關系，同時a，b均為大于1的自然數(shù)，結合不等式的性質、二次函數(shù)的圖像與性質、不等式的求解等來討論a，b的范圍，從而求出a，b的值.
易錯點4：圖像平移與變換，方向單位齊注意
例4 （2014年高考浙江文科卷）為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖像，可以將函數(shù)y= ?cos 3x的圖像
A.向右平移 個單位 B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位 D.向左平移 個單位
難度系數(shù) 0.68
錯解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ），則可以將函數(shù)y= cos 3x的圖像向右平移 個單位，即可得到y(tǒng)= cos（3x- ）的圖像.選B.
錯因 涉及三角函數(shù)圖像的平移與變換問題，同學們要注意結合三角函數(shù)平移前后對應的同名三角函數(shù)關系式中自變量與因變式對應的變化.以上錯解對自變量x的考慮不到位.
正解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ）= cos 3（x- ），可將函數(shù)y= cos 3x的圖像向右平移 個單位，即可得到y(tǒng) = cos 3（x- ）的圖像.選A.
小結 三角函數(shù)的圖像平移時，平移方向遵照規(guī)律“左加右減，上加下減”執(zhí)行，即：①將三角函數(shù)y= f（x）的圖像向x軸負（或正）方向平移φ（φ>0）個單位，則將y= f（x）中的x用x+φ（或x-φ）代換，所得新的三角函數(shù)圖像的函數(shù)解析式為y= f（x+φ）[或y=f（x-φ）]；②將y= f（x）的圖像向y軸正（或負）方向平移m（m>0）個單位，則將y= f（x）中的f（x）用f（x）+m[或f（x）-m]代換，所得新的三角函數(shù)圖像的函數(shù)解析式為y = f（x）+m[或y= f（x）-m]，然后進行整理即可.
一、 掌握作圖
作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點法”，二是“變換法”．
“五點法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法．用“五點法”作圖時，一定周期、二定起點、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點．
“變換法”在實際作圖時并不太方便，但它能幫助我們認清函
數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內在聯(lián)系，應用很廣泛．常用的變換規(guī)律是：
y=sinx
沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ
縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω（周期變換）
y=sin(ωx+φ)
橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（振幅變換）
y=Asin(ωx+φ)
例1試用五點法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．
解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位，得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2（縱坐標不變），得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標不變），得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象．
二、 學會識圖
這里的識圖是指由給出的圖象，能寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進一步地，能夠認識和研究這個函數(shù)的有關性質．
由所給圖象寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，關鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標）．另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入，借助待定系數(shù)法求解．
例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=
2π16=π8．
又圖象起點的橫坐標x0=-2，
所以φ=-ωx0=-π8?(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．
其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區(qū)間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區(qū)間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．
三、體驗用圖
“用圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，學會運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關的數(shù)學問題和實際問題，可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高．
例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長時間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象．
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)
y=Asinωt+B的表達式；
(2)一般情況下，船舶行時船底同海底
的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船
的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，
那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該
船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港所需的時間）？
【關鍵詞】初等數(shù)學；代數(shù)；變形；解題；技巧
在數(shù)學的學習中，解題的過程能讓學習數(shù)學變得更加生動精彩，通過數(shù)學解題，可以使學生獲得數(shù)學知識和進一步生活所必需的基礎知識和基本技能.近年來，在初等數(shù)學的考試中題目越來越靈活，特別是在中考，高考等選拔性考試中，不僅注重學生對基礎知識的掌握，而且越來越重視學生對知識的靈活運用，在解題時對有些題目采取正確的解題技巧，作出適當?shù)淖冃?，可以使解題過程充滿趣味同時提高解題效率.
一、一元二次方程的變形技巧
在一元二次方程的求解過程中或者是在解可化為一元二次方程的分式方程時，常常會通過適當?shù)氖角蟮姆匠痰慕?變形使問題簡化.
二、三角函數(shù)化簡的變形技巧
三角函數(shù)的化簡就是對三角函數(shù)的恒等變形，使之成為最簡形式.而化簡的最重要策略就是進行三角恒等變形，三角函數(shù)式的恒等變形中包含的公式多，涉及的知識面廣，題型變化大，若探索不出解題規(guī)律，就會無從下手.克服方法有：（1）要能靈活的運用公式，熟記三角公式，深刻領會公式的實質，弄清公式的來龍去脈，不但會順用公式，而且能逆用公式，掌握公式的各種變形情況及派生公式，還要明確各類公式的主要作用；（2）要能掌握三角變換的基本規(guī)律，如化復為單，化不同角為同角，化異名為同名，化高次為低次，化多項為單項等；（3）要注意代數(shù)式恒等變形法則的作用，如乘法公式、因式分解、分式運算、根式運算、配方等.
三、代數(shù)中的變形技巧
代數(shù)學習在中學數(shù)學學習中及其重要，在代數(shù)學習中，掌握好變形技巧能夠使我們更好的明確解題方向，簡化問題.代數(shù)中常見的變形有對數(shù)變形，指數(shù)變形等等.
1.指數(shù)的變形技巧
2.對數(shù)的變形技巧
