發(fā)布時間：2023-03-22 17:36:46
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的概率統(tǒng)計論文樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
歷史發(fā)生原理認(rèn)為個體的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程與人類的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程具有相似性．概率統(tǒng)計教學(xué)可以從概率統(tǒng)計的發(fā)展史中尋求指導(dǎo)，從而借鑒歷史經(jīng)驗，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，加速學(xué)生對概率知識和理論的接受過程．概率是一般教材中的基本概念，其處理方式遵循這樣的主線：概率是事件發(fā)生可能性大小的度量—頻率的穩(wěn)定值—古典概率—幾何概率—公理化定義．概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的一種度量，這一直觀概念已被普遍認(rèn)可．但這只是概率的功能性解釋，并不是它的數(shù)學(xué)定義．概率的解釋與定義是在爭議中發(fā)展的．客觀概率學(xué)派認(rèn)為任一事件發(fā)生的概率是其客觀屬性；相反，主觀學(xué)派則認(rèn)為概率是人的主觀判斷．客觀概率學(xué)派以拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中所提出的概率古典定義為代表，即事件的概率等于有利事件的結(jié)果數(shù)與所有可能的結(jié)果數(shù)之比．然而，這種定義討論的范疇有明顯的局限性，只適用于隨機試驗所有可能結(jié)果為有限等可能的情形；而且，對于同一事件，從不同的等可能性角度考慮可算出不同的概率，從而會產(chǎn)生悖論．此外，對于概率的概念又有頻率學(xué)派、貝葉斯學(xué)派、信念學(xué)派的不同認(rèn)識和觀點．其中頻率學(xué)派的觀點是大多數(shù)現(xiàn)行教材所接受的，即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率穩(wěn)定于概率又需要在概率的意義下來刻畫．歷史上著名的貝特朗悖論使人們對“何為概率”的困惑放大到了極致，這個問題解決不了，當(dāng)時所有研究成果就不能整合，概率理論成了不體系，也無法形成一個獨立的學(xué)科．而要解決這個問題，就要給出概率的嚴(yán)格定義，將概率論公理化，并在此基礎(chǔ)上推演概率的理論體系．公理化是19世紀(jì)末以來數(shù)學(xué)的各個分支中廣泛流傳的一股潮流——將一些假定作為無需證明的公理，其它結(jié)論則由公理演繹推出．在這種背景下，1933年俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在測度論的基礎(chǔ)上綜合了前人的研究結(jié)果提出了概率的公理化定義．概率的公理化定義被廣泛地接受使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對近幾十年來概率論的迅速發(fā)展起到了積極的作用．教學(xué)中，教師必須了解并熟悉概率這一概念的發(fā)展歷史，對概念有清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識．在教學(xué)時穿插這些內(nèi)容，不僅可以使學(xué)生清晰準(zhǔn)確地把握概念，還可以增強學(xué)生對概率統(tǒng)計的感性認(rèn)識，從而加深對概念的理性認(rèn)識，優(yōu)化知識接受的銜接過程，體會一個學(xué)科知識體系建立的嚴(yán)謹(jǐn)性、辯證性和復(fù)雜性，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)展其創(chuàng)新意識，培養(yǎng)其睿智和實事求是的人格．
2還原知識的歷史進程，降低新知識的抽象性
現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材普遍都是按照知識的內(nèi)在邏輯進行編排，很少按照數(shù)學(xué)問題的研究進程進行著作．這樣的安排在邏輯結(jié)構(gòu)上是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但卻忽略了數(shù)學(xué)問題研究的歷史痕跡．教師在教學(xué)過程中，應(yīng)盡量地還原知識的歷史進程，降低新知識的抽象性．正態(tài)分布是概率論中最重要的一種連續(xù)型分布，它屬于概率論的研究領(lǐng)域，但也是解決統(tǒng)計學(xué)問題的基石，它的提出具有深刻的理論背景和極其廣泛的應(yīng)用價值．在教學(xué)中對正態(tài)分布的學(xué)習(xí)，通常是直接給出概率密度或分布函數(shù)，將其稱為正態(tài)分布．但這會讓學(xué)生感覺接受生硬，理解抽象，記憶困難．理論背景上，正態(tài)分布產(chǎn)生于棣莫弗的p0.5的二項分布極限研究，后來拉普拉斯對p0.5的情況做了更多的分析，并把二項分布的正態(tài)近似推廣到了任意p的情況．二項分布的極限分布形式被推導(dǎo)出來，由此產(chǎn)生了正態(tài)密度函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)果稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理．經(jīng)拉普拉斯等學(xué)者的研究，20世紀(jì)30年代獨立變量和的中心極限定理的一般形式最終完成．此后研究發(fā)現(xiàn)，一系列的重要統(tǒng)計量在樣本量n時，其極限分布都具有正態(tài)形式．?dāng)?shù)學(xué)家進而合理地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量或者統(tǒng)計量都近似服從正態(tài)分布，可以說這是概率統(tǒng)計中具有里程碑意義的發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)理統(tǒng)計教材中一般是先認(rèn)識正態(tài)分布，中心極限定理則在此之后學(xué)習(xí)．在學(xué)習(xí)正態(tài)分布的定義之前，教師可以設(shè)計一些具有明顯正態(tài)性現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，而后進行描述性統(tǒng)計分析，給出頻率直方圖，并解釋這種具有兩頭小、中間大的分布現(xiàn)象是普遍的，也是常態(tài)的．對概率論中常見分布的知識背景的了解和掌握，有助于教師在課程設(shè)計和講授過程中注意課程內(nèi)容的銜接和承上啟下的相互關(guān)系．借助數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問題的進程史實，可降低新知識的抽象性，使學(xué)生易于接受和掌握，并提高應(yīng)用的靈活性．
3注重統(tǒng)計思想，引導(dǎo)靈活應(yīng)用
“概率統(tǒng)計”是一門具有實踐性與理論性的重要學(xué)科，在不斷發(fā)展的過程中已經(jīng)成為數(shù)學(xué)科目不可或缺的組成部分，并且對此起到重要的作用。在根據(jù)課程的相關(guān)特點中，利用現(xiàn)代科學(xué)進行審視與組織，從而使數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計中融入新鮮元素，在教學(xué)內(nèi)容上引入有趣的應(yīng)用題目，并且要對科學(xué)方法以及相關(guān)技術(shù)、概率統(tǒng)計知識進行聯(lián)系。學(xué)生在運用“概率統(tǒng)計”知識的基礎(chǔ)上們能夠建立數(shù)學(xué)模式，對“概率統(tǒng)計”的知識也會產(chǎn)生興趣愛好。除此之外，還能促進學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的改變，變被動為主動，從根本上提高學(xué)習(xí)效率。將數(shù)學(xué)建模的思想積極融入到數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計之中，能夠在不打破傳統(tǒng)知識的同時，應(yīng)用案例進行解決。通常情況下，學(xué)習(xí)通過對案例的學(xué)習(xí)，能夠親自體驗在使用概率統(tǒng)計知識進行數(shù)學(xué)建模的整個過程，從而加深對概率統(tǒng)計知識的認(rèn)知與理解，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)習(xí)慣。從另一個角度而言，學(xué)生在努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概率知識的同時，能夠真正做到“學(xué)以致用”，由于數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計是一門重要且復(fù)雜的課程，在不影響到教學(xué)大綱的情況下利用多種手段進行教學(xué)，可以增強學(xué)生數(shù)學(xué)建模的基本能力，從根本上體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。
二、教學(xué)方法得以改進，促進開放式學(xué)習(xí)方式的形成
（一）改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，探索新型教育方式通過實踐證明，傳統(tǒng)的教學(xué)模式與方式無法適應(yīng)社會的需要，不能滿足現(xiàn)代化的教學(xué)要求，因此無法在傳統(tǒng)教育模式中取得滿意的教學(xué)效果。通過將數(shù)學(xué)建模融入到數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計之中，可以在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中融入新鮮元素，并且結(jié)合相關(guān)案例，采用啟發(fā)式教學(xué)模式進行教學(xué)，實現(xiàn)由淺入深、由難到易，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計的基本概念以及相關(guān)方法，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，從根本上加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計知識與建模思想的認(rèn)識與理解。
（二）改變傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式，建立開放型學(xué)習(xí)形式在數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)內(nèi)容上，認(rèn)可教師不可以按照傳統(tǒng)的教學(xué)模式作為基本模式，不能按照教科書進行照本宣科。眾所周知，數(shù)學(xué)建模是沒有固定模式的，在進行數(shù)學(xué)建模時，要積極利用各種方式、各種技巧，因此，教師在對學(xué)生傳授相關(guān)知識的同時，要積極引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)，如何正確的使用建模技巧，并且要讓學(xué)生對問題發(fā)生的背景以及過程進行探索，從根本上提高學(xué)生的自主創(chuàng)新能力。除此之外，在對習(xí)題進行處理時，學(xué)生也不能局限于比較充分的問題上，要不斷引用條件不充分的問題進行研究，并且要自己動手對材料、信息，對數(shù)據(jù)進行分析，建模，并且還要對較為抽象的問題進行具體化，從而增強自身對學(xué)習(xí)的興趣與能力。此外，教師要不斷開展討論課，讓學(xué)生積極發(fā)表自己的建議，對問題的見解進行回答，加強與同學(xué)之間的交流與學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生在開放型學(xué)習(xí)環(huán)境中不斷成長。
三、改善教材中的理論學(xué)習(xí)，加強實踐學(xué)習(xí)
在學(xué)生的實踐活動之中，為了能夠使學(xué)生對知識有所了解，那么教材僬僥設(shè)計有關(guān)學(xué)生訓(xùn)練的習(xí)題。一般而言，數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計中的教材在教學(xué)內(nèi)容的處理上過于理論化，對習(xí)題的次序與搭配卻不符合學(xué)生的基本特點，甚至有部分教材在設(shè)計的習(xí)題中難度過高，從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到困難，對數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計與數(shù)學(xué)建模失去興趣。從實際角度而言，數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計作為數(shù)學(xué)教材，習(xí)題是非常重要的，大量的習(xí)題可以鍛煉學(xué)習(xí)的邏輯性與思維型，因此，在對數(shù)學(xué)教材進行編寫時要按照由淺入深的基本原則，對練習(xí)題進行分門別類的編寫，從而滿足不同層次與不同對象的基本需求。在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計習(xí)題之中，還需增加比較有趣、與生活有關(guān)的系統(tǒng)，并且該類習(xí)題要對數(shù)學(xué)建模的思想進行體現(xiàn)。與此同時，在教材中還應(yīng)該添加應(yīng)用性強的概率案件與統(tǒng)計案件，比如像數(shù)據(jù)的統(tǒng)計、數(shù)據(jù)的擬合等，讓學(xué)生能夠?qū)W會數(shù)學(xué)建模，在豐富學(xué)生課余知識的同時，也在一定程度上提高了學(xué)生的應(yīng)用能力。
四、結(jié)語
關(guān)鍵詞:概率統(tǒng)計；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)
數(shù)學(xué)建模主要是借助調(diào)查、數(shù)據(jù)收集、假設(shè)提出，簡化抽象等一系列流程構(gòu)建的反映實際問題數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，將數(shù)學(xué)建模思想融入到概率統(tǒng)計教學(xué)中，不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解與掌握理論知識，同時對于提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力大有裨益?？梢哉f，概率統(tǒng)計教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想的融入具有重要的理論以及現(xiàn)實意義。
1.教學(xué)內(nèi)容實例的側(cè)重
在大學(xué)數(shù)學(xué)教育體系中最為重要的一個目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生建模、解模的能力，但是在傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學(xué)中，教師大多注重學(xué)生的計算能力訓(xùn)練以及數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，而常常忽視利用已學(xué)知識進行實際問題的解決，使得大多數(shù)學(xué)生的應(yīng)用能力無法得到提高。所以，為了能夠在教學(xué)中提高學(xué)生應(yīng)用概率與統(tǒng)計的實際能力，教師應(yīng)在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計中吸收與融入與實際問題息息相關(guān)的題目，使學(xué)生在課堂中不僅能夠輕松學(xué)習(xí)概率知識，增加學(xué)習(xí)主動性，同時能夠嘗試到數(shù)學(xué)建模的樂趣，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，在古典型概率問題的教學(xué)中，為了加深學(xué)生對于該部分知識的理解，教師可以引入彩票概率的實際問題，通過引導(dǎo)學(xué)生分析各等獎的中獎概率，使學(xué)生獲得極高的建模、解模能力。
2.在教學(xué)方法中融入數(shù)學(xué)建模思想
在概率統(tǒng)計教學(xué)中，教師還需要在教學(xué)方法中融入數(shù)學(xué)建模思想。首先，采取啟發(fā)式教學(xué)方法。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)知識開展認(rèn)識活動，在問題發(fā)現(xiàn)、分析、解決的一系列鍛煉中獲得概率統(tǒng)計知識的自覺領(lǐng)悟。其次，采取講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法。在課堂中，講授是最為基本的教學(xué)方式，不過單一的講授很可能導(dǎo)致課堂的枯燥，所以課堂中還需要適當(dāng)穿插一些討論，使學(xué)生在活躍的氛圍中激活思維，延伸知識面。再次，采取案例分析的教學(xué)方法。案例分析是在概率統(tǒng)計教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的一種有效方法。在教學(xué)中應(yīng)用的案例應(yīng)進行精選，其不僅需要具有典型性，同時還需要具備一定的新穎性以及針對性，通過縮短實際應(yīng)用與數(shù)學(xué)方法間的距離，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣被大大激發(fā)。最后，采取現(xiàn)代教育技術(shù)的教學(xué)方法。在概率統(tǒng)計的問題中常常需要較大的數(shù)據(jù)處理運算量，所以為了簡化問題，使學(xué)生掌握一定的統(tǒng)計軟件具有重要意義。通過結(jié)合具體的概率統(tǒng)計案例，在學(xué)生面前演示統(tǒng)計軟件中的基本功能，為提高學(xué)生掌握統(tǒng)計方法以及實際操作能力奠定堅實基礎(chǔ)。知識的獲取并不是單純的認(rèn)識過程，其更應(yīng)偏向于創(chuàng)造，在不斷強調(diào)知識發(fā)現(xiàn)的過程中幫助學(xué)生認(rèn)識科學(xué)本質(zhì)、掌握學(xué)習(xí)方法。
3.在概率統(tǒng)計教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的案例分析
一個完整的數(shù)學(xué)思維必須經(jīng)過問題數(shù)學(xué)化以及數(shù)學(xué)化問題求解兩個方面，只有讓學(xué)生體驗以及掌握到一般的數(shù)學(xué)思維方法，才能使其真正擁有利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。而具體分析在概率統(tǒng)計教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的案例，能夠為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，開拓學(xué)生眼界奠定堅實基礎(chǔ)。很多概率的實際問題中均存在著隨機現(xiàn)象，其可以視作許多獨立因素影響的綜合結(jié)果，近似服從于正態(tài)分布。例如，某高校擁有5000名學(xué)生，由于每天晚上打開水的人較多，所以開水房經(jīng)常出現(xiàn)排長隊的現(xiàn)象，試問應(yīng)增加多少個水龍頭才能解決該種現(xiàn)象？對于該問題的解決，教師首先應(yīng)組織學(xué)生對開水房現(xiàn)有的水龍頭個數(shù)進行統(tǒng)計，然后調(diào)查每一個學(xué)生在晚上需要有多長時間才能占用一個水龍頭，最后引導(dǎo)學(xué)生分析每一個學(xué)生使用水龍頭這一情況是否是相互獨立的，通過聯(lián)想中心極限定理以及考慮每個人具有占用水龍頭以及不占用水龍頭兩種情況，得到每人占用水龍頭的概率為0.01。所以，每名學(xué)生是否占用水龍頭能夠被視作一次獨立試驗，其能夠看作是一個n=5000的伯努利試驗，假設(shè)占用水龍頭的學(xué)生個數(shù)為X，那么其滿足X～B(5000,0.1)，通過借助中心極限定，使得該問題被快速解決。
論文關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)，模擬實驗，求概率
縱觀新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率章節(jié)，筆者始終感覺用鍵盤問題做數(shù)學(xué)模擬實驗的教學(xué)載體，學(xué)生探究熱情低調(diào)，究其原因主要是缺乏農(nóng)村學(xué)生數(shù)學(xué)生活化的體驗。通過幾年嘗試教學(xué)與改進，我們發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)模擬實驗求概率的設(shè)計與應(yīng)用可從以下角度思考和探索。
一、初中數(shù)學(xué)模擬實驗設(shè)計原則。
1、生活性。試驗內(nèi)容要貼近學(xué)生生活,有利于學(xué)生經(jīng)驗思考與探索，內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，生活化、情景化與知識化的關(guān)系．課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次化和多樣化，以滿足學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需要．[1]
2、廣泛性。避免以點代面，全盤考慮初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，分點試驗。讓抽樣結(jié)果盡可能反映是按研究對象的共性特征。
3、隨意性。每次實驗方案的實施不提前預(yù)設(shè)，圍繞方案任意活動，并直接獲得需要的數(shù)據(jù)。
4、活動性。有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一，學(xué)生是數(shù)學(xué)活動的主體，教師是數(shù)學(xué)活動的組織者與引導(dǎo)者，通過活動“致力于改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去”，才能還學(xué)習(xí)真正動機――因活動而快樂，因快樂而學(xué)習(xí)．[2]
二、初中數(shù)學(xué)模擬實驗的適用條件。
由于隨機事件的結(jié)果具有不可預(yù)測性，往往解決相關(guān)實際問題難以從根本上把握。分清初中數(shù)學(xué)模擬實驗的適用條件，是進行有效設(shè)計和準(zhǔn)確應(yīng)用的關(guān)鍵畢業(yè)論文格式范文期刊網(wǎng)。
通過對模擬實驗相關(guān)事件的綜合分析，以及與列舉法求概率相關(guān)事件的對比，我們不難發(fā)現(xiàn)模擬實驗求事件的概率適用條件包括每次實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或每次實驗的各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等。[3]
三、初中數(shù)學(xué)模擬實驗的設(shè)計程序[4]與過程
1、確定設(shè)計方案（如投飛鏢、做記號、數(shù)數(shù)量、拋硬幣、擲骰子、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤、等）。
2、擬定統(tǒng)計欄目（總數(shù)、頻數(shù)、頻率）。
3、統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù), 計算頻率與數(shù)據(jù)規(guī)律分析。
在做大量重復(fù)試驗時，可事先根據(jù)概率要達到的精確度確定數(shù)據(jù)表中頻率保留的數(shù)位。計算頻率一般保留兩位或三位小數(shù)。
關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計；數(shù)學(xué)軟件；Maple
中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）31-0083-02
一、傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學(xué)中的問題
（一）重概率輕統(tǒng)計
我國概率統(tǒng)計教學(xué)中普遍存在“重概率輕統(tǒng)計”的問題，具體表現(xiàn)為：（1）大多數(shù)工科院校概率統(tǒng)計課程只能講授到參數(shù)估計中的點估計部分。因為學(xué)時較少，統(tǒng)計推斷中重要的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗只能作為自學(xué)內(nèi)容。（2）大部分教師對于概率部分內(nèi)容非常熟練，但是統(tǒng)計部分內(nèi)容較為生疏。
造成這種現(xiàn)象的原因主要有以下幾點：（1）公共基礎(chǔ)課概率統(tǒng)計學(xué)時一般較少，例如安徽理工大學(xué)概率統(tǒng)計課一般為48學(xué)時；（2）統(tǒng)計推斷部分內(nèi)容，實用性很強，計算量也比較大，動輒數(shù)百個數(shù)據(jù)。因此，如果不借助軟件僅靠人工計算確實難度很大。（3）考研概率部分的試題一般不考統(tǒng)計部分內(nèi)容。
（二）重理論輕應(yīng)用
概率統(tǒng)計特別是統(tǒng)計推斷部分的內(nèi)容有著很強的應(yīng)用背景，例如：近些年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽的賽題，幾乎都涉及到統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容。對已給數(shù)據(jù)進行初步的檢驗、分析比較、分類篩選、總結(jié)回歸等，這些都是評閱要點中明確指出的重要得分點。由于教學(xué)中沒有涉及統(tǒng)計推斷部分的內(nèi)容，造成很多參賽學(xué)生只能臨場邊學(xué)邊做，十分被動。
由于長期輕視統(tǒng)計應(yīng)用的教學(xué)，造成很多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在畢業(yè)設(shè)計時選題范圍十分狹小，很難寫出高水平的畢業(yè)論文。
（三）重解題技巧，輕視對學(xué)生動手能力的培養(yǎng)
長期以來概率統(tǒng)計相關(guān)習(xí)題主要以手工計算為主，因此過分強調(diào)解題技巧。例如，古典概型的題型中需要很多排列組合的技巧、計算一些連續(xù)型變量的函數(shù)型分布和函數(shù)型數(shù)字特征時需要用到很多積分技巧等。但是很多實際的問題，例如以統(tǒng)計推斷為背景的題型，往往更加強調(diào)學(xué)生的動手能力。包括對大數(shù)據(jù)的處理能力（分析數(shù)據(jù)、標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)等），以及借助常用軟件計算一些常用統(tǒng)計量的值等。由于平時疏于這方面的教學(xué)，很多學(xué)生遇到一些簡單的實際問題往往束手無策。
二、多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的優(yōu)點
引入多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的優(yōu)點主要體現(xiàn)在以下方面。
1.概率統(tǒng)計總課時有限，不可能系統(tǒng)地學(xué)習(xí)某一特定的統(tǒng)計軟件。針對不同問題的特點，選擇最為有效、最簡單的數(shù)學(xué)軟件來解決。這樣可以節(jié)約大量的時間，增加效率。本文在第四部分會結(jié)合實例進一步說明。
2.通過多種軟件的使用，可以最大程度地擴展學(xué)生的知識面，使學(xué)生學(xué)到在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中無法獲取的實用知識。
三、多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的具體措施
具體如何來改善傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學(xué)，提高教學(xué)效率和學(xué)生的實際動手能力？各學(xué)?？梢愿鶕?jù)具體實際情況結(jié)和自身條件因地適宜地選擇不同的措施。下面給出一些建設(shè)性的意見。
1.開設(shè)概率統(tǒng)計教學(xué)實驗課。概率統(tǒng)計總課時并不多，課堂時間在專門介紹應(yīng)用以及各種軟件的使用確實時間不夠。因此，可以在原有的課時基礎(chǔ)上專門增加3～4次實驗課，結(jié)合各種軟件討論和解決概率統(tǒng)計別是統(tǒng)計部分內(nèi)容。
2.錄制教學(xué)視頻或者直接收集相關(guān)資料。因為各學(xué)校的課時都比較緊張，如果無法開設(shè)單獨的實驗課可以錄制視頻，或者直接給學(xué)生提供相關(guān)的資料。最好能夠建立相關(guān)的監(jiān)察機制，這樣可以更好地引導(dǎo)和督促學(xué)生自主學(xué)習(xí)。
3.開展相關(guān)的畢業(yè)設(shè)計和畢業(yè)論文。在高年級學(xué)生中的畢業(yè)設(shè)計和畢業(yè)論文選題中有針對性地加入一些統(tǒng)計類型的課題。
4.利用數(shù)學(xué)建模平臺建立跨學(xué)科交流平臺。每年一次的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽給各學(xué)科提供了一個重要合作契機。統(tǒng)計學(xué)在數(shù)學(xué)建模中有著舉足輕重的作用，幾乎每年都會有與數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)檢驗和分析等相關(guān)的題目?？梢园褮v年來有關(guān)概率統(tǒng)計內(nèi)容的題目在學(xué)生中進行推廣，也能提高學(xué)生的概率統(tǒng)計實際應(yīng)用能力。
五、結(jié)束語
通過本文第四部分可以看出，很多概率統(tǒng)計的問題如果借助數(shù)學(xué)軟件來解決可以省去很多煩瑣的計算過程，有利于解決更加復(fù)雜的實際問題。如果能夠在平時教學(xué)中加入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實驗課，學(xué)習(xí)相關(guān)軟件的使用，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而且還可以一舉解決傳統(tǒng)教學(xué)中的諸多問題。
參考文獻：
[1]唐國強.Excel在概率計算中的應(yīng)用[J].安陽大學(xué)學(xué)報，2003，3（1）：55-57.
[2]李曉毅，徐兆棣.概率統(tǒng)計教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想的融入[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報，2008，26（2）：245-247.
[3]韋程東，唐君蘭，陳志強.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實踐[J].高教論壇，2008，（2）：98-100.
[4]阿榮.Maple在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用[J].中央民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，2（21）：67-71.
一 引言
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是定量研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已廣泛引用于農(nóng)業(yè)院校各專業(yè)的科學(xué)研究中。目前中國的農(nóng)業(yè)院校都開設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計，雖然課程概念比較抽象，計算繁雜，學(xué)起來較困難，但這是應(yīng)用性最強的大學(xué)數(shù)學(xué)課程之一。不過近年來，伴隨著高校課程改革，高等農(nóng)林院校本科生教學(xué)計劃中概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)學(xué)時不斷減少，所以必須對此課程的教學(xué)方式和方法進行改革。
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模本文由收集整理競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。隨著競賽的推廣，數(shù)學(xué)建模被越來越多的教師與學(xué)生所熟悉。所謂數(shù)學(xué)模型，是指現(xiàn)實世界中的實際問題用數(shù)學(xué)語言表達出來，即建立數(shù)學(xué)模型，然后求解，以此解決現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用過程。將數(shù)學(xué)建模運用于數(shù)學(xué)教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力、聯(lián)想能力、數(shù)學(xué)語言翻譯能力、綜合應(yīng)用分析能力和創(chuàng)新能力，此教學(xué)模式的運用切合新時代培養(yǎng)通專并用，全面發(fā)展的高素質(zhì)人才的需要。筆者認(rèn)為，在當(dāng)前的概率論和數(shù)理統(tǒng)計課程中可適當(dāng)增加數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也是本論文的切入點。
二 農(nóng)業(yè)院校概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中存在的問題
1.中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的脫節(jié)
中學(xué)課改后的畢業(yè)生開始進入大學(xué)，課程改革中對數(shù)學(xué)課程的知識范圍和要求改動了很多，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)過部分概率論的知識，但中學(xué)時學(xué)習(xí)概率的思維方式與大學(xué)數(shù)學(xué)不同，很多學(xué)生依舊用中學(xué)的學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計，造成了他們學(xué)習(xí)上產(chǎn)生挫敗感。
2.教師的教育觀念缺乏與時俱進
大部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師并沒有意識到中學(xué)課程改革對這門課程和學(xué)生們的影響，依舊按照傳統(tǒng)教學(xué)方式講授，注重定理、推論、證明、計算，而新一代的大學(xué)生很難快速適應(yīng)新的學(xué)習(xí)方式，所以增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。
3.教學(xué)內(nèi)容缺乏應(yīng)用性
概率論和數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)過于強調(diào)基本理論，缺乏對農(nóng)業(yè)科學(xué)的交叉性應(yīng)用研究。農(nóng)科專業(yè)的學(xué)生普遍感覺學(xué)數(shù)學(xué)對將來的生活工作沒有用處，所以導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的動力和興趣，只是為了通過考試而學(xué)習(xí)。
4.考核方式過于死板
多年來，概率論和數(shù)理統(tǒng)計的考核方式始終一成不變，偏重于期末的閉卷考試，試卷主要考查計算和一些固定模式的應(yīng)用題型，導(dǎo)致學(xué)生死記硬背、應(yīng)付考試，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新興趣。
三 建模思想在概率論和數(shù)理統(tǒng)計課程上的應(yīng)用
針對以上問題，建議改革教學(xué)方式，通過引入數(shù)學(xué)建模思想激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。
1.改變教學(xué)內(nèi)容，增加應(yīng)用型教學(xué)的引入
首先，提倡教師了解中學(xué)課改中影響概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容，充分利用學(xué)生已學(xué)過的概率論知識，避免重復(fù)教學(xué)，但要強調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)不同的思考方式。在教學(xué)內(nèi)容中吸收和融入與實際農(nóng)業(yè)科學(xué)研究問題有關(guān)的應(yīng)用性題目。歷年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目中不乏農(nóng)科專業(yè)相關(guān)的題目，如“作物生長的施肥效果問題”（1992年a題）、“dna序列的分類問題”（2000年a題）、“葡萄酒的評價”（2012年a題）等。這些題目都與現(xiàn)實農(nóng)業(yè)生產(chǎn)生活密切相關(guān)，在解決這些問題過程中能很好地鍛煉學(xué)生自主地、能動地認(rèn)識、理解問題的能力。
但是，如果直接把數(shù)學(xué)建模的題引入日常教學(xué)中，將面臨下列問題：（1）數(shù)學(xué)建模競賽的題目一般是涉及面很廣，需要很多專業(yè)知識和良好的數(shù)學(xué)功底，而農(nóng)科院校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，在沒經(jīng)過培訓(xùn)的情況下解決競賽題目困難較大；（2）要較好地解決建模題目需要大量的時間，這在課時有限的概率論與統(tǒng)計課程中不可能實現(xiàn)。
上述兩個問題的解決思路：（1）如果直接運用競賽原題，可以把重點放在（1）（2）兩個比較簡單的問題上，刪除題目中與這兩個問題沒有關(guān)系的條件，或簡化題目背景以適應(yīng)課堂教學(xué)；（2）引入一些數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)小題目，這些題目類似于課后習(xí)題，但實用性更強，甚至可以留作課后作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，學(xué)生共同完成。
2.改變教學(xué)方法，引入相關(guān)教學(xué)統(tǒng)計軟件
教學(xué)方法方面，重心不能一味地放在定理、證明、計算上，應(yīng)拋棄“滿堂灌”的教學(xué)方法，采用啟發(fā)、歸納的教學(xué)模式，通過建模思想的引入，使學(xué)生由淺入深、由直觀到抽象地認(rèn)識概率論和數(shù)理統(tǒng)計在實踐中的應(yīng)用，真正掌握數(shù)學(xué)概念和方法，并從中獲得學(xué)習(xí)上的樂趣。
數(shù)學(xué)實驗課在農(nóng)業(yè)院校中開展的相對較少，大多以選修課的形式出現(xiàn)，筆者建議在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中安排1～2次實驗課，講授統(tǒng)計軟件的應(yīng)用。隨著近代計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，軟件技術(shù)日益成熟，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中很多計算問題都可以借助于軟件操作。農(nóng)科高校的學(xué)生普遍計算能力不強，尤其是建模例子中的數(shù)據(jù)樣本量比較大，計算過程復(fù)雜，學(xué)生手算起來比較困難。現(xiàn)有的統(tǒng)計軟件，如sas、spss等世界通用的軟件，可以解決較大數(shù)據(jù)量的概率與統(tǒng)計方面的題目，如數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析等問題，而且一般的菜單操作就可以解決這類問題。學(xué)生學(xué)習(xí)一些簡單的軟件應(yīng)用，可以增強他們的應(yīng)用意識和動手解決實際問題的能力，反過來促使學(xué)生主動學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論知識。
3.改變學(xué)習(xí)觀念，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
建模思路的引入，能有效改變大學(xué)生的“數(shù)學(xué)無用論”。作為教師，我們應(yīng)根據(jù)課程的主要知識點，與相關(guān)專業(yè)教師加強交流合作，搜集整理大量的農(nóng)科專業(yè)問題，并用建模的方法進行解決。當(dāng)然，課程的教學(xué)不一定都需要完整地解決一類問題，只要題目背景來自農(nóng)科專業(yè)或采用農(nóng)科數(shù)據(jù)，就能在很大程度上調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓他們知道將來的學(xué)習(xí)和生活中確實能用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識。
4.改變考核方式和方法
概率論和數(shù)理統(tǒng)計是一門實用性較強的學(xué)科，特別是數(shù)理統(tǒng)計方面的題目，若采用傳統(tǒng)的閱卷考核方式考查，只會導(dǎo)致學(xué)生用死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)等方法應(yīng)付考試，導(dǎo)致學(xué)生被動學(xué)習(xí)，缺乏學(xué)習(xí)的興趣。
針對這種現(xiàn)象，筆者認(rèn)為應(yīng)讓學(xué)生在實際中學(xué)習(xí)，并將所學(xué)歸還于實際。因此老師平時布置作業(yè)時應(yīng)布置一些實踐題型，讓學(xué)生自己學(xué)會去思考。關(guān)于考核形式的改革，為了達到“以教為導(dǎo)，以學(xué)為主，自主解決”的教學(xué)目的，在期末檢測時，應(yīng)采用期末考試（50分）+論文（30分）+平時成績（20分）的考核方法，其中課程論文要求學(xué)生自己找問題，建立模型，利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決問題。這樣既考查了學(xué)生對理論的掌握程度，又能將理論應(yīng)用于實際中，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加重視知識的綜合運用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。筆者曾在教學(xué)班級中做過類似的嘗試，即鼓勵學(xué)生將建模的思想用到課程學(xué)習(xí)中，獲得了明顯的效果。
論文摘要: 測度論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，在概率統(tǒng)計、隨機過程、微分方程、微分幾何中有廣泛應(yīng)用。測度理論是實變函數(shù)論的基礎(chǔ)。集類知識與單調(diào)類定理是測度論中的基礎(chǔ)，特別是單調(diào)類定理.這個定理是一個很要緊的定理.在后面證明測度唯一性定理，乘積測度存在定理等重要的定理中有涉及。在嚴(yán)加安老師的《測度論講義》上這個定理有兩個版本，目前該書是對單調(diào)類方法應(yīng)用的最多的。有一些看起來很難的問題，也許用這個定理會相當(dāng)簡單.將定義在一個λ族上的概率測度延拓為包含該λ族的一個σ上的概率測度，在許多重要場合，特別是在經(jīng)濟學(xué)中有著十分重要的意義.關(guān)于這種延拓的存在性、唯一性等，給測度論提出了一系列新的理論課題，本文試圖對λ族上概率測度的延拓問題作一些初步探討.
族性質(zhì)的引申：設(shè)為上的一族非負(fù)有界函數(shù)，我們用表示非負(fù)有界 可測函數(shù)全體，則下列二斷言等價：
第二步：令 2=
2
（*）
則（a） 2
（b） 2是 族 （證法與上面（a）（b）類似略）
從而 2且 2 2
則
F是 類從而F使 代數(shù)
第四步：對有限個的下端運算封閉：
Proof：不妨設(shè) （ 中元素均非負(fù)有界）
故
往證：（a） （b）
Proof：（a）依第二步，
第五步：要證從而
由
為可測，對
第六步：往證
【論文摘要】“統(tǒng)計與概率”出現(xiàn)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中屬于首次。對如何培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的概率統(tǒng)計的教學(xué)能力，本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，提出四方面探索，即：引入數(shù)學(xué)史，激發(fā)興趣；注重隨機觀念的培養(yǎng)；淡化計算，強化概型理解；聯(lián)系日常生活應(yīng)用。
“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的學(xué)科，它的理論與方法在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。在新一輪基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程改革中概率統(tǒng)計又受到特別重視，并在新課標(biāo)中占據(jù)重要位置，在課程內(nèi)容設(shè)計上，將概率與統(tǒng)計作為四個模塊之一。作為小學(xué)師資的培養(yǎng)基地，為小學(xué)教育本科生開設(shè)概率統(tǒng)計課程就顯得尤為重要。結(jié)合小學(xué)概率統(tǒng)計的內(nèi)容要求，我們對該課程的教學(xué)進行了以下幾方面的改革與探索。
一、 引入概率史料，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣
同其它學(xué)科的發(fā)展一樣，概率論的發(fā)展有其自身不斷發(fā)展和完善的歷史，以及為此做出巨大貢獻的眾多數(shù)學(xué)家的趣聞、軼事和智慧的思想，這些歷史不僅反映了概率論的主要內(nèi)容，也介紹了概率的一般規(guī)律和思想方法。
例如，帕斯卡和費馬對梅雷提出的擲骰子及賭資分配問題的研究史實，就引起學(xué)生對概率問題的極大興趣。而將諸多數(shù)學(xué)家所做的拋硬幣試驗的歷史引入課堂，有助于學(xué)生了解統(tǒng)計定義產(chǎn)生的過程、條件，加深對統(tǒng)計定義的理解。
二、 注重隨機觀念的培養(yǎng)，真正把握概率的思想實質(zhì)
概率研究的對象是隨機現(xiàn)象，它是偶然的，但又有一定的規(guī)律，偶然中蘊含著必然；它總是通過對事件外顯的數(shù)據(jù)研究，達到對事件本質(zhì)的把握。概率并不提供確定無誤的結(jié)論，這是由隨機現(xiàn)象的本質(zhì)所造成的。
例如，天氣預(yù)報明天下雨的概率是10%，后天下雨的概率為90%，但實際上卻有可能明天下雨而后天沒有下雨。這并不是預(yù)報不準(zhǔn)，而是我們對概率的理解有問題，我們不能在試驗之前預(yù)知試驗的確切結(jié)果，只能知道每個結(jié)果的概率，這有什么意義呢?事實上，如果天氣預(yù)報“明天下雨的概率是90%”，那么明天你“帶雨具出門”與“不帶雨具出門”相比，“帶雨具出門”是更明智的選擇，盡管明天根本沒有下雨。
隨機性和確定性一樣，也是一種科學(xué)方法。許多現(xiàn)象，都要從隨機的角度探索。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式，幫助學(xué)生應(yīng)該建立隨機觀念。
三、強化基本概型的理解，提高學(xué)習(xí)效率
教學(xué)中最為關(guān)鍵的是講清模型，淡化復(fù)雜計算，讓學(xué)生在遇到問題時，知道該如何選擇模型，然后運算求解。在古典概型中，很多問題所涉及的模型在本質(zhì)上是一樣的，比如抽簽、抽獎及抓鬮等問題都是同一個概率模型。我們可以講清楚一個模型，再給出一些相關(guān)的題目，讓學(xué)生通過思索自己去發(fā)現(xiàn)這些題目在本質(zhì)上是一樣的，從而從本質(zhì)上理解這一模型。
例如隨機投球模型，假設(shè)把n個球隨機投入到m只盒子中，如果盒子可放球數(shù)不限，顯然有mn種等可能結(jié)果，如果每只盒子只能放一球，顯然有個結(jié)果（m≥n）。很多問題都屬于這一模型，如r個人從29層高樓的電梯中走出的所有可能結(jié)果，相當(dāng)于把r個球投入29只盒子，共有29r個可能結(jié)果。又例如求50個人生日都不相同的概率，仔細(xì)分析50個人的生日所有可能的分布情況，相當(dāng)于把50個球投入365(閏年為366)只盒子，每只盒子投球數(shù)不限，即有36550種投法。由此得到50個人的生日都不同的概率為≈0.03。當(dāng)然，這一實例貼近生活，能激發(fā)學(xué)生應(yīng)用概率的興趣，也鞏固了隨機投球模型的理解。
四、聯(lián)系日常生活、其它學(xué)科間的聯(lián)系，加強應(yīng)用意識
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是建立在現(xiàn)實生活的基礎(chǔ)上的一門應(yīng)用性很強的學(xué)科。布置一些靈活的緊密聯(lián)系實際的題目，讓學(xué)生利用概率統(tǒng)計方法解決相應(yīng)的問題，體味生活中的數(shù)學(xué)，這可以使學(xué)生得以深刻理解隨機性、統(tǒng)計的本質(zhì)和原貌。
例如關(guān)于抓鬮公平性問題，有5個人抓鬮，僅有一個有物的鬮，問先抓后抓是否一樣公平，我們就可以利用概率的乘法公式，分別計算每一個人抓到有物鬮的概率，發(fā)現(xiàn)都是，由此知道先抓后抓一樣公平。
又如，利用學(xué)生都有在計算機房上網(wǎng)的經(jīng)歷，會碰到網(wǎng)速非常慢的情況，是為什么呢？而局域網(wǎng)絡(luò)的最大吞吐量問題，就是運用概率的思想和方法分析解決。引入這樣一些實際問題，讓學(xué)生自己分析解決問題，比較鍛煉學(xué)生的能力。
在為小學(xué)教育本科生開設(shè)概率統(tǒng)計課程中，筆者在教學(xué)中進行了這四個方面的探索，經(jīng)過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生隨機思維，應(yīng)用概率統(tǒng)計方法提出問題、解決問題的能力都有明顯提高，為其今后的教學(xué)工作做了有益的準(zhǔn)備。
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001．
[2]鄧華玲等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的改革與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，2(1)．
[3]徐清振，侯傳志.傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學(xué)的反思及其研究式教學(xué)初探[J].高教論壇，2007，6(3)．
[4]陸麗萍.小學(xué)數(shù)學(xué)“概率”教學(xué)的尷尬及歸因探尋[J].江蘇教育，2008（4）：30.
