發(fā)布時(shí)間：2023-06-30 16:06:56
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學(xué)研究的問(wèn)題樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
1995年高考數(shù)學(xué)命題中引入數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這一舉動(dòng)影響著全國(guó)的基礎(chǔ)教育，尤其是高中數(shù)學(xué)教學(xué). 處在教學(xué)第一線的數(shù)學(xué)教師開(kāi)始參與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編制與教學(xué)研究. 下面與同行談?wù)勎乙脖痪碓谄渲械慕?jīng)歷，以期共同探討研究.
（一）第一階段――課堂內(nèi)外引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐，教學(xué)之余編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題
1995～1999年，由于數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的需要，在數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題編制與研究開(kāi)始在全國(guó)各地興起. 許多中學(xué)數(shù)學(xué)雜志在此領(lǐng)域大量發(fā)表文章，尤其是《數(shù)學(xué)通訊》雜志集中報(bào)道數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的研究成果. 但是，在中學(xué)數(shù)學(xué)第一線，教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)意識(shí)都不強(qiáng)，教師數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的知識(shí)儲(chǔ)備也不足，再加上學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐知識(shí)欠缺，閱讀理解力的薄弱，面對(duì)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生的應(yīng)試心理一般處于恐懼或放棄狀態(tài).
1.編制適合中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，研究中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題
此時(shí)我開(kāi)始潛心思考，從現(xiàn)實(shí)生活中尋找信息與資料，編制具有活生生現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，并發(fā)表在《數(shù)學(xué)通訊》等雜志上，還將編寫(xiě)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類(lèi)匯集，編著《用數(shù)學(xué)眼光看世界》一書(shū). 如下面例題，在當(dāng)時(shí)起到較好的引導(dǎo)作用.
例1 為了提供更加優(yōu)質(zhì)的教育，增加大學(xué)生就業(yè)崗位，某地區(qū)準(zhǔn)備逐步實(shí)現(xiàn)小班化教育，將學(xué)生人均教室面積由1 m2提升至x（m2），x≤2，調(diào)整教師人均辦公室面積為
y=f（x）=4， 1≤x
ax+b，1.5≤x≤2.
如圖1，
①確定a，b的值及函數(shù)f（x）值域；
②實(shí)行小班化，對(duì)教室改造投資中，投資額P（萬(wàn)元）與x之間的關(guān)系是P=exf（x），探求教室改造投資的最大值；
③對(duì)辦公室進(jìn)行改造的投資中，投資額Q（萬(wàn)元）與y之間的關(guān)系是Q=5y3-3cy2+180，c為正常數(shù)，探求辦公室改造投資的最小值及相應(yīng)c的范圍.
2.利用周末時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)始數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐和實(shí)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)
數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)不僅可以通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)，還突出地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐中. 在周末組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐活動(dòng)，如利用簡(jiǎn)易工具測(cè)量鑒湖明珠電視塔高度以及與觀測(cè)點(diǎn)距離問(wèn)題. 學(xué)生不僅創(chuàng)造性實(shí)踐（多種測(cè)量方式），而且撰寫(xiě)了2000字左右的實(shí)習(xí)報(bào)告，將實(shí)習(xí)過(guò)程、測(cè)量方法、測(cè)量所使用的數(shù)學(xué)原理、測(cè)量后所建立的數(shù)學(xué)模型，一一總結(jié)記錄，并寫(xiě)下自己的實(shí)踐感想.
（二）第二階段――數(shù)學(xué)教學(xué)加大數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)力度，探究數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育功能
進(jìn)入新世紀(jì)，新的課程改革措施出臺(tái)，在以培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力為總目標(biāo)形勢(shì)下，中學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)有所加強(qiáng). 高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題分值不斷增大，數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題更加貼近學(xué)生的生活實(shí)際和認(rèn)知水平. 學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)開(kāi)始充滿自信，各地高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的成績(jī)不斷提高. 在這一階段全國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)雜志上有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的文章層出不窮，為各地中學(xué)教師開(kāi)展數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)提供素材.
1.數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教育功能開(kāi)發(fā)
數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的目的是提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力.開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育功能除了它對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深入理解外，讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)個(gè)“活”的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，體會(huì)問(wèn)題背后所隱含的環(huán)境保護(hù)、再生資源利用、愛(ài)心感恩、資源利用最優(yōu)化等.
2.開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題講座，普及中學(xué)數(shù)學(xué)建模方法
為了普及中學(xué)數(shù)學(xué)建模思想方法，除了課堂上的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)之外，利用課外活動(dòng)或研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)間開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題講座，使數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)形成一個(gè)完整的體系，給中學(xué)生一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題全貌.
3.挖掘課堂教學(xué)案例，提升中學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)遇到一些不可多得的智慧火花，開(kāi)發(fā)它，會(huì)引發(fā)無(wú)限的創(chuàng)造力.
例2 利用正方體框圖，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)面數(shù)大于6的多面體.畫(huà)出你設(shè)計(jì)的多面體的直觀圖，數(shù)一數(shù)它們有多少棱、多少個(gè)面、多少個(gè)頂點(diǎn).
這個(gè)開(kāi)放性作業(yè)布置后的第二天上課時(shí)，有一位同學(xué)拿著一個(gè)正方體鐵絲骨架模型，如圖2，其中六條面對(duì)角線是用橡皮筋連接的，一位同學(xué)將一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，然后問(wèn)其他同學(xué)，這是不是一個(gè)多面體？如圖3，一位同學(xué)說(shuō)這個(gè)多面體形成一個(gè)12面體. 接著，另一位同學(xué)伸出手將另一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，“認(rèn)為”形成一個(gè)18面體.第三位同學(xué)將最后一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，“認(rèn)為”形成一個(gè)24面體.在四位同學(xué)的共同合作下，一個(gè)生動(dòng)的多面體誕生了.面對(duì)課堂教學(xué)中瞬間發(fā)生的信息，教師用敏銳的眼光發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題并加以開(kāi)發(fā)，不僅與歐拉公式發(fā)生聯(lián)系，而且總結(jié)其中的數(shù)學(xué)模型.
（三）第三階段――開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)
2003年新課程改革起步，新課程標(biāo)準(zhǔn)制定并公布，2004年在廣東、海南、山東、寧夏新課程教材進(jìn)入高中課堂，各地編寫(xiě)的新課程教材紛紛出版，新課程數(shù)學(xué)教材中最明顯的特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題比原教材增加了許多，高考中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用題的情境來(lái)自于生活，深入挖掘出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，最有代表性的就是處在二期課改前線的上海，開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題給人們呈現(xiàn)出的情境新穎，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵豐富.
1.關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用建模能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素質(zhì)
中學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題有二類(lèi)：第一類(lèi)，經(jīng)過(guò)精加工后的貼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的“準(zhǔn)”數(shù)學(xué)應(yīng)用題；第二類(lèi)，經(jīng)過(guò)粗加工的貼近實(shí)際的“真”數(shù)學(xué)應(yīng)用題. “好”的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題層出不窮，面對(duì)如此好的問(wèn)題.把數(shù)學(xué)應(yīng)用建模思想方法滲透在教學(xué)之中，充分挖掘問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把這一過(guò)程成為養(yǎng)育中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素質(zhì)的重要途徑.
例3 以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖4，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間[0，1]對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱(chēng)為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)，變成，原來(lái)的坐標(biāo)變成1等）.那么原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是 ；原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 .
理解突破：
“均勻地拉”――保證這是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)學(xué)變換――伸縮變換；
“一次操作”―― 一次變換所呈現(xiàn)的結(jié)果：原來(lái)的變到1；原來(lái)的，變到；
第2次操作――第1次操作后由原來(lái)的，，變到第2次操作前的；第2次操作后的1；
第3次操作――第1次操作后由原來(lái)的，，，變到第2次操作前的，，第2次操作后變到；第3次操作后變到1；照此下去，……；
第n次操作――第1次操作后由原來(lái)的，，…，，變到第2次操作前的，…，，第2次操作后變到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后變到1；
因此第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是，；原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，，…，，，即，j為[1，2n]中的所有奇數(shù).
看到此問(wèn)題情境，不由聯(lián)想起古人“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的精美概括；聯(lián)想到精美的楊輝三角，那么此問(wèn)題能否概括為“一尺之面，對(duì)折其拉，萬(wàn)絲不斷”？生活中的“拉面”場(chǎng)景，抽象為一種數(shù)學(xué)伸縮變換過(guò)程，檢測(cè)學(xué)生的對(duì)應(yīng)、變換、數(shù)列知識(shí)以及邏輯思維能力，此問(wèn)題給我們的一個(gè)重要啟示是：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界，去發(fā)現(xiàn)生活中的司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，去探索或總結(jié)其數(shù)學(xué)模型，去揭示實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).
2.關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中挖掘數(shù)學(xué)模型
例4 如圖5，一位花布設(shè)計(jì)師在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，以b（0≤b≤3）為半徑畫(huà)圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上的線段構(gòu)成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實(shí)線部分總長(zhǎng)度的最大值為 ，最小值為 .
理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0
≤，
2bπ+4（2b-3），
即L=2bπ-8b+12， 0
≤，
2bπ+8b-12，
當(dāng)b=1.5時(shí)，L達(dá)到最小值3π，當(dāng)b=3時(shí)，L達(dá)到最大值6π+12.
花布圖案設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的工作，但抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型是簡(jiǎn)潔而美麗的，由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生許多豐富的圖案：
學(xué)生面對(duì)如此問(wèn)題時(shí)，一方面要學(xué)會(huì)從“數(shù)”角度思考，寫(xiě)出長(zhǎng)度的分段函數(shù)，而后求出其最大值與最小值；另一方面也應(yīng)學(xué)會(huì)從“形”角度思考，發(fā)現(xiàn)其最值點(diǎn)和最值. 但不論是哪一個(gè)思路，都需要學(xué)生在“運(yùn)動(dòng)”著的圖案中發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，為今后的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力打下基礎(chǔ)，這正是新課程改革的教育理念之一.
二、近20年來(lái)我國(guó)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的反思
近20年來(lái)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)重視程度不同，特別在高考單獨(dú)命題省份. 數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海進(jìn)行二期課改，關(guān)注數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的氛圍比較濃. 高考數(shù)學(xué)命題中數(shù)學(xué)應(yīng)用題情境新穎、充分挖掘?qū)嶋H問(wèn)題中的數(shù)學(xué)本質(zhì). 但是許多省份的單獨(dú)命題中，除了概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題外，幾乎不涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題.
（一）數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)不明確
不論是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還是考試要求對(duì)應(yīng)用意識(shí)都有明確的說(shuō)明：“能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能理解對(duì)問(wèn)題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類(lèi)，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明，主要過(guò)程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.”實(shí)事求是地說(shuō)，這一目標(biāo)要求是比較高的.它至少包括了下列目標(biāo)：
一是“用”數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，即通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界的方法，求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力，探究數(shù)學(xué)概念與方法的來(lái)龍去脈與實(shí)際背景的能力；
二是數(shù)學(xué)建模能力，為相關(guān)學(xué)科中涉及數(shù)學(xué)建?；蜻M(jìn)一步學(xué)習(xí)中涉及數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；
三是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流能力，即通過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)方式來(lái)培養(yǎng)這一能力；
四是數(shù)據(jù)處理能力，在學(xué)習(xí)概率、統(tǒng)計(jì)、算法、金融數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)中所訓(xùn)練的能力.
（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中的功利意識(shí)太強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)冷熱不均，反復(fù)無(wú)常
1995年以來(lái)，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)意識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)由冷加熱，熱中保溫，溫度下降的過(guò)程. 教師在不同教學(xué)思潮的影響下，缺乏從整體上認(rèn)識(shí)它的功能與素質(zhì)教育要求. 因此一會(huì)兒重視，一會(huì)兒放棄，表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)教材處理上，有關(guān)“實(shí)習(xí)作業(yè)”“章引言與章頭圖”“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀思考”等內(nèi)容都忽略不去涉及，截頭去尾只講一些與“高考應(yīng)試”有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.課堂上對(duì)數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈不加研究，不介紹，導(dǎo)致學(xué)生只能了解一些數(shù)學(xué)解題方法，不理解數(shù)學(xué)概念.由于社會(huì)文化中功利意識(shí)的影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，如果與高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題型相關(guān)，就花大量時(shí)間或精力去訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)試能力；如果與高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題型無(wú)關(guān)，就一帶而過(guò)，或者是避而不講.這樣導(dǎo)致中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力仍是一個(gè)盲點(diǎn).
（三）新的課程改革促使數(shù)學(xué)應(yīng)用再掀
2012年起，浙江省在全省范圍內(nèi)進(jìn)行大規(guī)模的課程改革，增大選修課程的學(xué)分，以數(shù)學(xué)建模為核心的數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)研究在浙江大地展開(kāi)，2014年浙江高考數(shù)學(xué)中，一道閃亮的應(yīng)用題誕生，可以預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教與學(xué)會(huì)再掀！
關(guān)鍵詞:海盜問(wèn)題 數(shù)學(xué) 研究性學(xué)習(xí)
數(shù)學(xué)不好學(xué),更不好教。很多學(xué)生感嘆:“數(shù)學(xué)太難了!”不論是在職教還是普教,數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)都很大。筆者認(rèn)為研究性學(xué)習(xí)不失為一種教學(xué)方法,它與發(fā)現(xiàn)法類(lèi)似,但更具可操作性。在研究性學(xué)習(xí)中,學(xué)生是研究學(xué)習(xí)的主體,教師是以平等參與者的身份介入,是組織者、參與者和指導(dǎo)者,教師“指導(dǎo)不指令,參謀不代謀”,體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。開(kāi)學(xué)初,筆者和學(xué)生談到數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí),有學(xué)生說(shuō):“數(shù)學(xué)有什么好研究的,不就是死記硬背一大堆復(fù)雜的公式定理,永遠(yuǎn)是做不完的練習(xí)題,只要懂簡(jiǎn)單計(jì)算就夠用了,什么數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)一點(diǎn)用都沒(méi)有?！痹谶@種情況下,一時(shí)半會(huì)很難改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的誤解。
于是,筆者采取了圍魏救趙的策略。筆者問(wèn)學(xué)生:“據(jù)說(shuō)在美國(guó)有一道關(guān)于海盜的問(wèn)題,如果能在20分鐘內(nèi)得出正確答案的人,平均年薪在8萬(wàn)美金以上,大家是否有興趣試看看?”
5個(gè)海盜劫得100顆鉆石,這100顆鉆石大小與價(jià)值相等?，F(xiàn)在他們準(zhǔn)備瓜分這100顆鉆石,5個(gè)人抽簽為A、B、C、D、E。先由A來(lái)提出分配方案,然后投票表決,半數(shù)或半數(shù)以上同意則分配方案通過(guò),并按此分配;如沒(méi)有通過(guò),他將被丟下大海喂鯊魚(yú)!然后再由B來(lái)提出方案,依此類(lèi)推。問(wèn)題如下:如果你是A,你將如何分配,既讓自己財(cái)富盡可能最大,又能保證不被丟下大海!注意海盜們都是絕頂聰敏且理智抉擇的人。
學(xué)生果然來(lái)了興趣,對(duì)于這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題爭(zhēng)相發(fā)言,20分鐘很快過(guò)去了,沒(méi)人能給出正確答案。下課的鈴聲響了,學(xué)生還不肯罷休,于是筆者提出讓學(xué)生在課外繼續(xù)思考這個(gè)問(wèn)題,下次派代表解答,不過(guò)到時(shí)筆者也會(huì)多問(wèn)一個(gè)與此相關(guān)的問(wèn)題。當(dāng)筆者走出教室時(shí),心里暗喜,學(xué)生們或許還沒(méi)想到,其實(shí)他們已經(jīng)開(kāi)始了數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)了。
兩天后,當(dāng)筆者再次走進(jìn)教室,就看到班上學(xué)生都面帶笑容,最前面的學(xué)生告訴筆者:“老師,鉆石分好了!”
筆者就等學(xué)生這句話,于是說(shuō):“請(qǐng)派代表來(lái)回答,不過(guò)按約定,等代表把方案拿出來(lái),我要多問(wèn)一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題?！睂W(xué)生興奮不已,他們把數(shù)學(xué)科代表推選上來(lái),科代表在黑板上寫(xiě)下:
A B C D E
98 0 1 0 1
筆者拿起紅粉筆,打了個(gè)大大的勾,全班鼓掌,科代表更是一臉得意?？拼碚呦轮v臺(tái)時(shí),筆者叫住他:“稍等,還有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題?！比嘁幌伦影察o下來(lái),幾十雙眼睛都看著筆者,科代表顯得更緊張。筆者不緊不慢:“請(qǐng)問(wèn),這個(gè)方案的正確性怎么解釋?”這下全班鴉雀無(wú)聲,科代表愣了神,最后他忐忑地說(shuō):“老師,我們回家上網(wǎng)用百度找到這個(gè)方案的,不過(guò),我說(shuō)不清楚為什么,我錯(cuò)了?！毙箽獾谋砬閷?xiě)在所有學(xué)生臉上,筆者笑了笑:“懂得用互聯(lián)網(wǎng)在信息資源中找答案,很好啊,希望大家以后課外繼續(xù)用計(jì)算機(jī)來(lái)研究問(wèn)題。但光知道答案,不認(rèn)真鉆研,淺嘗輒止,講不出道理還是不夠的,這樣吧,回去再看看資料,討論一下,看看下次能否解釋清楚,不過(guò)有言在先,下次要多問(wèn)一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題?！睂W(xué)生的勁頭又起來(lái)了。
在后面的幾次課,筆者課前都先安排幾分鐘時(shí)間,點(diǎn)到為止,陸續(xù)提出了下面的問(wèn)題:
如果其他條件不變,海盜數(shù)逐個(gè)增加,方案如何改變?
從這個(gè)方案,你能分別歸納出奇數(shù)個(gè)海盜和偶數(shù)個(gè)海盜分配方案的規(guī)律嗎?
如果其他條件不變,海盜數(shù)按班上的同學(xué)數(shù)來(lái)算,那最先提出正確方案的海盜能拿到多少顆鉆石?
如果其他條件不變,鉆石數(shù)達(dá)到多少顆會(huì)迫使擁有最先提出方案的海盜棄權(quán)?
其他條件不變,假設(shè)海盜有n名,鉆石有m顆,那么n與m要滿足怎樣的關(guān)系才不會(huì)迫使擁有最先提出方案權(quán)的海盜棄權(quán)?
一個(gè)個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生在糾結(jié)與興奮之間反復(fù)了好一段時(shí)間,學(xué)生最后發(fā)現(xiàn),他們哪里是在幫海盜分鉆石,他們是在自己研究數(shù)學(xué),對(duì)數(shù)學(xué)的反感淡化了,開(kāi)始愿意用心聽(tīng),能夠用心想,上數(shù)學(xué)課居然幾乎沒(méi)人趴著睡。這讓筆者感到意外,聊天時(shí)問(wèn)學(xué)生為什么改變,學(xué)生說(shuō):“數(shù)學(xué)似乎有點(diǎn)用,學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)不會(huì)OUT了?！逼鋵?shí),最重要的是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)讓他們都獲得了成就感。
筆者把這個(gè)海盜問(wèn)題和普通高中的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教研交流,他們也在普高的課堂上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),普高學(xué)生還寫(xiě)出了詳細(xì)的研究報(bào)告,效果很不錯(cuò)。于是,筆者把這個(gè)案例整理出來(lái),希望對(duì)大家的數(shù)學(xué)研究性教學(xué)有所助益。
參考文獻(xiàn):
[1]韋斯特伯里.科學(xué)、課程與通識(shí)教育——施瓦布選集.中國(guó)輕工業(yè)出版社,2008.
[2]韓昌洙.千萬(wàn)別恨數(shù)學(xué).中信出版社,2004.
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 問(wèn)題鏈 設(shè)計(jì)研究
在一堂課的教學(xué)中，教師的“提問(wèn)”環(huán)節(jié)往往是很重要的，它既保證學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的探究心，又能激發(fā)他們對(duì)未知知識(shí)的求知欲，有趣的問(wèn)題能引導(dǎo)他們主動(dòng)投入學(xué)習(xí)，有針對(duì)性的問(wèn)題能讓他們向?qū)W習(xí)中的弱項(xiàng)努力，教師通過(guò)一環(huán)又一環(huán)的“提問(wèn)”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從研究的角度進(jìn)入知識(shí)的學(xué)習(xí)，這個(gè)時(shí)候，因?yàn)椤皢?wèn)題”已經(jīng)連成了串，“問(wèn)題鏈”概念就應(yīng)運(yùn)而生。
一、利用知識(shí)的多角度性設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”
教學(xué)中，“提問(wèn)”環(huán)節(jié)，自有其多角度性，提問(wèn)的切入點(diǎn)不同，則同一個(gè)問(wèn)題問(wèn)法也不同，每一個(gè)學(xué)生對(duì)新鮮的事物都保持有一定的好奇心，而新鮮的知識(shí)則更能讓產(chǎn)生了好奇心的學(xué)生，更加投入到對(duì)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，而好的“問(wèn)題鏈”需要做到的是，在整個(gè)提問(wèn)過(guò)程中，將這一點(diǎn)從開(kāi)始有效的保持到最后，要做到這一點(diǎn)，找準(zhǔn)提問(wèn)角度是很重要的。
現(xiàn)以“一元二次方程的解法”舉例：一元二次方程是一種同時(shí)擁有多種解法的方程。教師從頂點(diǎn)展開(kāi)問(wèn)題鏈：
師：我們都知道一元二次方程是二次函數(shù)的一個(gè)部分，利用它的頂點(diǎn)式，可以求出所有的一元二次方程的解，那么，我們還能不能用其他方法來(lái)求一元二次方程的解呢？
此時(shí)學(xué)生通過(guò)教師的問(wèn)題進(jìn)入探究，教師繼續(xù)展開(kāi)問(wèn)題鏈。
師：已知完全平方公式，我們能不能從這個(gè)角度切入？
生：理論上，如果能將一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)為1，常數(shù)移到等號(hào)右邊。最后兩邊同時(shí)加上1次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。讓方程達(dá)到左邊為完全平方式，右邊為常數(shù)。就可以用完全平方公式進(jìn)入解法。
師：如果以“配方法”繼續(xù)進(jìn)入推導(dǎo)？能不能再切入其他角度？
在這個(gè)“問(wèn)題鏈”中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“一元二次方程解法”的多角度解法切入，會(huì)帶給學(xué)生一種新鮮感，原來(lái)不同角度看方程會(huì)出現(xiàn)不同解法，他們自然覺(jué)得有趣，也會(huì)愿意繼續(xù)探究。這樣就保證了問(wèn)題鏈的有效。
二、利用知識(shí)的可持續(xù)性設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”
在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)到的知識(shí)一般都具有可持續(xù)性，數(shù)學(xué)的大綱本身就是一個(gè)由易到難的計(jì)算過(guò)程，而這也正是“問(wèn)題鏈”概念的特征之一，我國(guó)古代有句俗話叫“溫故而知新”利用知識(shí)的持續(xù)性，從舊的知識(shí)引入第一個(gè)“提問(wèn)”，再在后續(xù)“提問(wèn)”中不斷引出新的知識(shí)，這樣的過(guò)程不僅能降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)的畏懼感，還能讓他們對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生親切感。而親切感的產(chǎn)生會(huì)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度更自然，可見(jiàn)，做好新舊知識(shí)的“問(wèn)題鏈”銜接，也是保證問(wèn)題鏈有效性的關(guān)鍵。
以“有理數(shù)”的教學(xué)為例，教師通過(guò)舊知識(shí)的引入展開(kāi)“問(wèn)題鏈”。
師：我們都學(xué)過(guò)有理數(shù)的基礎(chǔ)概念。同學(xué)們還記得么？
生：以0為分界，正整數(shù)大于所有負(fù)整數(shù)，所有正整數(shù)都可以成為分?jǐn)?shù)的分母。此時(shí)，學(xué)生復(fù)習(xí)完成，教師圖片引入新知識(shí)
根據(jù)上圖，教師繼續(xù)展開(kāi)“問(wèn)題鏈”。
師：通過(guò)上圖我們觀察到了什么？
生1：線條有箭頭，它是從左到右而畫(huà)，它像一把尺。
生2：線條上的數(shù)是依據(jù)“整數(shù)概念”而標(biāo)。左負(fù)右正，左右對(duì)應(yīng)且相同。
生3：這條線上數(shù)字與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，且什么數(shù)字都有，正數(shù)，負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)。
師：以1舉例，在這個(gè)數(shù)字線條上，左邊是-1，右邊是1，左右之間，互為什么？
生：相反
師：所有不同類(lèi)型的數(shù)字都能和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，要如何概括？
生：說(shuō)明原點(diǎn)對(duì)所有類(lèi)型的數(shù)都可以進(jìn)行表達(dá)。
由這個(gè)“問(wèn)題鏈”可以看出，教師提問(wèn)舊知識(shí)，學(xué)生馬上就在教師出示的新知識(shí)中帶入舊的知識(shí)，教師從學(xué)生的觀察結(jié)論中不斷深入提問(wèn)，學(xué)生每一步的回答都獲得了新知識(shí)的延伸，他們獲得了想要的知識(shí)和樂(lè)趣?！皢?wèn)題鏈”的有效性就得到了保證。
三、利用知識(shí)的可探究性設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”
數(shù)學(xué)教師都知道，“數(shù)”這個(gè)概念雖然是單一性理解，但是它卻有無(wú)限變化的排列組合特征，這也就是知識(shí)的可探究性。通過(guò)知識(shí)的“可探究性”來(lái)設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”是利用學(xué)生在“不斷發(fā)現(xiàn)”中獲得的樂(lè)趣，來(lái)保證他們?cè)凇皢?wèn)題鏈”的教學(xué)模式中，全過(guò)程主動(dòng)投入，學(xué)生一旦投入主動(dòng)，則對(duì)所有知識(shí)的學(xué)習(xí)都會(huì)事半功倍。所以，利用好知識(shí)的可探究性，也是很重要的。
以“角”為例，教師首先以生活中常見(jiàn)的物體，以舉例模式展開(kāi)引入。
師：我們的生活中都離不開(kāi)各種各樣的圖形，比如黑板是長(zhǎng)方形，你們的凳子是正方形，教師的裝飾是三角形，那么他們有什么共同特征？
生：都有角。
師：觀察發(fā)現(xiàn)，所有的角都由兩條線構(gòu)成，過(guò)往學(xué)習(xí)中，兩條線交叉會(huì)形成什么？
生：點(diǎn)。
師：那么角由什么構(gòu)成？
生：經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的兩條直線交叉。
師：通過(guò)兩條直線交叉都可以形成怎樣的角呢？同學(xué)們可以運(yùn)用自己手中的尺子和筆來(lái)畫(huà)一畫(huà)，量一量？
在這個(gè)問(wèn)題鏈中，教師由舉例引入“角”的概念，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐動(dòng)筆，課堂知識(shí)圍繞“角”的形成展開(kāi)討論，通過(guò)學(xué)生的手動(dòng)實(shí)踐，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些共同點(diǎn)，此時(shí)教師繼續(xù)展開(kāi)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生觀察，所有組成正方形的角都是90°組成三角形的角都小于90°學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)，雖然線可以組成許多種角，但是角度確有共通之處，他們會(huì)覺(jué)得有趣，由此可見(jiàn)問(wèn)題鏈中探究性的重要。
總結(jié)
關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；解決問(wèn)題；策略
中圖分類(lèi)號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）11-115-02
解決問(wèn)題的價(jià)值不只是獲得具體問(wèn)題的解，更多的是學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中獲得的發(fā)展。其中主要的一點(diǎn)，在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問(wèn)題的基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問(wèn)題的某些策略。通過(guò)分析學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中，本研究在進(jìn)行文獻(xiàn)分析和比較的情況下，認(rèn)為經(jīng)常用到的一些策略有以下幾項(xiàng)：
一、猜想
猜想，就是先猜一猜，再?lài)L試進(jìn)行驗(yàn)證。如，在下面算式的中填入六個(gè)質(zhì)數(shù)，使算式成立。（當(dāng)然，猜想時(shí)學(xué)生首先要知道什么是質(zhì)數(shù)，用質(zhì)數(shù)填空，每一個(gè)數(shù)字最大不超過(guò)10，即10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)2、3、5、7。）
根據(jù)題目要求，學(xué)生首先想到第二個(gè)加數(shù)的個(gè)位分別可填2、3、5，但是得到的和的個(gè)位數(shù)都不是質(zhì)數(shù)，于是填寫(xiě)7。7+6=13，個(gè)位是3，是一個(gè)質(zhì)數(shù)，符合要求。
第二步嘗試，第一個(gè)加數(shù)的十位數(shù)填2，加上8及進(jìn)位1， 2+8+1=11，11的個(gè)位數(shù)不是質(zhì)數(shù)，因此改為填3，經(jīng)檢驗(yàn)，和的十位數(shù)為2，是個(gè)質(zhì)數(shù)，符合要求。填5或者7，檢驗(yàn)和的個(gè)位都不是質(zhì)數(shù)，因此只能填3。
接下來(lái)考慮，第二個(gè)加數(shù)的百位數(shù)。如果填2，再加進(jìn)位1，9+2+1=12，個(gè)位2符合要求；如果填3，再加進(jìn)位1，9+3+1=13，個(gè)位3也符合要求；如果填5，再加進(jìn)位1，9+5+1=15，個(gè)位5也符合要求；如果填7，再加進(jìn)位1，9+7+1=17，個(gè)位7也符合要求；因此，第二個(gè)加數(shù)的百位數(shù)可以填2、3、5、7四種。
經(jīng)過(guò)嘗試和檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這道題可以有四種答案。見(jiàn)下面答案：
二、畫(huà)圖
小學(xué)生由于年齡局限，對(duì)于符號(hào)、運(yùn)算性質(zhì)等的推理可能會(huì)有一些困難，適時(shí)的讓他們?cè)诒旧袭?huà)一畫(huà)，可以拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助他們找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。通過(guò)畫(huà)圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。
對(duì)于條件開(kāi)放的題目，小學(xué)生常常容易被迷惑，以為只有一種答案。實(shí)際上有的題目不止一種情況，答案也會(huì)有好幾種。如下題：
甲乙兩人分別從公路上的A、B兩處同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果甲每秒鐘走1米，乙每秒鐘走0.8米，10分鐘后兩人相距50米。求A、B兩處相距多少米？
四、置換
置換就是把兩種或者兩種以上的不同物體統(tǒng)一為一種物體，即用一種事物代替另一種事物，借以簡(jiǎn)化題意。如下題：學(xué)校買(mǎi)來(lái)360個(gè)羽毛球，分別裝在4個(gè)大盒和4個(gè)小盒里，如果每個(gè)大盒同2個(gè)小盒裝的同樣多。問(wèn)：每個(gè)大盒與小盒各裝多少個(gè)羽毛球？
思考：可以把其中的一種盒子置換成另一種盒子，如2個(gè)小的等于1個(gè)大的；4個(gè)小的等于2個(gè)大的；這樣原題就可以簡(jiǎn)化為：把360個(gè)羽毛球可以裝在6個(gè)大盒中或者12個(gè)小盒中。因此1個(gè)大盒可裝360÷6=60（個(gè)），1個(gè)小盒可裝360÷12=30（個(gè)）。
五、逆推
逆推，也叫反推或者還原，就是從反面去思考，從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，一步一步退回到已知信息，從而找到解決問(wèn)題的辦法。當(dāng)我們解決問(wèn)題時(shí)遇到了障礙，有困難的時(shí)候，可以換個(gè)角度思考，或許會(huì)出現(xiàn)柳暗花明又一村的美景。
一、基于“導(dǎo)學(xué)模式”的問(wèn)題設(shè)計(jì)原則
1.問(wèn)題要具有啟發(fā)性。數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要和學(xué)生的思維同步，遵循學(xué)生思維的規(guī)律，因勢(shì)利導(dǎo)，從而讓學(xué)生借助問(wèn)題找到突破口。高中數(shù)學(xué)推理性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)要考慮課堂教學(xué)時(shí)間，要讓學(xué)生的思維受到啟發(fā)。思考的時(shí)間非常重要，如果問(wèn)題難度大，而思考的時(shí)間又倉(cāng)促，容易讓學(xué)生產(chǎn)生退縮的情緒，所以說(shuō)要使問(wèn)題有啟發(fā)性就要設(shè)計(jì)精而準(zhǔn)的問(wèn)題，如果在課堂上出現(xiàn)太寬泛且簡(jiǎn)單的問(wèn)題，學(xué)生的思維就會(huì)停留在機(jī)械的回答上，這樣違背了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)規(guī)律。
2.問(wèn)題要具有層次性。構(gòu)建高中數(shù)學(xué)的“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”模式，教師不能只關(guān)注結(jié)論，還要關(guān)注問(wèn)題在結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化的因素，立足學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)和綜合能力水平，設(shè)置有層次性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)去推導(dǎo)、驗(yàn)證。有層次性的問(wèn)題能讓學(xué)生感受探索過(guò)程的樂(lè)趣，獲得學(xué)習(xí)上的自信與動(dòng)力。
二、基于“導(dǎo)學(xué)模式”的問(wèn)題導(dǎo)入策略
1.在思維啟發(fā)處導(dǎo)入問(wèn)題，激發(fā)探究欲望
教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)要考慮高中生的生活閱歷和數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)，挖掘教材中蘊(yùn)含的思維性較強(qiáng)的問(wèn)題因素，讓學(xué)生的思維被情境中的問(wèn)題所吸引，使學(xué)生在情境中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。
例如，在學(xué)習(xí)人教版高中數(shù)學(xué)必修一“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，如何讓學(xué)生快速切入新課探究，理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義呢？在課堂教學(xué)時(shí)，我讓學(xué)生拿出一張紙，先在紙上畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，然后在第一象限任畫(huà)一可作為函數(shù)圖像的圖形，當(dāng)學(xué)生完成這個(gè)步驟后，出示兩個(gè)操作情境及其問(wèn)題：1.以y軸為折痕，將紙進(jìn)行對(duì)折，然后在紙的背面（即第二象限）畫(huà)出第一象限內(nèi)圖形的痕跡，再將紙展開(kāi)，觀察坐標(biāo)系中的圖形。問(wèn)題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個(gè)整體，則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f（x）的圖像？若能，請(qǐng)說(shuō)出該圖像具有什么特殊的性質(zhì)，函數(shù)圖像上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系。2.以y軸為折痕，將紙進(jìn)行對(duì)折，然后以x軸為折痕將紙對(duì)折，在紙的背面（即第三象限）畫(huà)出第一象限內(nèi)圖形的痕跡，然后將紙展開(kāi)，觀察坐標(biāo)系中的圖形。問(wèn)題：將第一象限和第三象限的圖形看成一個(gè)整體，則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f（x）的圖像？若能，請(qǐng)說(shuō)出該圖像具有什么特殊的性質(zhì)，函數(shù)圖像上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系。在教學(xué)過(guò)程中，教師緊扣本課教學(xué)內(nèi)容，以動(dòng)手操作入手，借助問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生從直觀的操作逐步過(guò)渡到抽象的函數(shù)學(xué)習(xí)。
2.在思維關(guān)鍵處導(dǎo)入問(wèn)題，突破教學(xué)難點(diǎn)
課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”要緊扣教材和學(xué)生的思維。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)思維“盲區(qū)”時(shí)，教師巧妙地導(dǎo)入問(wèn)題，能點(diǎn)撥學(xué)生的思維，從而化解教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生在攻破問(wèn)題的同時(shí)也獲得能力的提升。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；多維互動(dòng)；教學(xué)方法；改革
中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2017）06-0020-01
“高等數(shù)學(xué)”是大學(xué)生必須掌握的一門(mén)基礎(chǔ)課程，它不但能培養(yǎng)大學(xué)生的思維能力，而且能培養(yǎng)大學(xué)生解決問(wèn)題的能力。所以，在教學(xué)手段多樣化的今天，提升“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)水平，是教育持m發(fā)展的關(guān)鍵所在。因此，本文從“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)現(xiàn)狀、改革“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)方法的探索兩個(gè)方面研究高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法，并提出合理化建議。
一、“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)現(xiàn)狀
首先，學(xué)生對(duì)“高等數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)的興趣不高。根據(jù)問(wèn)卷調(diào)查，有31.30%的學(xué)生選擇“不感興趣”，有13.80%學(xué)生選擇“特別感興趣”。其次，對(duì)“高等數(shù)學(xué)”作為基礎(chǔ)性學(xué)科和工具學(xué)科的重要性認(rèn)識(shí)不足。在問(wèn)卷調(diào)查中，只有7.50%的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”對(duì)以后專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)有幫助，有23.90%的學(xué)生認(rèn)為一點(diǎn)沒(méi)有幫助。
二、改革“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)方法的探索
1. 翻轉(zhuǎn)課堂：探索小班化教學(xué)
翻轉(zhuǎn)課堂就是在信息化環(huán)境中，課程教師提供以教學(xué)視頻為主要形式的學(xué)習(xí)資源，學(xué)生在上課前完成對(duì)教學(xué)視頻等學(xué)習(xí)資源的觀看，師生在課堂上一起完成作業(yè)答疑、互動(dòng)交流等活動(dòng)的一種新型的教學(xué)模式。比如，教師在講授“多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則”這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，可讓學(xué)生在指定的時(shí)間內(nèi)觀看完相關(guān)視頻，并在網(wǎng)絡(luò)上提出自己的問(wèn)題。這樣，教師就可以對(duì)全班同學(xué)的問(wèn)題進(jìn)行歸納，分成以下兩個(gè)方面解答：一方面是教材里面沒(méi)涉及到的復(fù)合函數(shù)如何求導(dǎo)；另一方面是抽象多元復(fù)合函數(shù)如何求導(dǎo)，尤其是對(duì)二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。依據(jù)學(xué)生提出的這兩大方面及上傳的有關(guān)題目，教師可以選擇代表性的題目讓學(xué)生在上課的時(shí)候積極探討。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，為了檢查學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情況，首先教師可以依據(jù)視頻內(nèi)容，事先用數(shù)學(xué)課本上提到的復(fù)合函數(shù)測(cè)試學(xué)生。這里值得一提的是，該環(huán)節(jié)是不可或缺的，要不然就不能使學(xué)生達(dá)到自主學(xué)習(xí)的目的。接著，教師依據(jù)總結(jié)的幾點(diǎn)問(wèn)題，尊重學(xué)生的意愿，將全班學(xué)生分成多個(gè)小組，并由小組中的“組長(zhǎng)”選題。然后小組成員相互討論，對(duì)選擇的題目進(jìn)行研究，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候加入到小組中加以引導(dǎo)。最后，對(duì)每一個(gè)小組將所得出來(lái)的結(jié)論進(jìn)行分析，其他小組做好相應(yīng)的評(píng)價(jià)。
2. 問(wèn)題引領(lǐng)：探究師生的教與學(xué)
教師在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)一連串的問(wèn)題設(shè)置，將教學(xué)內(nèi)容巧妙地融合在問(wèn)題中，讓學(xué)生情不自禁地陷入探究問(wèn)題的情境中，從而發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用。教師可以將問(wèn)題當(dāng)作主要線索，采取恰當(dāng)?shù)姆绞皆O(shè)計(jì)一堂課程。比如，教師在講授“不定積分概念”一課時(shí)，可用一系列的問(wèn)題將這節(jié)課所講授的知識(shí)點(diǎn)穿插起來(lái)。教師提問(wèn)：給出速度函數(shù)，怎樣得到路程函數(shù)？將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成已經(jīng)知道的導(dǎo)函數(shù)，怎樣得到這個(gè)函數(shù)，進(jìn)而將原函數(shù)的概念引出來(lái)？函數(shù)符合哪些要求具有原函數(shù)，倘若存在的情況下，那么原函數(shù)是唯一值嗎？倘若不是唯一存在的，那么原函數(shù)之間存在什么聯(lián)系？接著教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原函數(shù)所存在的聯(lián)系進(jìn)行研究，將原函數(shù)的表達(dá)形式引出來(lái)。最后教師從不定積分的概念入手，設(shè)置一系列的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并培養(yǎng)他們解決問(wèn)題的能力。
3. 以學(xué)定教：激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和熱情
興趣是激發(fā)學(xué)生求知欲最直接的方式，當(dāng)學(xué)生有了興趣以后，就會(huì)主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中，在課后也會(huì)提前做好預(yù)習(xí)。比如，在講授“方向?qū)?shù)”這一課時(shí)，教師舉例：有一個(gè)金屬板的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在這個(gè)坐標(biāo)的原點(diǎn)位置上有一處火焰，它可以促使金屬板變熱，倘若金屬板上面任何一個(gè)地方的溫度都和該點(diǎn)到原來(lái)地方的距離成反比，而在坐標(biāo)（3，2）的位置上有一只螞蟻，那么這只螞蟻從什么地方開(kāi)始爬行能夠在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)涼爽的地方？這個(gè)實(shí)際性的問(wèn)題可以激發(fā)大學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生帶著疑問(wèn)學(xué)習(xí)新知識(shí)。又如，在講授“極限定義”這一課的過(guò)程中，為了使學(xué)生進(jìn)一步掌握極限思想，教師可將劉徽的“割圓術(shù)”講述給學(xué)生聽(tīng)，學(xué)生就會(huì)對(duì)這節(jié)課的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，進(jìn)而激發(fā)他們的求知欲望和探索欲望，帶著好奇心投入到這節(jié)課的學(xué)習(xí)中。這樣，既培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，又提升了教學(xué)質(zhì)量。
三、結(jié)束語(yǔ)
綜上所述，完善高等數(shù)學(xué)教學(xué)手段是一項(xiàng)漫長(zhǎng)而又艱巨的任務(wù)。因此，教師不僅僅要傳授給大學(xué)生知識(shí)，更要培養(yǎng)大學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)解決問(wèn)題的能力。特別是對(duì)大學(xué)生思維方式的培養(yǎng)，一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展方向。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)；問(wèn)題
隨著新課程改革的概念在全國(guó)的全面推廣，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也提出了更高的要求，開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景，是一種較為先進(jìn)的教學(xué)方式。學(xué)生的綜合能力可以充分發(fā)揮作用，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力具有十分重要的意義。但對(duì)當(dāng)前小學(xué)教學(xué)情境，開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景的教學(xué)技巧在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用尚未得到普及，本文在開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景的學(xué)習(xí)情況下，就如何促進(jìn)小學(xué)教學(xué)質(zhì)量的改進(jìn)進(jìn)行了探討，以便更好地滿足學(xué)生的發(fā)展需要。
一、問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的原則
1.針對(duì)性原則
在提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的情況下，一般學(xué)生的思維處于起步階段，有探索新知識(shí)的創(chuàng)造傾向，目的是在這種背景下，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，找出發(fā)現(xiàn)今天研究探討數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種數(shù)學(xué)公式。因此，創(chuàng)設(shè)情境必須有明確的目的性和針對(duì)性，通過(guò)學(xué)習(xí)任務(wù)來(lái)開(kāi)展，必須把重點(diǎn)放在教學(xué)課程內(nèi)容上。否則，即使是在教師擁有最好問(wèn)題的情況下，也不能順利地完成任務(wù)。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課堂模式，可以避免“學(xué)生心不在焉”的尷尬，可以讓學(xué)生將精力都投放在課堂上。
2.趣味性原則
興趣是最好的老師，所以，應(yīng)該讓學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣，擁有自然萌發(fā)的參與感，從而可以順利地進(jìn)入自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索的狀態(tài)。因此，創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題必須是新穎的、獨(dú)特的、生動(dòng)的，這種教學(xué)模式能夠?qū)W(xué)生產(chǎn)生吸引力，可以引起學(xué)生的關(guān)注和激發(fā)學(xué)生的興趣?，F(xiàn)代心理學(xué)家認(rèn)為：思維階段分為：發(fā)展直覺(jué)行動(dòng)思維―直覺(jué)思維和所遇到的具體形象思維―具象思維―抽象邏輯思維等三個(gè)階段。以新生和二年級(jí)學(xué)生為主，是一個(gè)直觀的動(dòng)作思維，隨著具體形象思維逐漸增加，進(jìn)入三、四年級(jí)，并逐漸開(kāi)始具體的形象思維，到了五、六年級(jí)，具體和抽象思維逐漸成熟，邏輯思維能力逐漸在學(xué)生腦中形成。也就是說(shuō)，低年級(jí)學(xué)生比初中和高中的學(xué)生更關(guān)心的是“好玩、有趣、新奇”的問(wèn)題，如，動(dòng)物、游戲、童話；而中年級(jí)學(xué)生更關(guān)心的是“有用和具有挑戰(zhàn)性”的問(wèn)題；高年級(jí)學(xué)生更感興趣的是“具有刺激性”的問(wèn)題。通過(guò)教師開(kāi)發(fā)問(wèn)題；背景，我們必須充分考慮學(xué)生的思維特點(diǎn)，在生動(dòng)、有趣的情況下，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。
二、問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的策略
1.培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的問(wèn)題情境意識(shí)
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景是提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑，良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境引導(dǎo)，可以讓學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，并能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)提高。在新課程理念要求下，教師應(yīng)該讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中運(yùn)用更生動(dòng)具體的故事。教師創(chuàng)造問(wèn)題情境是課堂的關(guān)鍵，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要方法，這就是問(wèn)題情境教學(xué)質(zhì)量很大程度上建立在依賴(lài)于教師的整體素質(zhì)的情況下。但從目前發(fā)展初等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的情況來(lái)看，問(wèn)題是對(duì)于情況的認(rèn)識(shí)不足以及一些教師在不是充分了解問(wèn)題的情況下，創(chuàng)設(shè)錯(cuò)誤的問(wèn)題情境，從而嚴(yán)重地影響課堂教學(xué)質(zhì)量。
2.問(wèn)題情境設(shè)計(jì)要來(lái)源于生活
數(shù)學(xué)是一門(mén)比較枯燥的課程，如果一個(gè)教師講課過(guò)程中，一味地向?qū)W生灌輸需要記住定理、公式，很快就會(huì)磨滅學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并最終影響到課堂教學(xué)質(zhì)量。在這種情況下，在設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師應(yīng)注重教學(xué)問(wèn)題和實(shí)際生活情況相結(jié)合，讓學(xué)生在實(shí)踐中感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。
3.把問(wèn)題情境故事化
聽(tīng)故事是兒童最感興趣的事情，尤其是低年級(jí)學(xué)生具有形象思維的特點(diǎn)。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和兒童的需要用他們喜愛(ài)的故事來(lái)吸引孩子的眼球，加深他們對(duì)知識(shí)的理解，提高他們的數(shù)學(xué)審美觀。開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景，能夠有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使學(xué)生在愉快的氣氛中，不僅可以學(xué)到知識(shí)，還可以感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè)。
4.把問(wèn)題情境活動(dòng)化
學(xué)生在課堂中通過(guò)自己動(dòng)手解決問(wèn)題，并和小組伙伴密切研究，可以讓大腦對(duì)客觀事物的感知進(jìn)入一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是考慮到內(nèi)部語(yǔ)言模式內(nèi)的情報(bào)過(guò)程和外部動(dòng)作的情況下創(chuàng)設(shè)的。實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)發(fā)問(wèn)題背景是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力的重要途徑，通過(guò)促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生通過(guò)自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在大腦中形成了最令人印象深刻的記憶，這樣記得最牢。教師要改變過(guò)去傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生對(duì)社會(huì)生活得以了解，讓課堂學(xué)習(xí)貼近生活，從而提高教學(xué)課堂數(shù)學(xué)效率。
參考文獻(xiàn)：
[1]孔企平.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論與方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.
[2]張璽恩.中國(guó)著名特級(jí)教師教學(xué)思想錄[M].南京：江蘇教育出版社，2012.
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)效果；問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用十分廣泛，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等方面發(fā)揮著重要的作用。
一、課堂導(dǎo)入
課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中作為起始階段，是影響課堂整體教學(xué)效率的重要組成部分。在問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法中，筆者認(rèn)為運(yùn)用情境有利于進(jìn)行成功的課堂導(dǎo)入。教師可在課程開(kāi)始之前分析教學(xué)內(nèi)容，并結(jié)合學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)狀況，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)情境，進(jìn)而引起學(xué)生的注意，成功進(jìn)行課程導(dǎo)入。
例如，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中，教師可運(yùn)用多媒體或在生活中收集的與長(zhǎng)方體相關(guān)的場(chǎng)景制作成視頻。課堂內(nèi)學(xué)生的課桌就是典型的長(zhǎng)方體模型，而教室本身也是長(zhǎng)方體。教師可以以此進(jìn)行課堂導(dǎo)入，主要方式為提問(wèn)，如：長(zhǎng)方體本身的什么性質(zhì)促使它能夠廣泛地運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)生活中？在提出相關(guān)問(wèn)題之后，學(xué)生開(kāi)始進(jìn)行思考，經(jīng)過(guò)思考后給出形狀、體積等不同答案。接著，教師可順利地對(duì)長(zhǎng)方體的性質(zhì)進(jìn)行更為詳細(xì)的講解。
二、創(chuàng)建生活情境
引入并創(chuàng)建生活中的情境：將生活情境直接運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，并將其與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生自主尋找解決難題的方法。但是，在向?qū)W生展示該生活情境之前，教師需對(duì)情境的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講解，并適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將其與課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容相結(jié)合，幫助學(xué)生尋找最為有效的解決方案。在學(xué)生求解答疑的過(guò)程中，教師應(yīng)重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的思考能力。
例如，在學(xué)習(xí)排列組合相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中，教師可先引入與排列組合知識(shí)有直接聯(lián)系的生活情境。如，這里有100個(gè)籃球，其中，紅色的有60個(gè)，綠色的有40個(gè)。將這些球分別放在兩個(gè)不同的盒子中，在這兩個(gè)盒子中分別拿出一個(gè)球，拿到紅色球的概率是多少呢？這是一道標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)排列組合題，學(xué)生難免會(huì)進(jìn)入迷糊的思考狀態(tài)。因此，教師可更換為一個(gè)類(lèi)似的生活情境問(wèn)題：一共有三把椅子，有6個(gè)學(xué)生坐，小明每次都能夠坐到椅子的概率為多少？接著教師可預(yù)留一定的時(shí)間給同學(xué)，在學(xué)生闡述不同解答方式和答案之后，教師再引入排列組合的知識(shí)，并在最后對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行驗(yàn)證。
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有較大的適應(yīng)性，能夠綜合數(shù)學(xué)學(xué)科中各個(gè)不同知識(shí)要點(diǎn)并與生活場(chǎng)景相聯(lián)系，具有廣泛的實(shí)踐意義。
