發(fā)布時(shí)間：2023-07-19 17:11:48
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學(xué)思維的主要類(lèi)型樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
【關(guān)鍵詞】課題學(xué)習(xí);最短路徑問(wèn)題;實(shí)施;交流
序言
最短路徑問(wèn)題的教學(xué)在初中教學(xué)中出現(xiàn)有幾種類(lèi)型，頻繁出現(xiàn)的主要在幾何與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)方面，以學(xué)生能力提升為主，教師應(yīng)當(dāng)在選擇課題時(shí)注意此點(diǎn)，采用便捷、靈活的計(jì)算方法和技巧，優(yōu)化教學(xué)方法，提高學(xué)生解題的效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力。
1.課題學(xué)習(xí)原則
課題學(xué)習(xí)屬于新穎的學(xué)習(xí)方式，課題學(xué)習(xí)課堂上教師需要對(duì)教科書(shū)或者是相同類(lèi)型的課題、題型進(jìn)行有效整合，通過(guò)教師的教學(xué)引導(dǎo)，綜合運(yùn)用各種解題方法對(duì)課題進(jìn)行解決，積累更多課題知識(shí)，提高自主探究能力，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)交流，引發(fā)更多學(xué)習(xí)創(chuàng)新方法，課題學(xué)習(xí)有關(guān)特征主要有四種：主體性，課題學(xué)習(xí)可以充分體現(xiàn)出學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中是要通過(guò)合作討論、自主探索的學(xué)習(xí)方式，才可以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有清晰的解題步驟和思考思維，以問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)，然后主動(dòng)思考問(wèn)題，體現(xiàn)了學(xué)生主體地位突出;探究性，課題學(xué)習(xí)教學(xué)需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，絕不可直接解答題目反而遏制了學(xué)生探究思維的開(kāi)發(fā)，必須要體現(xiàn)課題學(xué)習(xí)的探究性;綜合性，課題學(xué)習(xí)所涉及的內(nèi)容比較廣泛，如果是在初中三年級(jí)的話，學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題就會(huì)涉及到整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，包括的范圍廣，或者還接觸到其他學(xué)科中去，體現(xiàn)課題學(xué)習(xí)的綜合性強(qiáng)的特點(diǎn);開(kāi)放性，課題學(xué)習(xí)不局限與教材的內(nèi)容，學(xué)習(xí)本來(lái)就具有融會(huì)貫通的思維能力，沒(méi)有持久不變的題目，只有永恒的邏輯思維，當(dāng)遇到相類(lèi)似的題型，就需要學(xué)生使用解題技巧和數(shù)學(xué)理論知識(shí)結(jié)合起來(lái)，教師亦當(dāng)如此。
2.強(qiáng)化對(duì)“課題學(xué)習(xí)”理論的認(rèn)識(shí)的理解
教師在進(jìn)行“課題學(xué)習(xí)”的課堂之前，幫助學(xué)生對(duì)各個(gè)類(lèi)型的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧，把相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和定理整理歸納好，思考各個(gè)類(lèi)型知識(shí)點(diǎn)和問(wèn)題的解決途徑和技巧。同時(shí)，教師也需要加固課題學(xué)習(xí)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)的相應(yīng)技巧與教學(xué)方法，充分做好備課工作，深刻認(rèn)識(shí)到“課堂學(xué)習(xí)”的重要教學(xué)理念和實(shí)際的教學(xué)目標(biāo)，做好課堂的教學(xué)規(guī)劃和改善課堂教學(xué)流程。
3.規(guī)劃“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)方案
此次“課堂學(xué)習(xí)”的教學(xué)內(nèi)容是關(guān)于初中數(shù)學(xué)最短路徑的問(wèn)題，教師需要根據(jù)學(xué)生所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)劃后課堂教學(xué)的方案，分配好各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題在課堂上利用的時(shí)間，知識(shí)點(diǎn)的難易程度、解題方法和教學(xué)方式會(huì)決定所耗費(fèi)的時(shí)間長(zhǎng)短。關(guān)于最短路徑的問(wèn)題教師首先收集好典型且具有意義性的題目，并且了解如何進(jìn)行解答。例如教師可以從螞蟻沿正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食，其原理是線段之和最短的問(wèn)題或者是數(shù)模、函數(shù)等方面進(jìn)行收集相關(guān)的數(shù)學(xué)題目，此外，在題目中還需要對(duì)該知識(shí)進(jìn)行拓展，或者構(gòu)思不同方式的題目，拓展學(xué)生思維的界限，教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)由易到難的教學(xué)觀念。
例如：
問(wèn)題一、如圖1，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。
圖1
此問(wèn)題的要求就是要在直線上找到一個(gè)點(diǎn)，這一點(diǎn)要使得直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之和要達(dá)到最短，此題利用到“兩點(diǎn)間的所有連線中，線段最短”的理論來(lái)進(jìn)行論證求解。除了這一題外還有其他相同類(lèi)型的題目比如：螞蟻的爬行問(wèn)題，如圖2是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已知AB=5，BC=3，CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是多少？
圖2
這都屬于最短路徑的數(shù)學(xué)題目，涉及到幾何體的內(nèi)容，需要拆開(kāi)的方式來(lái)求證。
問(wèn)題二、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不僅僅只有這點(diǎn)，還有關(guān)于幾何方面的知識(shí)都有最短路徑的探究：
如圖3，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點(diǎn)D在弧線AC上，弧AD等于2倍的弧CD，點(diǎn)P是半徑OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+PD的最小值是多少？
圖3
這類(lèi)型的題目需要結(jié)合到幾何定理知識(shí)來(lái)求解。
教師在進(jìn)行“課題學(xué)習(xí)”之前就需要對(duì)這些類(lèi)型的題型完全把握好，分析幾何型和數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，理清解題的過(guò)程，貫穿到哪些方面的數(shù)學(xué)定理、概論。結(jié)合到題目的難易程度或者知識(shí)點(diǎn)范圍，可以規(guī)劃幾個(gè)課時(shí)才可以解決，制定明確的課堂流程。
4.利用教學(xué)方法促成“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)
教師進(jìn)行改善教學(xué)方法，需要考慮到“課題學(xué)習(xí)”的主要特點(diǎn)來(lái)制定相應(yīng)的教學(xué)方法，就從它有主體性的特點(diǎn)來(lái)思考。教師可以展開(kāi)小組合作討論活動(dòng)，對(duì)最短途徑問(wèn)題進(jìn)行探索，為學(xué)生提高情境教學(xué)的環(huán)境，提高學(xué)生課題學(xué)習(xí)課程的興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索思維，創(chuàng)新思維。例如在“問(wèn)題一”中的第二類(lèi)型的題目上展開(kāi)小組討論活動(dòng)，由于問(wèn)題難度不算高，教師可以一兩人為一小組，提倡學(xué)生利用上現(xiàn)有制作的數(shù)學(xué)模型展開(kāi)討論，可以把制作好的長(zhǎng)方體標(biāo)記好有字母的標(biāo)記，讓學(xué)生進(jìn)行思考探索，學(xué)生在探索思考過(guò)程中，加上動(dòng)手的操作，就可以理解到如何進(jìn)行解決問(wèn)題。從小組討論的教學(xué)方式來(lái)說(shuō)，極好地體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”教學(xué)的有效性。此外，教師還應(yīng)該采用數(shù)形結(jié)合法來(lái)教學(xué)，圖像的表達(dá)可以把抽象的數(shù)學(xué)條件，誘導(dǎo)出形象的圖像，加快學(xué)生解題速度。
結(jié)語(yǔ)：綜上所述，數(shù)學(xué)問(wèn)題萬(wàn)變不離其宗，所有題目或者題型的變化，都可以找到問(wèn)題的突破口，結(jié)合數(shù)學(xué)理論知識(shí)就可以把問(wèn)題解答，課題學(xué)習(xí)的關(guān)鍵作用使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的回顧，加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神。
【參考文獻(xiàn)】
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[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)練習(xí) 錯(cuò)誤類(lèi)型 措施
[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）17-078
小學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維習(xí)慣的重要時(shí)期，如果教師能在這個(gè)階段很好地分析學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，將會(huì)對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到較好的促進(jìn)作用。
一、負(fù)向遷移導(dǎo)致的錯(cuò)誤
數(shù)學(xué)是系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，一般來(lái)說(shuō)新知識(shí)的學(xué)習(xí)是需要以舊知識(shí)為基礎(chǔ)的，這就是知識(shí)認(rèn)知的遷移作用，但是，舊知識(shí)也會(huì)影響學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，學(xué)生的很多錯(cuò)誤就是由知識(shí)負(fù)向遷移導(dǎo)致的。
例如，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“A×B+A×C=A×（B+C）”這一運(yùn)算規(guī)律，因此，當(dāng)他們面對(duì)“100÷10+100÷5”的時(shí)候，很可能因?yàn)橹R(shí)的負(fù)向遷移而犯錯(cuò)。
師：請(qǐng)計(jì)算“100÷10+100÷5”。
生1：約等于6.7.
師：你是怎么計(jì)算的？
生1：100÷10+100÷5=100÷（10+5）=6.7。
師：請(qǐng)?jiān)偎阋幌拢?00÷10和100÷5各是多少？
生1：10和20，那么加起來(lái)應(yīng)該是30，而不是6.7
師：沒(méi)錯(cuò)。
學(xué)生的這種錯(cuò)誤主要是由思維慣性導(dǎo)致的，若想減少這方面的錯(cuò)誤，教師要消除學(xué)生“想當(dāng)然”的思維習(xí)慣，應(yīng)當(dāng)將類(lèi)似的問(wèn)題“抽”出來(lái)，先作設(shè)問(wèn)，當(dāng)學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)，再告知學(xué)生正確的計(jì)算方法，利用錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的重視。
二、邏輯性錯(cuò)誤
所謂邏輯性錯(cuò)誤就是在思考的過(guò)程中，違反了邏輯規(guī)律所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，如偷換論題、循環(huán)論證、自相矛盾等都屬于邏輯性錯(cuò)誤。
例如，在教學(xué)平行四邊形的面積時(shí)，教師先讓學(xué)生通過(guò)自己的方式來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積，可提示學(xué)生聯(lián)想長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算方法。主要目的是為了得出平行四邊形的面積公式。但是，當(dāng)教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)時(shí)，卻出現(xiàn)下面的對(duì)話。
師：這個(gè)平行四邊形的面積是多少？
生1：35cm2。
師：你是怎么得出的？
生1：這個(gè)平行四邊形的底是7cm，高是5cm，那么7×5=35（cm2），所以這個(gè)平行四邊形的面積是35cm2。
師：那么你認(rèn)為平行四邊形的面積是底乘高嗎？
生1：是的。
顯然，學(xué)生直接套用了已知的結(jié)論。雖然教師有相關(guān)的提示，但是學(xué)生直接用猜想來(lái)證明結(jié)論就是一種錯(cuò)誤的邏輯思維。
邏輯思維是一種難以把控的思維，所以教師應(yīng)將邏輯思維的指導(dǎo)深入到日常的教學(xué)中。對(duì)此，教師在教學(xué)中必須規(guī)范邏輯推理過(guò)程，避免為了趕課而縱容學(xué)生的錯(cuò)誤。另外，教師需要加強(qiáng)自身邏輯思維的學(xué)習(xí)，只有教師有較強(qiáng)的邏輯思維能力，才能夠在教學(xué)中及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生邏輯思維的錯(cuò)誤。
三、概念不清導(dǎo)致的錯(cuò)誤
概念不清是學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型，主要是由于學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)零碎或模糊，因而出現(xiàn)張冠李戴或認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的現(xiàn)象。
例如，教學(xué)“垂直”時(shí)教師用細(xì)繩拴著一個(gè)鐵錠。
師：細(xì)繩和地面是什么關(guān)系？
生1：細(xì)繩垂直于地面。
師（將細(xì)橫放，與墻面成90°）：現(xiàn)在細(xì)繩和墻面是什么關(guān)系？
生2：不知道。
師：現(xiàn)在細(xì)繩和墻面成90°，所以細(xì)繩垂直于墻面。
生3：但是一般說(shuō)垂直時(shí)，都是豎的，沒(méi)有這樣橫的?。?/p>
師：你們說(shuō)的是生活概念上的垂直，剛剛說(shuō)的是數(shù)學(xué)概念上的垂直。在數(shù)學(xué)概念上，當(dāng)兩條直線相交成90°時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。
教師將相似的概念進(jìn)行對(duì)比能，能讓學(xué)生更清晰地看到其中的區(qū)別，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，以及在審題過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵詞的認(rèn)知，也能避免由于審題不清導(dǎo)致的概念混淆。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；高中數(shù)學(xué)；差異；特點(diǎn)
【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】1671-8437（2012）02-0043-02
一、初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的差異
1.知識(shí)差異
初高中數(shù)學(xué)有很多銜接知識(shí)點(diǎn)，如四種命題、函數(shù)概念等。因此，在講授新知識(shí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識(shí)，復(fù)習(xí)和區(qū)別舊知識(shí)，特別注重對(duì)那些易錯(cuò)易混的知識(shí)加以分析、比較，從而達(dá)到溫故而知新的效果。
例如，在學(xué)習(xí)一元二次不等式解法時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧在初中已學(xué)過(guò)的一元二次方程和二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法做好必要的鋪墊，如：根的判別式，求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系（即“韋達(dá)定理”），二次函數(shù)的圖像等等。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)少、淺、難度容易、知識(shí)面窄，而高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，將對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推廣和引申，也是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“0度～180度”范圍內(nèi)的，但實(shí)際當(dāng)中也有720度和“負(fù)300度”等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負(fù)在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學(xué)習(xí)《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實(shí)體的體積和表面積，還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識(shí)，以便解決排隊(duì)方法種數(shù)等問(wèn)題。如：①三個(gè)人排成一行，有幾種排隊(duì)方法 （答：6種）；②四人進(jìn)行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場(chǎng)次？（答：3種），高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中一個(gè)負(fù)數(shù)開(kāi)平方無(wú)意義，但在高中規(guī)定了i2=-1，就使-1的平方根為±i，即可把數(shù)的概念進(jìn)行推廣，使數(shù)的概念擴(kuò)大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識(shí)只有在高中教師作好新舊知識(shí)的對(duì)照、類(lèi)比、歸納的基礎(chǔ)上才能使學(xué)生輕松理解.
2.學(xué)習(xí)方法的差異
（1）初中課堂教學(xué)量小、知識(shí)簡(jiǎn)單，通過(guò)教師放慢課堂進(jìn)度，爭(zhēng)取讓全體同學(xué)理解知識(shí)點(diǎn)和解題方法，然后通過(guò)大量的課堂內(nèi)、外練習(xí)，課外指導(dǎo)達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解，直到學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)。而高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)隨著課程開(kāi)設(shè)多（有九們課學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)），每天至少上六節(jié)教學(xué)課，三節(jié)自習(xí)課，這樣導(dǎo)致各科學(xué)習(xí)時(shí)間大大減少，而教師布置課外題量相對(duì)初中減少，這樣集中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間相對(duì)比初中少，數(shù)學(xué)教師若像初中那樣監(jiān)督每個(gè)學(xué)生的作業(yè)和課外練習(xí)，就能達(dá)到像初中那樣讓每個(gè)學(xué)生掌握知識(shí)后再進(jìn)行新課。
（2）模仿與創(chuàng)新的區(qū)別：初中學(xué)生模仿做題，他們模仿老師思維推理較多，而高中學(xué)生除了模仿做題還有推理思維，但隨著知識(shí)難度的增大和知識(shí)面的擴(kuò)展，學(xué)生不能全部依靠模仿，即使學(xué)生全部模仿訓(xùn)練做題，也不能開(kāi)拓自我思維能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)也只能是中等水平。如學(xué)生在解決：比較a與2a的大小時(shí)要不是錯(cuò)，要不就答不全面，大多數(shù)學(xué)生不會(huì)分類(lèi)討論。
3.學(xué)生自學(xué)能力的差異
初中學(xué)生自學(xué)能力低，大凡考試中所用的解題方法和數(shù)學(xué)思想，都是經(jīng)過(guò)初中教師已反復(fù)訓(xùn)練的，老師把要自己高度深刻理解的問(wèn)題，集中表現(xiàn)在他的講解和大量的訓(xùn)練中，學(xué)生只需要熟記結(jié)論就可以做題（不全是），學(xué)生不需自學(xué)。但高中的知識(shí)面廣，教師要對(duì)高考中所有類(lèi)型的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練是不可能的，只有通過(guò)較少的、較典型的一兩道例題的講解讓學(xué)生自己去融會(huì)貫通該一類(lèi)型習(xí)題。如果不自學(xué)、不靠大量的閱讀理解，將會(huì)使學(xué)生不知道該一類(lèi)型習(xí)題的解法。另外，科學(xué)在不斷的發(fā)展，考試在不斷的改革，高考也隨著全面的改革，不斷的深入，數(shù)學(xué)題型的開(kāi)發(fā)變得多樣化，近年來(lái)提出了應(yīng)用型題、探索型題和開(kāi)放型題，只有靠學(xué)生的自學(xué)才能深刻理解這些類(lèi)型題的真正意義，學(xué)生的創(chuàng)新才能適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。其實(shí)，自學(xué)能力的提高也是一個(gè)人生活的需要，它從一個(gè)方面也代表了一個(gè)人的素養(yǎng)，人的一生只有18-24年時(shí)間是有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)，最精彩的是一生學(xué)習(xí)，靠自學(xué)最終達(dá)到自強(qiáng)自立。
4.思維習(xí)慣上的差異
初中學(xué)生由于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍小，知識(shí)層次低，知識(shí)面窄，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的思維受到了局限，就幾何來(lái)說(shuō)，我們接觸的都是現(xiàn)實(shí)生活中三維空間，但初中只學(xué)了平面幾何，那么就不能對(duì)三維空間進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯思維和判斷。代數(shù)中數(shù)的范圍只限定在實(shí)數(shù)中思維，就不能深刻的解決方程根的類(lèi)型等。高中數(shù)學(xué)知識(shí)的多元化和廣泛性，將會(huì)使學(xué)生全面、細(xì)致、深刻、嚴(yán)密的分析和解決問(wèn)題，也將培養(yǎng)學(xué)生高素質(zhì)思維，提高學(xué)生的思維遞進(jìn)性。
二、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化
1.數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上突變
初、高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語(yǔ)言方式進(jìn)行表達(dá)，而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及非常抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言、函數(shù)語(yǔ)言、圖象語(yǔ)言等。
2.思維方法向理性層次躍遷
高一學(xué)生遇到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個(gè)原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生學(xué)習(xí)方便將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等，因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的，便于操作的定勢(shì)方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績(jī)下降。
3.知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增
高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)又一個(gè)明顯的區(qū)別是知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇上升，單位時(shí)間內(nèi)接受知識(shí)信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習(xí)、消化的知識(shí)時(shí)相應(yīng)地減少了。
4.知識(shí)的獨(dú)立性大
[關(guān)鍵詞]中小學(xué)；數(shù)學(xué)；解題教學(xué)
[中圖分類(lèi)號(hào)]G420 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1002-4808(2010)05-0038-05
美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.P.Halmos)說(shuō)： “數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G?波利亞(ceorge Polya)稱(chēng)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。”羅增儒先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無(wú)例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)。”張乃達(dá)先生指出，“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該以解題為中心”“解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最好手段”?？梢?jiàn)，在數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家眼里，解題和解題教學(xué)具有舉足輕重的地位。的確，在數(shù)學(xué)教育中，無(wú)論是概念的形成，定理、公式、結(jié)論的推導(dǎo)，還是過(guò)程、方法的探索都離不開(kāi)解題教學(xué)。解題教學(xué)之所以重要與其教學(xué)功能有著極大的關(guān)系。由于解題的每一步都離不開(kāi)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，因此，解題既是對(duì)原有知識(shí)和技能的應(yīng)用，又可保持并鞏固相應(yīng)知識(shí)的記憶，提高相應(yīng)技能的熟練程度；通過(guò)解題教學(xué)還可使學(xué)生提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，因此，數(shù)學(xué)教育中解題教學(xué)幾乎成了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的必不可少的手段。
一、解題教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分
中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱、教材和課堂教學(xué)多年來(lái)都注重基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握，因此也都強(qiáng)調(diào)解題的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)教材中提供了解題教學(xué)的例題、課堂練習(xí)和課后習(xí)題，課堂內(nèi)外都充滿了解題教學(xué)和解題訓(xùn)練，中國(guó)因而常常被稱(chēng)為“解題大國(guó)”。
1952年教育部頒發(fā)的《中學(xué)暫行規(guī)程(草案)》中，提出了中學(xué)的教育目標(biāo)之一是使學(xué)生獲得“現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能”，這是我國(guó)首次明確提出數(shù)學(xué)“雙基”的教學(xué)。之后，在歷次教學(xué)大綱和教材編寫(xiě)指導(dǎo)思想中都十分注重強(qiáng)調(diào)“雙基”的教學(xué)。1963年教育部頒布的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》明確指出：為了保證學(xué)生牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，具有正確而迅速的計(jì)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和空間觀念，并且能夠靈活運(yùn)用，必須切實(shí)地加強(qiáng)練習(xí)。 事實(shí)上，小學(xué)數(shù)學(xué)大綱和中學(xué)數(shù)學(xué)大綱一樣。同樣提出了“雙基”和加強(qiáng)練習(xí)的要求，重視解題教學(xué)。為了切實(shí)掌握和鞏固“雙基”，培養(yǎng)學(xué)生的三大能力，尤其是正確迅速的運(yùn)算能力，教學(xué)大綱要求必須切實(shí)加強(qiáng)練習(xí)。因此，教學(xué)中教師大量講解例題，學(xué)生的課內(nèi)外作業(yè)幾乎都是解題訓(xùn)練，解題教學(xué)成為學(xué)生理解和深化數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生技能技巧，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維方式的重要教學(xué)活動(dòng)和手段，也成為了我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，甚至成為我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢(shì)和特色。在數(shù)學(xué)課程加強(qiáng)邏輯系統(tǒng)性，教學(xué)內(nèi)容崇尚邏輯嚴(yán)密的年代，中國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練的分析研究，總結(jié)出了“講深講透”“精講多練”等提高解題教學(xué)水平的方法，“變式教學(xué)”則是所謂“精講多練”方法之精髓所在。扎扎實(shí)實(shí)的解題教學(xué)尤其是針對(duì)英才的解題教學(xué)還使我國(guó)在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽上自1986年以來(lái)連續(xù)15次取得了令國(guó)際矚目的佳績(jī)。由此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)在我國(guó)數(shù)學(xué)教育中的重要地位更加明顯。
二、解題教學(xué)的一些主要問(wèn)題爭(zhēng)鳴與反思
建國(guó)以來(lái)，我國(guó)一直重視數(shù)學(xué)解題教學(xué)。1977年之后，由于出現(xiàn)了“千軍萬(wàn)馬過(guò)獨(dú)木橋”的趨勢(shì)，應(yīng)試教育開(kāi)始加劇，富有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)解題教學(xué)被異化，精講多練發(fā)展成“題海戰(zhàn)術(shù)”，解題思維教學(xué)變成解題模仿教學(xué)。人們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)踐中出現(xiàn)了不同的傾向，認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生了分歧，我們把這些都作為數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的爭(zhēng)鳴問(wèn)題予以討論。
(一)解題教學(xué)是模仿教學(xué)，還是思維教學(xué) 在我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)并不一致，引起了解題教學(xué)行為的不同傾向：解題教學(xué)是教學(xué)生學(xué)會(huì)模仿做題?還是教學(xué)生學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)思考?這也是一直有爭(zhēng)議的問(wèn)題。 眾所周知，行為主義、認(rèn)知主義和建構(gòu)主義教學(xué)理論對(duì)數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)產(chǎn)生了很大影響。就數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，這些學(xué)派的教學(xué)理論影響著我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，廣大教師對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)也常常出現(xiàn)觀念上的不同，從而引起實(shí)際教學(xué)行為的差異，出現(xiàn)解題教學(xué)的不同傾向。那么，解題教學(xué)究竟應(yīng)該屬于模仿教學(xué)，還是屬于思維教學(xué)呢? 一種傾向：解題教學(xué)是模仿教學(xué)。 模仿教學(xué)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是解題教學(xué)以教師課堂解例題為示范，學(xué)生課后模仿練習(xí)為主，把教學(xué)建立在學(xué)生的模仿性、被動(dòng)性和依賴(lài)性上，實(shí)質(zhì)是一種接受學(xué)習(xí)。追溯模仿教學(xué)的起源，在教學(xué)論發(fā)展史上可以溯源到17世紀(jì)捷克教育家夸美紐斯倡導(dǎo)的“自然適應(yīng)”的直觀性和鞏固性教學(xué)原則，強(qiáng)調(diào)觀察、“模仿+記憶”的方法對(duì)學(xué)習(xí)的作用。美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾對(duì)接受學(xué)習(xí)有系統(tǒng)論述。 “模仿教學(xué)”以行為主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題教學(xué)行為上“刺激一反應(yīng)”的變化。 模仿教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)實(shí)踐有很大影響，許多教師認(rèn)為解題教學(xué)就是教師例題示范，學(xué)生練習(xí)模仿，課堂教學(xué)就是給學(xué)生講清解題思路與步驟，學(xué)生解題時(shí)模仿效法。持這種觀點(diǎn)的人們認(rèn)為，中小學(xué)生具有較大的可塑性，模仿能力強(qiáng)，在解題教學(xué)中，不需要向?qū)W生解釋過(guò)多的道理，只要認(rèn)真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學(xué)生進(jìn)行模仿，就可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解題方法，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的目的。特別是對(duì)低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于智力發(fā)展尚未成熟，模仿是一種不可替代的解題教學(xué)方法。這里要說(shuō)明的是，模仿不是生搬硬套的仿效，而是一種有意義的接受學(xué)習(xí)，模仿使學(xué)生逐漸獲得解題的基本思路、方法和技能，漸漸地由生變熟，直到駕輕就熟，達(dá)到提高解題能力的目的。因此認(rèn)為，模仿是學(xué)生學(xué)會(huì)解題的一種基本方法，解題教學(xué)屬于模仿教學(xué)。 另一種傾向：解題教學(xué)是思維教學(xué)。 思維教學(xué)，是指解題教學(xué)不僅在于解題基本活動(dòng)形式本身，更重要的是解題認(rèn)知活動(dòng)思維的產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。思維教學(xué)最早可以追溯到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，18世紀(jì)法國(guó)啟蒙運(yùn)動(dòng)思想家、教育家盧梭曾倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)，現(xiàn)代美國(guó)
教育心理學(xué)家布魯納則對(duì)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)有過(guò)精辟的論述。思維教學(xué)是建立在以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的認(rèn)知心理學(xué)的基礎(chǔ)之上的，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化。 堅(jiān)持解題教學(xué)是思維教學(xué)的人認(rèn)為，解題教學(xué)的本質(zhì)是思維教學(xué)。第一，解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)，而活動(dòng)的本質(zhì)屬性是解題思維的活動(dòng)。因此，解題教學(xué)就其本質(zhì)來(lái)說(shuō)，是對(duì)解題思路的分析活動(dòng)，是對(duì)解題方法的感悟與思考，是對(duì)學(xué)生解題思維活動(dòng)的調(diào)動(dòng)與展開(kāi)，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生理解及概括水平的培養(yǎng)。第二，解題教學(xué)是學(xué)生解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過(guò)程教學(xué)。奧加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中曾指出：“思維和解題過(guò)程的密切聯(lián)系是公認(rèn)的。著名心理學(xué)家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過(guò)這種聯(lián)系：‘在心理中，思維被看作是解題活動(dòng)。’雖然思維并非總等同于解題過(guò)程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)?！币虼耍忸}教學(xué)不僅要向?qū)W生暴露“怎樣解題”的思維過(guò)程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學(xué)會(huì)解”的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生的解題思維活動(dòng)顯性化，也就是多讓學(xué)生進(jìn)行交流思考，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到自己解決問(wèn)題的依據(jù)、步驟、原因和所產(chǎn)生的思維障礙。換言之，解題教學(xué)的金科玉律是達(dá)到對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的目的，因而，解題教學(xué)本質(zhì)上應(yīng)該是一種思維教學(xué)。 模仿教學(xué)在一線教學(xué)中較為普遍，尤其在小學(xué)和初中階段更普遍，這種解題教學(xué)的直接結(jié)果就是學(xué)生聽(tīng)得懂但并不真正會(huì)解題，因?yàn)閷W(xué)生并沒(méi)理解為什么要這樣做，即學(xué)生不能理解解題活動(dòng)的本質(zhì)，例如，當(dāng)讓學(xué)生對(duì)x2+px+q進(jìn)行配方時(shí)，學(xué)生卻當(dāng)作方程來(lái)解或?qū)ζ溥M(jìn)行因式分解，“只能就題論題地掌握某具體活動(dòng)的外部操作方式”。模仿教學(xué)長(zhǎng)此以往將會(huì)削弱學(xué)生學(xué)習(xí)技能內(nèi)化的質(zhì)量，阻礙學(xué)生思維品質(zhì)的提高，究其緣由是對(duì)解題教學(xué)的本質(zhì)與功能缺乏深刻認(rèn)識(shí)所致。 “模仿+記憶”的套路式的解題教學(xué)適應(yīng)于學(xué)習(xí)的初始階段，盡管模仿教學(xué)能適應(yīng)考試，但模仿教學(xué)是一種機(jī)械學(xué)習(xí)，不能創(chuàng)新，不能作為一種模式持久下去。
在素質(zhì)教育觀下解題更應(yīng)有解題理解，獲得對(duì)數(shù)學(xué)解題認(rèn)知思維結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，獲得對(duì)解題思想方法的元認(rèn)知認(rèn)識(shí)，如解題思維過(guò)程：用什么方法去做?為什么要用這個(gè)方法?是否還有更好的方法?哪一種方法最優(yōu)?等等。這實(shí)際是獲得對(duì)解題認(rèn)知活動(dòng)的元認(rèn)知?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”，解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方法，這才是解題教學(xué)的根本目的。
(二)解題教學(xué)是堅(jiān)持“題海戰(zhàn)術(shù)”，還是倡導(dǎo)“精講精練” 解題教學(xué)方法是指數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)的具體實(shí)現(xiàn)方式， “題海戰(zhàn)術(shù)”與“精講精練”是實(shí)施解題活動(dòng)的兩種基本對(duì)立的形式。從方法論的角度來(lái)看，兩種方法的不同不僅在于解題量的“多”與“少”的問(wèn)題，而且反映兩種不同的數(shù)學(xué)教育觀、解題教學(xué)觀和解題觀的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)反映了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一個(gè)根本性的有爭(zhēng)鳴的認(rèn)識(shí)問(wèn)題：數(shù)學(xué)解題教學(xué)是要做大量的題，還是只需做少量的題?
一種傾向：解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持“題海戰(zhàn)術(shù)”。
題海是客觀存在的課程資源，題海戰(zhàn)術(shù)就是讓學(xué)生做大量的題，熟悉各種題型及其解法。堅(jiān)持解題教學(xué)是“題海戰(zhàn)術(shù)”的教師認(rèn)為： “題海戰(zhàn)術(shù)”對(duì)提高學(xué)生的能力有一定的積極作用。 “題海戰(zhàn)術(shù)”既是我國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承，更是我國(guó)解題教學(xué)的法寶。我國(guó)古代提倡的“熟能生巧”“拳不離手，曲不離口”“熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì)作詩(shī)也會(huì)吟”的古訓(xùn)都顯示了大量訓(xùn)練對(duì)學(xué)習(xí)的重要性。我國(guó)學(xué)生多次在國(guó)際性評(píng)估中成績(jī)名列前茅的事實(shí)，從正面肯定了我們的傳統(tǒng)做法：大量數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練和經(jīng)常性測(cè)驗(yàn)考試，是提高成績(jī)的有效途徑。不少教學(xué)質(zhì)量較高的學(xué)校，尤其是高考升學(xué)率高的學(xué)校，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，甚至多屆全國(guó)高考狀元，在談到成功的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，都對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”抱以肯定的態(tài)度。根據(jù)行為主義理論，人類(lèi)的學(xué)習(xí)行為是操作性條件反射的結(jié)果，是教學(xué)環(huán)境的刺激和學(xué)習(xí)行為反應(yīng)之間的聯(lián)接，它隨練習(xí)次數(shù)的增多而加強(qiáng)。因此，在解題教學(xué)中，學(xué)生不涉入“題?！?，不經(jīng)過(guò)足夠的訓(xùn)練，是不可能真正掌握解題方法和解題思路的，解題能力也是難以提高的。大多數(shù)一線教師在教學(xué)實(shí)踐中感觸頗深，學(xué)生只有通過(guò)大量的做題訓(xùn)練，才能加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，才能提高解題技巧和答題速度。因此認(rèn)為， “題海戰(zhàn)術(shù)”對(duì)于解題教學(xué)，是非常必要的，應(yīng)該堅(jiān)持。
另一種傾向：解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)“精講精練”。
“精講精練”與“題海戰(zhàn)術(shù)”相對(duì)立， “精講”在德國(guó)教育家瓦根舍因“范例教學(xué)”的教學(xué)論思想中也有體現(xiàn)，意指教師在解題教學(xué)中要選擇真正基礎(chǔ)的本質(zhì)的知識(shí)作為解題教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)“范例”內(nèi)容的講授，使學(xué)生達(dá)到舉一反三掌握同一類(lèi)知識(shí)規(guī)律的方法。“精練”的含義與“精講”相得益彰，堅(jiān)持解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)“精講精練”，符合波利亞數(shù)學(xué)解題思想。波利亞反對(duì)讓學(xué)生做大量的題，認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)教師，“如果把分配給他的時(shí)間塞滿了例行運(yùn)算來(lái)訓(xùn)練他的學(xué)生，他就扼殺了學(xué)生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展……”。換言之，與其讓學(xué)生做大量的反復(fù)性的題目，還不如選擇一個(gè)體現(xiàn)多種思想方法功能的又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過(guò)這道題目，獲得對(duì)數(shù)學(xué)解題思想與方法的認(rèn)識(shí)。 “精講”的目的在于促使學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，而不是要學(xué)生被“填鴨式”地灌輸知識(shí)，要使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能夠遷移到其他方面，進(jìn)一步發(fā)展新的學(xué)習(xí)知識(shí)。同時(shí)“精練”也不是“不練”，而是“練”要有尺度，體現(xiàn)度和量的有機(jī)統(tǒng)一。因此，解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)“精講精練”。 我國(guó)數(shù)學(xué)解題教學(xué)長(zhǎng)期倡導(dǎo)“精講多練”，但“多練”的度難以把握，在應(yīng)試教育的氛圍下，多練常被異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”?！邦}海戰(zhàn)術(shù)”的本質(zhì)是要做大量的題，以達(dá)到“熟能生巧”的目的?！邦}海戰(zhàn)術(shù)”是應(yīng)試教育的產(chǎn)物，目前，在片面追求升學(xué)率的影響下，扎扎實(shí)實(shí)地進(jìn)行著“題海戰(zhàn)術(shù)”式的強(qiáng)化訓(xùn)練在中小學(xué)常見(jiàn)，表現(xiàn)為，為應(yīng)付各類(lèi)考試，教師們讓學(xué)生進(jìn)行著大量反復(fù)的題型、題組訓(xùn)練，以期從量變到質(zhì)變，達(dá)到考試得高分的目的?？荚囋囶}是“題海戰(zhàn)術(shù)”的風(fēng)向標(biāo)，由于中考、高考中時(shí)有偏題、怪題出現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，忽視傳統(tǒng)題常規(guī)題的典范作用及“雙基”的訓(xùn)練，忽視思維過(guò)程的教學(xué)，而一味追求解題的新、奇、巧，追求偏題怪題的現(xiàn)象普遍存在。這樣，師生在題海中越陷越深，“題海戰(zhàn)術(shù)”越演越烈，最終導(dǎo)致在課堂上數(shù)學(xué)教學(xué)演變?yōu)榧兘忸}教學(xué)，解題教學(xué)則被異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”。
“題海戰(zhàn)術(shù)”是與應(yīng)試教育相伴而生的一種教育現(xiàn)象，“題海戰(zhàn)術(shù)”從出現(xiàn)至今就一直存在爭(zhēng)議，其根源在于教育考試制度的弊端。 “題海戰(zhàn)術(shù)”加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)，并且損害學(xué)生身心健康，這是與數(shù)學(xué)素質(zhì)教育背道而馳的。我們應(yīng)當(dāng)清醒地認(rèn)識(shí)其危害性，積極
進(jìn)行解題教學(xué)改革，提高解題教學(xué)效益，應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)解題教學(xué)素質(zhì)教育教學(xué)目標(biāo)，在解題教學(xué)中大力推進(jìn)實(shí)施“精講精練”，把學(xué)生和教師從題海里解放出來(lái)，使數(shù)學(xué)素質(zhì)教育得到真正落實(shí)。從多練到精練不僅有認(rèn)識(shí)觀點(diǎn)上的激烈碰撞，還有教學(xué)方法的重大改革，還需進(jìn)行積極探索。
(三)解題教學(xué)中應(yīng)用題教學(xué)是否應(yīng)當(dāng)劃分問(wèn)題類(lèi)型
建國(guó)以來(lái)，應(yīng)用題一直是我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，在教材中具有極其重要的位置。解放初期，我國(guó)各行業(yè)百?gòu)U待興，“向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)”成為當(dāng)時(shí)的重要選擇。1952年頒布的建國(guó)后第一個(gè)教學(xué)大綱，遵循了“對(duì)蘇聯(lián)大綱的內(nèi)容和體系一般不做大的改動(dòng)”“先搬過(guò)來(lái)后中國(guó)化”的指導(dǎo)思想，以當(dāng)時(shí)蘇聯(lián)初等學(xué)校教學(xué)大綱為藍(lán)本編制而成，對(duì)應(yīng)用題劃分類(lèi)型的做法隨之從蘇聯(lián)傳入我國(guó)。在1956年修訂大綱中，應(yīng)用題類(lèi)型名稱(chēng)又被一一列出，如歸一問(wèn)題、倍比問(wèn)題、相遇問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、工程問(wèn)題、行程問(wèn)題等。
自應(yīng)用題類(lèi)型名稱(chēng)在我國(guó)出現(xiàn)后，圍繞這個(gè)問(wèn)題的爭(zhēng)鳴便沒(méi)有間斷過(guò)，特別是20世紀(jì)80年代曾開(kāi)展過(guò)大討論，并出現(xiàn)了截然不同，甚至是完全對(duì)立的觀點(diǎn)。
一種傾向：應(yīng)用題教學(xué)不應(yīng)劃分問(wèn)題類(lèi)型。
堅(jiān)持應(yīng)用題教學(xué)不應(yīng)劃分問(wèn)題類(lèi)型的教師認(rèn)為：教師在教學(xué)中，把各種應(yīng)用題劃分為不同的問(wèn)題類(lèi)型，致使應(yīng)用題教學(xué)“模式化”。學(xué)生把學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在死記硬背問(wèn)題類(lèi)型、生搬硬套解題程序上。學(xué)生做題時(shí)，往往是首先辨別問(wèn)題類(lèi)型，然后模仿解題套路，而較少對(duì)其中的算理進(jìn)行深入思考。長(zhǎng)此以往，將會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生思維的發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。特別是，在應(yīng)試教育的影響下，教師為了讓學(xué)生牢固掌握各種類(lèi)型的應(yīng)用題，常會(huì)采用“題海戰(zhàn)術(shù)”的做法，布置大量的不同類(lèi)型的應(yīng)用題，不僅加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，更易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，更何況有些應(yīng)用題是根本不能劃分類(lèi)型的。因此，應(yīng)用題教學(xué)不需要?jiǎng)澐謫?wèn)題題型。
另一種傾向：應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)該劃分問(wèn)題類(lèi)型。
堅(jiān)持應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)該劃分問(wèn)題類(lèi)型的教師認(rèn)為：數(shù)學(xué)本來(lái)就是一門(mén)關(guān)于模式的科學(xué)。把應(yīng)用題分為不同的問(wèn)題類(lèi)型，可以讓學(xué)生從總體上把握應(yīng)用題的概貌，辨析各類(lèi)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征，把握各種題型的解題方法。對(duì)應(yīng)用題劃分不同類(lèi)型，不僅有利于發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，而且可以提高解題速度。再者，典型類(lèi)型的應(yīng)用題是各種較復(fù)雜應(yīng)用題的組成部分。只有掌握了典型類(lèi)型的應(yīng)用題，才能更好地解決各種不同的應(yīng)用題?？傊?，把應(yīng)用題劃分為不同問(wèn)題類(lèi)型，對(duì)于教師的教和學(xué)生的學(xué)都是非常有益的。我們何樂(lè)而不為呢!
在應(yīng)用題教學(xué)中，把應(yīng)用題劃分為不同問(wèn)題類(lèi)型，既有利，也有弊。我們認(rèn)為，應(yīng)用題教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)和解決特定類(lèi)型的應(yīng)用題，重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。在現(xiàn)實(shí)生活中，有些實(shí)際問(wèn)題難以劃歸為哪種問(wèn)題類(lèi)型，要解決這樣的問(wèn)題，學(xué)生只能認(rèn)真分析題意，挖掘題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，尋找解題思路，從而得到問(wèn)題的答案。如果教師在教學(xué)中過(guò)于重視應(yīng)用題分類(lèi)教學(xué)，那么學(xué)生對(duì)難以說(shuō)清屬于哪類(lèi)問(wèn)題類(lèi)型的題目將很不適應(yīng)，甚至是束手無(wú)策。所以，對(duì)于應(yīng)用題教學(xué)，我們的觀點(diǎn)是，應(yīng)用題教學(xué)可以作為讓學(xué)生了解介紹一點(diǎn)應(yīng)用題的問(wèn)題類(lèi)型，但是不應(yīng)過(guò)于關(guān)注應(yīng)用題的問(wèn)題類(lèi)型。應(yīng)用題解題教學(xué)時(shí)要通過(guò)認(rèn)真分析題意，探尋題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，重點(diǎn)放在學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)上。
(四)解題教學(xué)中“問(wèn)題解決”是否應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學(xué)
在國(guó)際數(shù)學(xué)問(wèn)題解決潮流進(jìn)入我國(guó)之后，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育方面的專(zhuān)家學(xué)者為了讓我國(guó)數(shù)學(xué)解題教學(xué)擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”的困境，大力提倡“問(wèn)題解決”。隨著素質(zhì)教育的推進(jìn)，特別是在新課程改革背景下，數(shù)學(xué)教育的觀念、教學(xué)內(nèi)容和教育方法都發(fā)生了深刻的變化，傳統(tǒng)解題教學(xué)更是成為眾矢之的，遭到許多人的指責(zé)， “問(wèn)題解決”教學(xué)大有替代傳統(tǒng)的解題教學(xué)之勢(shì)。在這一背景下，對(duì)于“問(wèn)題解決”是否應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學(xué)出現(xiàn)了不同的看法。
一種傾向： “問(wèn)題解決”教學(xué)應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學(xué)。
傳統(tǒng)解題教學(xué)中面對(duì)的題目往往是一些人為編造的、屬于特定類(lèi)型的題目，它們具有接受性、封閉性和確定性等特征，其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的，答案確定、條件不多不少，解題的過(guò)程只是套題型之后的“算法化”。傳統(tǒng)解題教學(xué)的題目更多的是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)程序化的規(guī)律性的東西，對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練作用大打折扣。社會(huì)的進(jìn)步要求人們具有現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，具有發(fā)現(xiàn)、提取、分析和處理信息的能力。從這個(gè)角度來(lái)看，原來(lái)的傳統(tǒng)解題教學(xué)極不適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)所必需的收集處理信息數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、合情推理以及估計(jì)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)籌和優(yōu)化意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等各種能力要求，極不利于國(guó)家創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。因此一些人認(rèn)為，問(wèn)題解決教學(xué)應(yīng)該替代傳統(tǒng)解題教學(xué)。
另一種傾向：“問(wèn)題解決”教學(xué)不應(yīng)替代傳統(tǒng)解題教學(xué)。
關(guān)鍵詞：選填題 分類(lèi) 解題策略
中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）05（a）-0076-01
數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題都是命題者為達(dá)到某種檢查目的而編制的，命題思想必然在題型上反映出來(lái)。我們?cè)趯忣}的時(shí)候，如果能針對(duì)問(wèn)題的類(lèi)型，提出相應(yīng)的策略，就是一種很強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力。
按照編制特點(diǎn)與檢查功能，選填題大致可分為下面三種類(lèi)型。
1 基本技能題
基本技能題主要是檢查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念與公式法則的正確理解、簡(jiǎn)單運(yùn)用以及基本推理能力和基本運(yùn)算能力，基本技能題是考試中選填題的主要類(lèi)型。下面是一道基本技能題：
給出下面三個(gè)命題：
（1）有兩個(gè)面平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱。
（2）有兩個(gè)側(cè)面垂直底面的棱柱是直棱柱。
（3）底面是正三角形，且每個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐。
則其中正確的命題有（ ）。
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
問(wèn)題是典型的概念題，正確解答概念題，需要對(duì)問(wèn)題所涉及到的概念有準(zhǔn)確的理解。比如命題（1），首先了解“棱柱”的概念，然后將命題中的語(yǔ)句與定義中的語(yǔ)句進(jìn)行比較，判斷兩者之間是否等價(jià)。只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)思考才能判定“其余的各個(gè)面都是平行四邊形”與定義中的“其余的各個(gè)面都是平行四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”不是等價(jià)說(shuō)法，因?yàn)楹笳哌€要求所有平行四邊形都順次排成一圈。在命題（2）中“有兩個(gè)側(cè)面垂直底面”與“側(cè)棱垂直底面”的定義并不等價(jià)，如果命題改為“兩個(gè)相鄰側(cè)面垂直底面”才與定義完全等價(jià)。在命題（3）中“三個(gè)側(cè)面都是等腰三角形”與定義中的“頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心”也不等價(jià)，因?yàn)榈妊切蔚难灰欢ㄊ莻?cè)棱，故問(wèn)題應(yīng)選A。
解答概念題需要嚴(yán)密思維，對(duì)命題與概念都要逐字逐句反復(fù)琢磨，稍有疏忽就會(huì)失分。
2 方法題
“方法型”選填題是經(jīng)命題者有意編制，需要用某種特殊方法完成的題型。這種題型又包含兩種形式，有些命題可以直接用基本方法解答，但難度較大，甚至可能超過(guò)規(guī)定時(shí)間的數(shù)倍，若用特殊方法求解則可輕而易舉得到結(jié)果。另一種情況是命題無(wú)法直接求解，必須考慮特殊方案。在解選填題中常用的方法是：篩選法、檢驗(yàn)法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合、歸納、換元、轉(zhuǎn)換命題等。下面選編了一組典型的方法題：
問(wèn)題1：若，，，，
則之間的大小為（ ）。
A. B.
C. D.
問(wèn)題2：函數(shù)的最小值是_____，最大值是____。
在上述兩個(gè)問(wèn)題中，1可作為“基本技能題”進(jìn)行求解，但過(guò)程比較復(fù)雜。針對(duì)問(wèn)題1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可對(duì)，與比較大小，但是很費(fèi)時(shí)間。這時(shí)用兩個(gè)特殊值代入就很簡(jiǎn)便，比如令，，易得：，，因此選A。但必須注意：如果四個(gè)選擇支中有不確定的答案，絕對(duì)不可使用特殊值法。
對(duì)于問(wèn)題2，似乎很難下手，這種情況下，一般都要采取特殊方法。注意到問(wèn)題3中函數(shù)的定義域?yàn)?≤≤5，令（≤≤）。換元后，函數(shù)變?yōu)?，由≤≤，可得，?/p>
3 陷阱題
“陷阱題”是命題者精心設(shè)計(jì)的一種題型。這種題型以選擇題為主，編題時(shí)常常在選擇支中設(shè)置一些似是而非的答案，如果基本功不扎實(shí)，思維不夠嚴(yán)密，就很難逾越這些陷阱。
編制“陷阱題”主要抓住一些很容易疏忽的數(shù)學(xué)內(nèi)容，比如：函數(shù)極值、方程求解、三角求值等問(wèn)題。請(qǐng)看下面的例子：
若，為常數(shù)，，為變量，，，，都是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）。
A. B.
C. D.
對(duì)于該問(wèn)題，很容易得到下面的解法：
=（）（+）≥?，因此答案B將很多學(xué)生給蒙騙了?！跋葳濉盉的作用主要是激緒上的興奮，只有思維很?chē)?yán)密的學(xué)生才會(huì)考慮到必須檢驗(yàn)等號(hào)是否成立。事實(shí)上，B的答案是達(dá)不到的，必須調(diào)整做法：=（）（）=++≥，經(jīng)驗(yàn)證等號(hào)可以成立。故應(yīng)選A。
“陷阱題”雖然比較難對(duì)付，但熟悉了這種題型的特征，再通過(guò)選填題的訓(xùn)練，思考問(wèn)題嚴(yán)謹(jǐn)了，掉入“陷阱”的可能性就會(huì)越來(lái)越小。
綜上所述，我們對(duì)數(shù)學(xué)選填題的基本類(lèi)型與解題策略做了一些討論，解決一道較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以用基本解法、變換解法以及構(gòu)造解法等。在所有的解法中，最重要的還是基本解法。平時(shí)做題應(yīng)多考慮基本解法，功底深厚了，再去探索一些好的思路，不斷提高變換、構(gòu)造及抽象思維能力，才能在考場(chǎng)中神機(jī)妙算，迅速制定出最佳方案。
參考文獻(xiàn)
一、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的主要特征及類(lèi)型
1.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的主要特征
對(duì)于小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)而言，不僅是有課堂提問(wèn)的特征，還要能夠反映小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，其中最為主要的特征就是問(wèn)題的設(shè)置有著很強(qiáng)的層次性，這一特點(diǎn)的顯示主要就是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的程度進(jìn)行的反映。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的內(nèi)容是由教學(xué)的內(nèi)容直接決定的，所以能夠?qū)⑿W(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)氛圍分為低層次認(rèn)知提問(wèn)和高層次認(rèn)知提問(wèn)，其中在低層次認(rèn)知提問(wèn)方面主要就是知識(shí)層次的提問(wèn)和理解層次的提問(wèn)一會(huì)應(yīng)用層次的提問(wèn)。
2.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的類(lèi)型
按照提問(wèn)的信息交流方式進(jìn)行對(duì)其加以分類(lèi)，能夠分為泛指式提問(wèn)以及反詰式提問(wèn)和特指式提問(wèn)等。還有就是根據(jù)老師的發(fā)問(wèn)方式以及作用進(jìn)行分類(lèi)，能夠?qū)⑵浞譃檫x擇式提問(wèn)和查考式提問(wèn)等，按照課堂的提問(wèn)具體方式能夠分為直問(wèn)以及曲問(wèn)，快問(wèn)以及慢問(wèn)等提問(wèn)類(lèi)型?？傊?，針對(duì)多種的提問(wèn)方式在具體的應(yīng)用過(guò)程中要能夠遵循實(shí)際情況加以實(shí)施，這樣才能夠達(dá)到提問(wèn)的真正效果。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)策略實(shí)施原則及具體策略實(shí)施
1.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)策略實(shí)施原則
對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)策略實(shí)施的過(guò)程中，要能夠遵循相應(yīng)的原則，這樣才能夠?qū)⑵渥饔玫玫匠浞值陌l(fā)揮。首先要遵循突出重點(diǎn)難易適度的原則，由于小學(xué)生自身的思維意識(shí)還沒(méi)有成熟，所以要能夠在提問(wèn)的難易上得到有效把控，要能夠適合這一階段學(xué)生的思維能力。
2.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)教學(xué)策略具體實(shí)施
通過(guò)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)教學(xué)情況的了解，要對(duì)提問(wèn)的策略實(shí)施從多方面進(jìn)行著手，每一個(gè)環(huán)節(jié)都要能夠進(jìn)行合理化的設(shè)計(jì)。要精心對(duì)提問(wèn)的問(wèn)題加以設(shè)計(jì)，保證提問(wèn)的科學(xué)性，根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行提問(wèn)設(shè)計(jì)。新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)每節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)都有著相應(yīng)的規(guī)定，故此老師要對(duì)其問(wèn)題的設(shè)計(jì)結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在具體的設(shè)計(jì)策略上可通過(guò)抓住盲點(diǎn)進(jìn)行對(duì)問(wèn)題設(shè)計(jì)，這里的盲點(diǎn)就是正常思維當(dāng)中不易被注意，而在運(yùn)用過(guò)程中對(duì)學(xué)生的正確思維能夠產(chǎn)生影響的問(wèn)題。
例如：在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的質(zhì)數(shù)以及分解質(zhì)因數(shù)和合數(shù)的講授過(guò)程中，在學(xué)生明白了質(zhì)數(shù)以及合數(shù)的相關(guān)理論概念之后，就可對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)，“‘1’是什么數(shù)？”很快就會(huì)有學(xué)生回答是“質(zhì)數(shù)”。然后繼續(xù)進(jìn)行追問(wèn)，“1”除了自身有無(wú)別的約數(shù)？通過(guò)這樣的提問(wèn)，就能夠很快讓學(xué)生明白，“1”既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)，這樣就達(dá)到了對(duì)盲點(diǎn)問(wèn)題的解決，對(duì)學(xué)生的思維廣度起到了有效拓展。
再者，還可和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律對(duì)問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)，以及通過(guò)和因材施教的原則相結(jié)合進(jìn)行問(wèn)題的設(shè)計(jì)，這些方法的使用都能夠?qū)⒄n堂提問(wèn)的效率得到有效提升。教師在實(shí)際的提問(wèn)過(guò)程中，要對(duì)問(wèn)題的提問(wèn)層次進(jìn)行重視，要考慮到不同層次學(xué)生的發(fā)展情況。針對(duì)一些基礎(chǔ)性以及綜合體的提問(wèn)主要就是對(duì)教學(xué)效果的鞏固，這些問(wèn)題要考慮中等成績(jī)的學(xué)生，設(shè)計(jì)問(wèn)題難度不能太大，要能夠使學(xué)生在認(rèn)真的復(fù)習(xí)以及思考的情況下可以回答上來(lái)，這對(duì)中等成績(jī)的學(xué)生在學(xué)習(xí)的自信上有著重要幫助。
例如：在講解圓的周長(zhǎng)公式這一課程當(dāng)中，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)公式有了理解之后，可以讓成績(jī)中等的學(xué)生嘗試解決“倘若是知道圓的直徑之后，怎么能夠求取其周長(zhǎng)”，然后對(duì)成績(jī)比較優(yōu)秀的同學(xué)進(jìn)行提問(wèn)“一個(gè)圓假如只是告知了半徑，那么對(duì)這一圓的周長(zhǎng)怎么求取”，這樣能夠?qū)Σ煌膶W(xué)生有層次的進(jìn)行提問(wèn)，可以兼顧到不同程度的學(xué)生。
另外，還可以通過(guò)模糊點(diǎn)對(duì)問(wèn)題加以設(shè)計(jì)，小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)有的比較容易混淆，所以針對(duì)這一情況就需要進(jìn)行問(wèn)題的科學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能夠明確地將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分。例如：對(duì)“最大公約數(shù)以及最小公倍數(shù)”進(jìn)行求取過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)，采取列表比較的方法求取兩數(shù)的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)的方法，這樣能夠提高學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決有著重要幫助。
一、用數(shù)學(xué)圖形說(shuō)明地理概念
第一，用結(jié)構(gòu)圖表說(shuō)明反映比例關(guān)系的有關(guān)概念，主要有扇形圖、餅狀圖、柱形圖、矩形圖等。如構(gòu)成概念，就可先出示扇形統(tǒng)計(jì)圖，然后由圖形說(shuō)明構(gòu)成，即某地理事物各個(gè)組成部分所占的百分比，其總量為1。
例如，中國(guó)各種地形的構(gòu)成比例。由右圖可直觀得出我國(guó)地形特點(diǎn)之一：地形多種多樣，山區(qū)面積廣大。
類(lèi)似的概念，如地球大氣的組成、地殼的物質(zhì)組成、能源消費(fèi)構(gòu)成、農(nóng)業(yè)產(chǎn)值構(gòu)成、工業(yè)產(chǎn)值構(gòu)成、產(chǎn)業(yè)構(gòu)成、人口構(gòu)成等，形象地說(shuō)明了各組成部分間的相對(duì)比例關(guān)系。再如，我國(guó)水能蘊(yùn)藏量的地區(qū)分布構(gòu)成、世界石油主要分布區(qū)的儲(chǔ)量構(gòu)成、主要石油產(chǎn)區(qū)的產(chǎn)量構(gòu)成等，用圖形形象地從局部與整體的角度說(shuō)明了某一地理事物大致的空間分布。通過(guò)數(shù)學(xué)圖形與地理語(yǔ)言相結(jié)合，深化了對(duì)地理概念的理解。在講解地理概念時(shí)，應(yīng)注意對(duì)概念下定義要準(zhǔn)確，概念的內(nèi)涵和外延應(yīng)講明白，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出概念之間的關(guān)系。
第二，用坐標(biāo)圖反映地理事物的變化規(guī)律，如人口再生產(chǎn)類(lèi)型的轉(zhuǎn)變。它的決定因素為出生率、死亡率和自然增長(zhǎng)率。如果教學(xué)中借助了人口增長(zhǎng)模式及其轉(zhuǎn)變示意圖，理解起來(lái)就容易多了。
根據(jù)以上示意圖可提出以下幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)：
（1）原始型向傳統(tǒng)型轉(zhuǎn)變時(shí)、傳統(tǒng)型向現(xiàn)代型轉(zhuǎn)變時(shí)的人口自然增長(zhǎng)率分別是多少？
（2）描述三種人口增長(zhǎng)模式的基本特征。
（3）人口增長(zhǎng)模式的轉(zhuǎn)變是由什么的降低開(kāi)始的？最終是由什么的降低實(shí)現(xiàn)的？
二、利用幾何知識(shí)得出地理原理與結(jié)論
幾何圖形是空間思維的重要表示方法。地理學(xué)科空間概念強(qiáng)，經(jīng)常用幾何圖形來(lái)表示空間地理事物，如地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)示意圖、地球光照?qǐng)D等。因此，在地理教學(xué)中，許多可以將地理事物關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，利用幾何方法突破了教學(xué)難點(diǎn)，起到了事半功倍的效果。既有利于突破重難點(diǎn)、使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)還可培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力和讀圖、解圖的能力。例如，利用幾何圖形認(rèn)識(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的回歸運(yùn)動(dòng)所引起的變化。
從右面簡(jiǎn)單的光照?qǐng)D中可以得到：太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度（ ）與晨昏線和經(jīng)線夾角（ ）以及AN兩點(diǎn)的緯度差是相等的?？梢韵胂?，當(dāng)變化時(shí)會(huì)帶動(dòng)與AN緯度差的變化?？梢?jiàn)，當(dāng)太陽(yáng)直射點(diǎn)從赤道向北回歸線移動(dòng)過(guò)程中，太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度（ ）變大，伴隨著晨昏線與經(jīng)線夾角（ ）也增大，南北半球的極晝、極夜范圍也在擴(kuò)大；晝夜差值（ED）也在增大。反之亦然。
太陽(yáng)直射點(diǎn)的回歸運(yùn)動(dòng)所引起的變化是高中地理的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。它對(duì)空間思維能力要求較高，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)較為吃力。在講解該內(nèi)容時(shí)，利用上述幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生借用數(shù)學(xué)方法求證，同時(shí)結(jié)合動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生自己總結(jié)出晝夜長(zhǎng)短產(chǎn)生的原因及其規(guī)律。這樣既能讓學(xué)生輕松理解難點(diǎn)知識(shí)，還可以幫助學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的記憶。
三、用數(shù)字圖表定量說(shuō)明地理事物的特征與相互關(guān)系
中學(xué)地理教學(xué)中存在大量的地理數(shù)字。地理數(shù)字是地理知識(shí)的重要組成，能說(shuō)明地理事物的特征及其相互關(guān)系。應(yīng)用圖表將地理數(shù)字形象化、規(guī)律化，既能吸引學(xué)生注意力，提高學(xué)習(xí)興趣，還能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)地理事物和現(xiàn)象的本質(zhì)，形成分析和判斷能力。同時(shí)，很多地理高考試題都利用地理圖表進(jìn)行立意，這樣既能考查學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)的掌握，又可以有效地考查學(xué)生有關(guān)地理能力的形成情況。所以，地理圖表的學(xué)習(xí)越來(lái)越引起更多的關(guān)注。
例如，在講述世界氣候類(lèi)型的判斷時(shí)，先讓學(xué)生根據(jù)有關(guān)氣候類(lèi)型的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，從氣溫方面比較、歸納不同氣候帶的差別，然后從降水量上進(jìn)行比較得出同一氣候帶內(nèi)不同氣候類(lèi)型的差別，建立進(jìn)行氣候類(lèi)型判別的最基本的依據(jù)，掌握進(jìn)行氣候類(lèi)型判別的最基本的方法，為以后進(jìn)行準(zhǔn)確的分析、判斷提供前提。
教學(xué)技能是一種教學(xué)的行為方式，所以具有鮮明的實(shí)踐性和可操作性.教學(xué)技能可分為以下幾種類(lèi)型：導(dǎo)入技能、提問(wèn)技能、講解技能、語(yǔ)言技能、板書(shū)與演示技能、結(jié)束技能.那么這些技能如何在數(shù)學(xué)課中發(fā)揮的淋漓盡致呢？以下將重點(diǎn)論述這一問(wèn)題.
一、導(dǎo)入技能
俗話說(shuō)“良好的開(kāi)端是成功的一半”.教學(xué)過(guò)程開(kāi)始的導(dǎo)入環(huán)節(jié)就好像整臺(tái)戲的序幕，也仿佛是優(yōu)美樂(lè)章的序曲，如果設(shè)計(jì)和安排得當(dāng)，就能牽引整個(gè)教學(xué)過(guò)程，收到先聲奪人、一舉成功的奇效.常用的導(dǎo)入方式有：1、直觀啟示法2、教具演示法3、問(wèn)題啟示法4、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入法5、巧設(shè)懸念法6、創(chuàng)設(shè)情境法7、揭示矛盾法8、練習(xí)引導(dǎo)法9、溫故知新法10、類(lèi)比導(dǎo)入法.
二、提問(wèn)技能
提問(wèn)的目的在于調(diào)動(dòng)全體學(xué)生積極的思維活動(dòng)，不應(yīng)該置大多數(shù)學(xué)生于不顧而形成“一對(duì)一”的問(wèn)答場(chǎng)面.有的教師先點(diǎn)名，然后提問(wèn)，其他學(xué)生因預(yù)知提問(wèn)與己無(wú)關(guān)而袖手旁觀，不動(dòng)腦思考，以致達(dá)不到提問(wèn)的整體效果.下面是一位中學(xué)特級(jí)教師的課堂教學(xué)過(guò)程，從中我們可以看到一個(gè)好的教師在提問(wèn)方面的設(shè)計(jì)與實(shí)施上所表現(xiàn)出的高超技藝.
課題：“無(wú)理方程的解法”
教師：請(qǐng)同學(xué)們考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：有一塊直徑為5厘米的半圓形鐵板，以直徑為斜邊，怎樣能截出一個(gè)面積為6平方厘米的直角三角形形狀的零件毛壞？（讓學(xué)生思考片刻，接著講解）設(shè)一條直角邊為x，則另一條直角邊為 =6厘米，因?yàn)橹苯侨切蚊娣e為6平方厘米，所以可列方程 x =6.這是什么方程呢？是我們以前學(xué)過(guò)的方程嗎？
學(xué)生竊竊私語(yǔ)：這是一元二次方程？是一元……但很快都否定了.）
由此可見(jiàn)提問(wèn)對(duì)于督促學(xué)生掌握知識(shí)和基本技能是必不可少的.我們可以把數(shù)學(xué)提問(wèn)技能分成回憶型、理解型、應(yīng)用型和評(píng)價(jià)型四種.提問(wèn)的基本過(guò)程為：引入――陳述――介入――評(píng)價(jià).在提問(wèn)中要注意以下要點(diǎn)：
（1）提問(wèn)要有序列（2）提問(wèn)的內(nèi)容要有“度”（3）提問(wèn)要有藝術(shù)
（4）提問(wèn)要注意對(duì)象（5）提問(wèn)要具有啟發(fā)性（6）提問(wèn)要把握時(shí)機(jī)
（7）要給學(xué)生思考時(shí)間（8）反應(yīng)要及時(shí)
應(yīng)當(dāng)指出，教學(xué)中的質(zhì)疑提問(wèn)，不只是教師單方面的事.教師在教學(xué)中要鼓勵(lì)和教會(huì)學(xué)生善于質(zhì)疑，提出問(wèn)題.要重視課堂提問(wèn)的雙邊性.教師既要有問(wèn)題信息的輸出，又要得到學(xué)生回答問(wèn)題的信息反饋；學(xué)生同樣也應(yīng)有問(wèn)題的輸出和輸入.只有通過(guò)雙方信息的交流才能得到課堂教學(xué)的最佳信息值.
三、講解技能
講解技能是指教師利用語(yǔ)言及各種教學(xué)媒體引導(dǎo)學(xué)生理解教學(xué)事實(shí)，形成概念，掌握定理、公式、法則的教學(xué)行為方式.數(shù)學(xué)的講解以教學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)語(yǔ)言）為載體，其實(shí)質(zhì)在于揭示知識(shí)結(jié)構(gòu)及要素.講解的目的是為了傳授知識(shí)、啟發(fā)學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)生興趣.根據(jù)教師的講授方式又可將講解分為以下幾種基本類(lèi)型.
1、解釋型講解
一般用于概念的定義，題目的分析，事實(shí)的理解，公式的說(shuō)明，符號(hào)的翻譯等
2、描述性講解
主要用于事實(shí)的陳述、概念的描述和結(jié)論的闡述，也運(yùn)用于較為抽象知識(shí)的描述.例如，在講授正方形的定義后，老師以這樣來(lái)向?qū)W生講解.
正方形的定義有三個(gè)要點(diǎn)：①必須是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角；③有一組鄰邊相等.其中①和②是矩形定義的條件，所以正方形是一種特殊的矩形――一組鄰邊相等的矩形，也就是說(shuō)，正方形又屬于菱形――有一個(gè)角是直角的菱形，也就是說(shuō)，正方形又屬于菱形集合；矩形、菱形和正方形又都是特殊的平行四邊形，也就是說(shuō)，它們都屬于平行四邊形的集合；平行四邊形、矩形、菱形和正方形都是四邊形，也說(shuō)是說(shuō)，它們都屬于四邊形的集合.
通過(guò)以上的講解，不僅加深了對(duì)各種特殊平行四邊形概念的理解，把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，而增強(qiáng)了整體意識(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和求異思維，從而提高學(xué)生的辯證思維能力.
3、推論型講解
即運(yùn)用分析、綜合、歸納、演繹、比較、類(lèi)比、抽象、概括等邏輯方法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論述，在推導(dǎo)過(guò)程中還要提供有力的證據(jù)和材料，才能得出結(jié)論由于數(shù)學(xué)科學(xué)本身是一種演繹的科學(xué)，所以數(shù)學(xué)課的講解多屬于推論型講解.
4、證明型講解
證明是對(duì)已有的結(jié)論成立提供證據(jù)，講行推理.證明型講解在教學(xué)（尤其是幾何）課上普遍使用.
5、總結(jié)型講解
這是一種對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行提煉概括、歸納小結(jié)式的講解，它通過(guò)簡(jiǎn)明扼要、提綱挈領(lǐng)的語(yǔ)言，畫(huà)龍點(diǎn)睛地講出內(nèi)容的結(jié)論和重點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)剛學(xué)到的知識(shí)內(nèi)容有更加完整、更為深刻的印象.
四、語(yǔ)言技能
語(yǔ)言是人類(lèi)心理活動(dòng)的主要載體，是教師進(jìn)行教學(xué)片刻不能分離的重要工具.中對(duì)教學(xué)語(yǔ)言藝術(shù)有過(guò)“善歌者使人繼其聲，善教者使人繼其志.其言也，約而達(dá)，微而臧，罕譬而喻，可謂繼志矣”的精彩論斷.現(xiàn)代教育史上一代宗師葉圣陶曾著文呼吁：“凡是當(dāng)教師的人，絕無(wú)例外地要學(xué)好語(yǔ)言，才能做好教學(xué)工作.”對(duì)于數(shù)學(xué)而言，語(yǔ)言的價(jià)值就顯得更為重要.數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)經(jīng)過(guò)改造的自然語(yǔ)言組成的科學(xué)語(yǔ)言，它的突出特點(diǎn)是大量符號(hào)的應(yīng)用這使得數(shù)學(xué)世界成為一個(gè)符號(hào)化的世界.數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基本特征是確定性、簡(jiǎn)潔性、抽象性靈活把握它的特征可以有效的在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用.
語(yǔ)言技能實(shí)施的基本要求是
1、準(zhǔn)確簡(jiǎn)練，具有科學(xué)性
2、生動(dòng)活潑，具有形象性
3、含蓄深刻，具有啟發(fā)性
4、抑揚(yáng)頓挫，具有和諧性
五、板書(shū)與演示技能
板書(shū)是教師教學(xué)的基本技能之一.一個(gè)教師的基本功如何，在很大程度上決定了他的課堂教學(xué)的效果.對(duì)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，板書(shū)技能具有以下幾種功能：
1、 增強(qiáng)語(yǔ)言效果，加深學(xué)生理解
2、 突出重點(diǎn)，強(qiáng)化記憶
常用的類(lèi)型有以下幾種：
1、 實(shí)物標(biāo)本、模型的演示2、掛圖的演示3、幻燈、投影的演示
3、 多媒體演示5、課堂實(shí)驗(yàn)的演示
當(dāng)然，演示的目的是為教學(xué)服務(wù)的，是使學(xué)生通過(guò)感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，所以必須引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對(duì)觀察演示所得到的直觀印象進(jìn)行思維整理，這就需要教師運(yùn)用講解、設(shè)問(wèn)、講述等講授方式幫助學(xué)生抓住現(xiàn)象的本質(zhì).教師的語(yǔ)言不需多，但要起到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用.
六、結(jié)束技能
